4.2提公因式法同步强化练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

4.2提公因式法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．多项式各项的公因式是 A． B． C． D． 2．多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ） A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1 3．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 5．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果(     ) A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2 C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b） 6．下列各式由左到右的变形正确的是(    ) A．-x-y=-(x-y) B．-x2+2xy-y2=-(x2+2xy+y2) C．(y-x)2=(x-y)2 D．(y-x)3=(x-y)3 7．下列各式成立的是（    ） A．－x－y＝－（x－y） B．y－x＝x－y C．（x－y）2＝（y－x）2 D．（x－y）3＝（y－x）3 8．下列代数式中，没有公因式的是（    ） A．ab与b B．a＋b与 C．a＋b与 D．x与 9．若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 10．多项式5xy2－25x2y各项的公因式为(　　) A．5 B．5x C．5xy D．25xy 11．利用因式分解可以简便计算：分解正确的是(   ) A． B． C． D． 12．将分解因式，正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．分解因式: . 14．已知实数a，b，x，y满足，，则 . 15．分解因式： ． 16．因式分解：9a2﹣12a+4＝ ． 17．若，，则 ． 三、解答题 18．因式分解： (1)m2(a－2)－m(a－2)； (2)6a(b－1)2＋2(1－b)． 19．把下列各式分解因式： (1)5xy－10x； (2)． 20．已知，求的值． 21．将分解因式，并求当，时此式子的值． 22．若实数a，b满足方程组，求的值． 23．把下列各式因式分解： （1）；（2）． 24．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6 问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法： (1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程； (2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　； 发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　； 问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 《4.2提公因式法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C C C C B D C 题号 11 12 答案 B C 1．D 【分析】本题考查多项式的公因式，先找出系数的公约数，再找出相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：∵系数的公约数是，相同字母的最低指数次幂是， ∴多项式各项的公因式是， 故选D． 2．C 【分析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式-2an-1-4an+1中， 系数的最大公约数是-2， 相同字母的最低指数次幂是an-1， 因此公因式是-2an-1， 故选C． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法． 3．A 【分析】将，，写成，，即可． 【详解】解：∵，， ∴，，的公因式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了公因式的知识，将，，写成，，的形式是正确解题的关键． 4．C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 5．C 【详解】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) =(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) =(7a-8b)(-8a+8b) =8(7a-8b)(b-a). 故选C. 6．C 【分析】提出－号即可． 【详解】A．-x-y=-(x+y)，故本选项错误； B．-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)，故本选项错误； C．(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，故本选项正确； D．(y-x)3=[－(x-y)]3=－(x-y)3，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提出负号后，括号内的每一项都要变号． 7．C 【详解】根据添括号法则，可知-x-y=-（x+y），故不正确； 根据x-y与y-x互为相反数，故不正确； 根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）2＝（y－x）2，故正确； 根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）3＝-（y－x）3，故不正确. 故选C. 8．B 【分析】能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式即可． 【详解】A选项：ab与b的公因式是b，故不符合题意； B选项：a＋b与没有公因式，故符合题意； C选项：因为a2－b2＝（a＋b）（a－b），所以a＋b与的公因式为a＋b，故不符合题意； D选项：x与的公因式是x，故不符合题意． 故选：B 【点睛】考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式． 9．D 【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a＝2，a﹣2b＝3， ∴原式＝2a（a﹣2b）＝4×3＝12． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解、代数式求值，通过因式分解进行化简是关键． 10．C 【分析】找公因式的方法：一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低指数次幂，观察到最大公约数为5，而xy的最低指数次幂均为1，根据此即可选出正确答案. 【详解】5xy2-25x2y系数最大公约数为5，而xy的最低指数次幂均为1，故其公因式是5xy. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是提公因式，解题的关键是熟练的掌握提公因式. 11．B 【分析】利用提取公因式法分解因式即可得． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题关键． 12．C 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可排除选项． 【详解】解：＋＝＝； 故选C． 【点睛】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 13． 【详解】【分析】用提取公因式法即可得到结果. 【解答】原式=. 故答案为 【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式. 14．20 【分析】本题考查因式分解的应用、整式的乘法、代数式求值，解答的关键利用整体思想求解．先求得，再将所求代数式因式分解，转化为求的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：20． 15． 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先将式子变形为，再提取公因式即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（3a﹣2）2 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】9a2-12a+4=（3a-2）2． 故答案是：（3a﹣2）2. 【点睛】考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 17．15 【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值综合．解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，整体代入法求代数式的值． 先提取公因式，然后把，代入整式即可得出答案． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：15． 18．(1) m(a－2)(m－1)；(2) 2(1－b)(3a－3ab＋1)． 【分析】根据因式分解法步骤，先提取公因式(a-2)，得到 ，然后再次提公因式m出来，整理即可得到正确答案. 原式变形后，提取公因式，再提取公因式2，整理即可得到正确答案. 【详解】(1)原式＝m(a－2)(m－1). (2)原式＝6a(1－b)2＋2(1－b)＝2(1－b)[3a·(1－b)＋1]＝2(1－b)(3a－3ab＋1)． 【点睛】本题主要考查多项式因式分解的有关知识，要求学生掌握因式分解的几种方法，本题用了提公因式法分解因式，解题的关键是找出公因式． 19．(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式5x即可； （2）直接提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 20． 【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案． 【详解】解：∵6x−3y−1＝0，xy＝2， ∴2x−y＝， ∴当2x−y＝，xy＝2时， 原式＝（xy）3•（2x−y） ＝23× ＝． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键． 21．， 【分析】本题考查了利用因式分解变形求解等知识．先利用提公因式法进行因式分解，再整体代入即可求解． 【详解】解：， 当，时，原式． 22．15 【分析】利用加减消元法分别求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解： 得，则， 得，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确求出，是解题的关键． 23．（1）；（2）． 【分析】（1）把y-x变形为－（x－y）后用提公因式法即可完成因式分解； （2）把变形为，即可用提公因式法完成因式分解． 【详解】（1）； （2） ． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，用提公因式分解因式时，常见的变形有：及． 24．(1)（1+a）4 (2)（1+a）5；（1+a）n+1；47 【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式； （2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式， 发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论； 问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式． 【详解】（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3 ＝（1+a）3+a（1+a）3 ＝（1+a）3（1+a） ＝（1+a）4； （2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4 ＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4 ＝（1+a）4+a（1+a）4 ＝（1+a）4（1+a） ＝（1+a）5； 故答案为：（1+a）5； 发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1； 故答案为：（1+a）n+1； 问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6 ＝（1+3）6（1+3） ＝（1+3）7 ＝47． 故答案为：47． 【点睛】此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想． 学科网（北京）股份有限公司 $$