精品解析：四川省德阳市第五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

高2024级高一下期半期考试数学试题 本试卷19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 1或3 B. -1或-3 C. -3 D. -1 4. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知平面向量，的夹角为，，且对任意的，恒成立，则，的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、多选题本题共3小题：每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，为纯虚数，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 若，，则的最小值为1 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 棱锥的侧面一定都是三角形 C. 棱台各侧棱的长都相等 D. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 11. 已知中角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点是的外心 B. 若，则是锐角三角形 C. 已知，，，则内切圆的半径为 D. 若，是的外心，，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为锐角，且，则_____. 13. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为_____. 14. 已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量夹角为的向量，满足，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 16. 已知中角，，的对边分别是，，，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 17. 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期及其对称中心； （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围． 18. 某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点在地面上的投影位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30 m的，两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据. 方案一：从，两点分别测得点的仰角和，再从点测得.其中，，. 方案二：从点处测得，从点处测得和点的仰角.其中，，. 方案三：从点处分别测得点和的俯角和，以及.其中，，. 从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度的方案，并根据该方案中的数据计算出的长.（注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.） 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高一下期半期考试数学试题 本试卷19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称的否定是特称，变符号，否定结论可得. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：D 2. 复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到复数在复平面内对应的点为，结合三角函数符号，即可求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点为， 因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 1或3 B. -1或-3 C. -3 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量垂直的坐标表示计算求解. 【详解】因为向量，， 所以 且，则 则或. 故选：B. 4. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案. 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5. 在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得，所以， 又，则， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：B 6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案. 【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为，依题意，， 两式相减得，解得. 故选：D 7. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C 8. 已知平面向量，的夹角为，，且对任意的，恒成立，则，的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意，得到恒成立，得出，求得，以为原点，建立平面直角坐标系，把，转化为轴取一点使得，结合对称法最值，即可求解. 【详解】设，可得，且 则向量在上的投影为， 因为对任意的，恒成立，即恒成立， 所以为的最小值，即向量在方向上的投影向量为， 所以，可得，即，所以， 以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，因为，且，可得， 取为的中点，则，可得点关于轴的对称点为， 又由， 可看成在轴取一点使得， 则, 当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题本题共3小题：每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，为纯虚数，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 若，，则的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据纯虚数定义列式求解判断A，根据复数的乘法及模长公式计算判断B，应用复数性质判断C，根据模长关系列式求解判断D. 【详解】对于A，若复数，为纯虚数，则且不是0，所以，A选项正确； 对于B，若，则，，B选项正确； 对于C，复数不能比较大小，C选项错误； 对于D，若，，则，当时取最小值为1，D选项正确； 故选：ABD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 棱锥的侧面一定都是三角形 C. 棱台各侧棱的长都相等 D. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据正棱锥的性质即可求解；对于B，棱锥的侧面一定都是三角形；对于C，只有在特定的情况下，各侧棱的长度才相等；对于D，画出图形根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确； 对于C，只有在特定的情况下，如正棱台（即由正棱锥截得的棱台），各侧棱的长度才相等，对于一般的斜棱台，侧棱长度可以不等，所以C错误； 对于D， 如图，易得三棱锥的体积为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知中角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点是的外心 B. 若，则是锐角三角形 C. 已知，，，则内切圆的半径为 D. 若，是的外心，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意易得，可得点是的垂心，可判断A；由已知可得，进而可得，可判断B；由三角形的面积可求得内切圆的半径判断C；建立平面直角坐标系，可得，计算可得结论判断D. 【详解】对于A，由，可得，所以， 所以，同理可得，，所以点是的垂心，故A错误； 对于B，由，可知，， 由，可得，，所以， 所以，所以，因为， 所以，所以是锐角三角形，故B正确； 对于C，由，，，可得， 所以，所以， 设的内切圆的半径为，可得， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，如图，建立平面直角坐标系， 设，， 因为，所以，得， 所以， 又，所以，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为锐角，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系及二倍角余弦公式计算求解即可. 【详解】因为为锐角，且， 所以，所以， 则. 故答案为：. 13. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示， 则是直角三角形，其中， 故的面积为． 故答案为：4. 14. 已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为_____. 【答案】4或8 【解析】 【分析】根据条件判断角，以及三角形的形状，结合条件，即可求解. 【详解】由条件可知，，且，所以，， 所以是等腰直角三角形，或， 时，，得，此时的面积为； 时，，得，此时的面积为. 故答案为：4或8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量夹角为的向量，满足，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义及运算律即可求解； （2）由向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以 . 【小问2详解】 所以. 16. 已知中角，，的对边分别是，，，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，求，再根据同角三角函数关系式求； （2）由余弦定理，结合条件求，再代入三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 ， 由余弦定理， 而为三角形内角，. 【小问2详解】 ,，, . 17. 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期及其对称中心； （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期：；对称中心： （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式，从而得到结果； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， 的最小正周期. 令，解得，则对称中心为 【小问2详解】 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点， 令， 做出的图像与直线，如图. 由图知，当时，的图像与直线有两个交点. 18. 某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点在地面上的投影位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30 m的，两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据. 方案一：从，两点分别测得点的仰角和，再从点测得.其中，，. 方案二：从点处测得，从点处测得和点的仰角.其中，，. 方案三：从点处分别测得点和的俯角和，以及.其中，，. 从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度的方案，并根据该方案中的数据计算出的长.（注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.） 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】选择方案二：首先求出，由正弦定理求出，再由锐角三角函数求出； 选择方案三：设，表示出，，再在中利用余弦定理计算可得； 若选择方案一：首先求出，设，表示出，，由正弦定理求出，即可得到有两种可能取值，即可判断. 【详解】选择方案二，则， . 由于， 所以 . 在中，由正弦定理可得， 因此， 从而. 选择方案三：设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即，解得（舍去负根）. 所以. 如果选择方案一，因为，所以， 设，则，. 由正弦定理计算可得， 则有两种可能取值， 所以， 故不能唯一确定的值. 【点睛】 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解， （2）根据余弦定义以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解， （3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， 又，， ，,， 【小问2详解】 ， ，又， ， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ， ． 【小问3详解】 由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $