专题01 三角形的证明（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题01 三角形的证明 题型概览 01 角平分线的性质 02 垂直平分线的性质 03 等腰三角形的性质 04 等腰三角形的判定 05 等腰三角形的性质与判定 06 等边三角形的性质 07 直角三角形的判定 08 含30度的直角三角形 09 勾股定理 10 反证法 角平分线的性质 1．（2024春•中牟县期末）如图，已知AP是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABP与△ACP的面积之比为（　　） A．3：2 B．9：4 C． D．2：3 2．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，D为△ABC的两个内角的平分线的交点．若∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝5cm，则点D到边BC的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 3．（2024春•驻马店期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 4．（2024春•驿城区校级期末）如图，在等腰三角形ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点D，腰AB的长比底BC多3，△ABC的周长和面积都是24，则DE＝　 ． 5．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 垂直平分线的性质 6．（2024春•宝丰县期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024春•沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，求∠C的度数． 8．（2024春•驻马店期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是12． （1）求BC的长； （2）若∠B+∠C＝45°，AF＝4．求△AEF的面积． 等腰三角形的性质 9．（2024春•宝丰县期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 10．（2024春•中牟县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．54° 11．（2024春•镇平县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　） A．17或22 B．22 C．17 D．13 12．（2024秋•汝南县期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝4，AC＝A'C'＝3，已知∠C＝n°，则∠C'的度数是（　　） A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150° 13．（2024春•汝州市期末）对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°，则小意同学判断的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等腰三角形“三线合一” C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形的两个底角相等 14．（2024春•郑州期末）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　 　 秒时，△ACP是直角三角形． 15．（2024春•驿城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 等腰三角形的判定 16．（2024春•夏邑县期末）△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 17．（2024春•新郑市期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　 ． 等腰三角形的性质与判定 18．（2024春•郑州期末）如图，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD连接BD，若△ABD的面积为16，那么△ABC的面积是 　　 ． 19．（2024春•汝州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，将△ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在点C′处，折痕是BD，延长DC'交AB边于点M，若C'是DM的中点，则图中的∠MBC′的度数为 　 　 ． 20．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BA的延长线上一点M，作MN⊥BC，垂足为N，交边AC于点D． （1）求证：△AMD是等腰三角形． （2）若AM＝15，DN＝12，D为边AC的中点，求CN的长． 等边三角形的性质 21．（2024春•高新区期末）如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案，方案一铺设光缆长为BC+AD（D为BC的中点）；方案二铺设光缆长为OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）．关于两个方案说法正确的是（　　） A．方案一铺设光缆长较短 B．方案二铺设光缆长较短 C．两种方案铺设光缆长一样 D．无法比较两个方案铺设光缆长短 22．（2024春•二七区期末）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD． （1）求∠E的度数？ （2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证：BM＝EM． 直角三角形的判定 23．（2024春•临颍县期末）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2024春•濮阳期末）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2﹣c2＝a2 B．，， C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 25．（2024春•西华县期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2 C．∠A+∠B＝∠C D． 26．（2024秋•确山县期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，D是AB边上一动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，当ED平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的度数为 　60°或105°　 ． 含30度角的直角三角形 27．（2024春•西平县期末）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC＝16，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 28．（2024春•平顶山期末）如图，CD是△ABC边AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 　　 ． 勾股定理 29．（2024春•开封期末）小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图的方式组成图案，正方形A和B的面积分别为3和4，若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形C的边长为（　　） A．5 B．6 C． D． 30．（2024春•殷都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．3 D．2 31．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以三角形的各边为直径向上作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，阴影部分的面积为 　24　 ． 32．（2024春•确山县期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 　 ． 33．（2024春•淮阳区期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2025的值为 　　 34．（2024春•川汇区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长 直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 35．（2024春•息县期末）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，则BC的长为（　　） A． B．3 C．5或 D．5 36．（2024春•罗山县期末）如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2m，则木板AC的长为（　　） A．2m B．2.2m C．3m D．2.5m 37．（2024春•信阳期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． 38．（2024秋•确山县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（2024春•管城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD上一点，且∠DEA＝36°，∠CEB＝54°，AE＝2，AB＝4，则BE＝（　　） A．3 B． C．4 D． 40．（2024春•惠济区期末）在四边形BCDE中，∠C＝∠BED＝90°，∠B＝60°，延长CD，BE，两线相交于点A，已知CD＝4，DE＝2，则BC的长是（　　） A．8 B． C．16 D． 41．（2024春•金水区期末）某古建筑屋顶房梁的一部分如图所示，其中AB＝AC＝2，AD⊥BC，∠B＝30°，则跨度BC的长为（　　） A． B． C．1 D． 42．（2024春•梁园区期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　　 ． 43．（2024春•长葛市期末）如图，已知线段AB＝2，经过点B作BD⊥AB，使，连接AD，在AD上截取DE＝BD；在AB上截取AC＝AE，则AC：AB＝　　 ． 44．（2024春•息县期末）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，由勾股定理得；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2⋯以此类推，得OP2024＝　　 ． 45．（2024春•金水区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．点D为边BC上一点，且BD＝AC，过点B作射线BP⊥BC，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线BP的方向运动，连接DE． （1）如图1，当BE＝CD时，线段AD与DE相等吗？请说明理由． （2）当线段DE与△ABD的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 反证法 46．（2024春•二七区期末）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（　　） A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于 47．（2023秋•淮阳区期末）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b 48．（2024春•中原区期末）用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 　 　 ． 49．（2024春•郑州期末）用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个角是直角”，第一步应假设 　　 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/28 20:36:36；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 50．（2024春•浉河区期末）△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，点M、N分别在AB、BC边上，将△BMN沿MN折叠，使点B落在直线AC上的点B′处，当△AB’M为直角三角形时，∠BMN的度数为 　　 ． 51．（2024秋•淮阳区校级期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（　　） A．400 B．350 C．300 D．250 52．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BCA＝60°，∠BAE＝150°，DC⊥AB且DC＝AE，若DC＝kAG（k为常数且k，设AG＝x，DE＝y，则y关于x的函数解析式为 　　 （用含有k的代数式表示）． 53．（2024春•二七区期末）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的证明 ( 题型概览 01 角平分线的性质 02 垂直平分线的性质 03 等腰三角形的性质 04 等腰三角形的判定 05 等腰三角形的性质与判定 06 等边三角形的性质 07 直角三角形的判定 08 含30度的直角三角形 09 勾股定理 10 反证法 ) ( 角平分线的性质 ) 1．（2024春•中牟县期末）如图，已知AP是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABP与△ACP的面积之比为（　　） A．3：2 B．9：4 C． D．2：3 【分析】过点P作PE垂直于AB，PF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到PE＝PF，再根据三角形的面积公式表示出△ABP与△ACP的面积之比，把PE＝PF以及AB：AC的比值代入即可求出面积之比． 【解答】解：过点P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴PE＝PF， ∵AB：AC＝3：2， ∴． 故选：A． 2．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，D为△ABC的两个内角的平分线的交点．若∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝5cm，则点D到边BC的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】连接AD，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝DG，根据勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接AD，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DG⊥AC于G， ∵D为△ABC的两个内角的平分线的交点，DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC， ∴DE＝DF，DF＝DG， ∴DE＝DF＝DG， 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝5cm， 由勾股定理得：BC13（cm）， ∵S△ABCAB•ACAB•DEBC•DFAC•DG， ∴5×12（12+5+13）×DF， ∴DF＝2， 故选：A． 3．（2024春•驻马店期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝3，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积AB•DE 10×3 ＝15， 故选：C． 4．（2024春•驿城区校级期末）如图，在等腰三角形ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点D，腰AB的长比底BC多3，△ABC的周长和面积都是24，则DE＝　　 ． 【分析】如图，作EH⊥BC于H．由EB平分∠ABC，ED⊥AB，EH⊥BC，推出ED＝EH，设ED＝EH＝x，BC＝y则AB＝AC＝y+3，构建方程组即可解决问题． 【解答】解：如图，作EH⊥BC于H． ∵EB平分∠ABC，ED⊥AB，EH⊥BC， ∴ED＝EH，设ED＝EH＝x，BC＝y则AB＝AC＝y+3， 由题意：， 解得， ∴DE， 故答案为：． 5．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 【分析】（1）是；理由：由（2）SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．由三角形的面积公式作答即可． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝6． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APCAB•PQAC•PG， ∴AB×69×6＝60． ∴AB＝11． ( 垂直平分线的性质 ) 6．（2024春•宝丰县期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先写出给出命题的逆命题，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，对顶角相等的性质，等腰三角形的性质对各小题判断后即可进行解答． 【解答】解：（1）到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上是正确的，故逆命题正确； （2）相等的角是对顶角是错误的，故逆命题错误； （3）在三角形中，相等的边所对的角也相等是正确的，故逆命题正确； （4）角的平分线上的点到角的两边距离相等是正确的，故逆命题正确． 所以（1）（3）（4）正确． 故选：C． 7．（2024春•沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，求∠C的度数． 【分析】根据垂直平分线的性质可知BE＝EC，DE⊥BC，即可得出△CED≌△BED，再根据角平分线的性质可知∠ABE＝2∠DBE＝2∠C，根据三角形为直角三角形即可得出∠C的度数． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝EC，DE⊥BC， ∴∠CED＝∠BED， ∴△CED≌△BED， ∴∠C＝∠DBE， ∵∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝2∠DBE＝2∠C， ∴∠C＝30°． 8．（2024春•驻马店期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是12． （1）求BC的长； （2）若∠B+∠C＝45°，AF＝4．求△AEF的面积． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据题意得到∠EAF＝90°，利用勾股定理求出AE＝3，EF＝5，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵ME是边AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线， ∴BE＝AE，FA＝FC， ∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12； （2）∵∠B+∠C＝45°， ∴∠BAC＝135°， ∵BE＝AE，FA＝FC， ∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C， ∴∠EAF＝90°， 设AE＝x，则EF＝12﹣x﹣4＝8﹣x， ∵AE2+AF2＝EF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴AF＝4，AE＝3，EF＝5， ∴△AEF的面积AE×AF3×4＝6． ( 等腰三角形的性质 ) 9．（2024春•宝丰县期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝69°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°， ∴∠ODC＝23°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°， ∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°， 故选：D． 10．（2024春•中牟县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．54° 【分析】由已知条件开始，通过线段相等得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【解答】解：设∠A＝x°． ∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝x°， ∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x°， 在△ABC中x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴∠DBC＝36°， 故选：B． 11．（2024春•镇平县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　） A．17或22 B．22 C．17 D．13 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分两种情况： 当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形； 当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22． 故选：B． 12．（2024秋•汝南县期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝4，AC＝A'C'＝3，已知∠C＝n°，则∠C'的度数是（　　） A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150° 【分析】分两种情况讨论，当BC＝B′C′时，则△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，当BC≠B′C′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠C′＝n°，从而求得∠A′C″C′＝∠A′C″B′＝180°﹣n°． 【解答】解：在△ABC和△A′B′C′中，当BC＝B′C′时， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）， ∴∠C′＝∠C＝n°， 当BC≠B′C′时， 利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，′ ∴∠A′C″B′＝180°﹣n°． 故选：C． 13．（2024春•汝州市期末）对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°，则小意同学判断的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等腰三角形“三线合一” C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形的两个底角相等 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：由作图可知，CE＝CD， ∵OE＝OD， ∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一）， ∴∠AOB＝90°． 故选：B． 14．（2024春•郑州期末）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　1.75或4　 秒时，△ACP是直角三角形． 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD＝CDBC＝4（cm），由勾股定理得到AD3（cm），分两种情况：①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，根据勾股定理得到t＝1.75s；②当AP⊥BC时，如图2，根据等腰三角形的性质得到t＝4s． 【解答】解：过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC＝5cm， ∴BD＝CDBC＝4（cm）， ∴AD3（cm）， 分两种情况： ①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1， 则PB＝t，PC＝8﹣t， ∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2， ∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32， 解得：t＝1.75s； ②当AP⊥BC时，如图2， ∵AB＝AC， ∴PB＝PCBC＝4（cm）， ∴t＝4s， 综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形， 故答案为：1.75或4． 15．（2024春•驿城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC （2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值． 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° ( 等腰三角形的判定 ) 16．（2024春•夏邑县期末）△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】根据非负数的性质得，由此解出，根据a＝b＝3可判定△ABC是等腰三角形，然后根据a2+b2＝c2可判定△ABC为直角三角形，据此可得出答案． 【解答】解：∵（a﹣b）2≥0，，， 又∵， ∵，解得：， ∵a＝b＝3， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵a2+b2＝32+32＝18，， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故选：D． 17．（2024春•新郑市期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　 ． 【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【解答】 解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝30°， ①当E在E1时，OE＝CE， ∵∠AOC＝∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； ②当E在E2点时，OC＝OE， 则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°； ③当E在E3时，OC＝CE， 则∠OEC＝∠AOC＝30°； 故答案为：120°或75°或30°． ( 等腰三角形的性质与判定 ) 18．（2024春•郑州期末）如图，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD连接BD，若△ABD的面积为16，那么△ABC的面积是 　32　 ． 【分析】延长CD交AB于E，证明△ADC和△ADE全等得CD＝DE，S△ADC＝S△ADE，进而得S△BCD＝S△BDE，由此得S△ADC+S△BCD＝S△ABD，则S△ABC＝2S△ABD，据此可得△ABC的面积． 【解答】解：延长CD交AB于E，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在△ADC和△ADE中 ∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，∠ADC＝∠ADE＝90°， ∴△ADC≌△ADE（ASA）， ∴CD＝DE，S△ADC＝S△ADE， ∴S△BCD＝S△BDE， ∴S△ADC+S△BCD＝S△ADE+S△BDE＝S△ABD， ∴S△ABC＝2S△ABD＝32． 故答案为：32． 19．（2024春•汝州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，将△ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在点C′处，折痕是BD，延长DC'交AB边于点M，若C'是DM的中点，则图中的∠MBC′的度数为 　16°　 ． 【分析】根据折叠的性质可知Rt△BCD≌Rt△BC′D，由全等三角形的性质证得∠DBC＝∠DBC′，根据全等三角形的判定与性质证明得∠DBC′＝∠MBC′，从而计算出∠MBC′的度数． 【解答】解：根据折叠的性质，得Rt△BCD≌Rt△BC′D， ∴∠DBC＝∠DBC′， ∵C'是DM的中点， ∴DC′＝MC′， 在Rt△BC′D和Rt△BC′M中， ， ∴Rt△BC′D≌Rt△BC′M（SAS）， ∴∠DBC′＝∠MBC′， ∴∠DBC＝∠DBC′＝∠MBC′， ∵∠C＝90°，∠A＝42°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝48°， ∴∠MBC′∠ABC＝16°． 故答案为：16°． 20．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BA的延长线上一点M，作MN⊥BC，垂足为N，交边AC于点D． （1）求证：△AMD是等腰三角形． （2）若AM＝15，DN＝12，D为边AC的中点，求CN的长． 【分析】（1）因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，再利用MN⊥BC进行角之间的转换，得出∠CDN＝∠M，结合对顶角性质及等腰三角形的判定定理推导出△AMD是等腰三角形； （2）根据等腰三角形的性质及中点定义求出CD＝15，再根据勾股定理计算CN的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵MN⊥BC， ∴∠C+∠CDN＝90°，∠B+∠M＝90°， ∴∠CDN＝∠M， ∵∠CDN＝∠ADM， ∴∠M＝∠ADD， ∴△AMD是等腰三角形； （2）解：∵D为AC的中点， ∴AD＝CD， ∵△AMD是等腰三角形， ∴AM＝AD＝CD＝15， ∵MN⊥BC，DN＝12， ∴CN9． ( 等边三角形的性质 ) 21．（2024春•高新区期末）如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案，方案一铺设光缆长为BC+AD（D为BC的中点）；方案二铺设光缆长为OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）．关于两个方案说法正确的是（　　） A．方案一铺设光缆长较短 B．方案二铺设光缆长较短 C．两种方案铺设光缆长一样 D．无法比较两个方案铺设光缆长短 【分析】要判断哪种方案铺设光缆长较短需要先求出两种方案所需要的铺设的光缆的长度，然后比较即可． 【解答】解：设等边△ABC的边长为2a， 方案一： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝2a，∠ABC＝60°， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD＝a，AD⊥BC， ∴AD， ∴BC+AD＝2a； 方案二： ∵O为等边△ABC三边的垂直平分线的交点， ∴∠OBD，OD⊥BC，BD＝CD＝a， ∴OD， 由勾股定理得，OB2＝OD2+BD2， ∴， ∴OB， 同理可得OA＝OC， ∴OA+OB+OC， ∵， ∴方案二铺设光缆长较短， 故选：B． 22．（2024春•二七区期末）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD． （1）求∠E的度数？ （2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证：BM＝EM． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作； （3）根据等腰三角形的三线合一进行证明． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， 又CD＝CE，∠ACB为△DCE的外角， ∴∠E＝∠CDE＝30°； （2）如图所示： （3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点， ∴∠DBC＝∠ABD＝30°，又∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴BD＝ED， 又DM⊥BE， ∴BM＝EM． ( 直角三角形的判定 ) 23．（2024春•临颍县期末）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可． 【解答】解：①若∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意； ②若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意； ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角为，错误，不符合题意； ④若a：b：c＝5：4：3，设a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），则（3k）2+（4k）2＝（5k）2，则△ABC是直角三角形，正确，符合题意； ⑤若a2：b2：c2＝1：2：3，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，正确，符合题意； 故能判断△ABC为直角三角形的条件有：①②④⑤． 故选：C． 24．（2024春•濮阳期末）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2﹣c2＝a2 B．，， C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：A、∵b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵（）2+（）2＝（）2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°75°，故△ABC不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 25．（2024春•西华县期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2 C．∠A+∠B＝∠C D． 【分析】根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2＝c2或a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D． 【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴，∠B＝180°60°，∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵（a+b）（a﹣b）＝c2， ∴a2﹣b2＝c2， ∴b2+c2＝a2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设a＝x，，c＝2x，且， 即a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 26．（2024秋•确山县期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，D是AB边上一动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，当ED平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的度数为 　60°或105°　 ． 【分析】当DE∥AC时，由折叠的性质得：∠CDE＝∠CDA，由平行线的性质推出∠CDE＝∠ACD，得到∠CDA＝∠ACD，求出∠A＝60°，即可得到∠ADC＝60°；当DE∥BC时，由折叠的性质得：∠E＝∠A，∠ACD＝∠ECD，求出∠A＝60°，得到∠E＝60°，由平行线的性质推出∠BCE＝∠E＝60°，求出∠ACE＝30°，得到∠ACD∠ACE＝15°，即可求出∠ADC＝105°．于是得到∠ADC的度数为60°或105°． 【解答】解：当DE∥AC时，如图， 由折叠的性质得：∠CDE＝∠CDA， ∵DE∥AC， ∴∠CDE＝∠ACD， ∴∠CDA＝∠ACD， ∵∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝60°， ∴∠ADC（180°﹣60°）＝60°； 当DE∥BC时，如图， 由折叠的性质得：∠E＝∠A，∠ACD＝∠ECD， ∵∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝60°， ∴∠E＝60° ∵DE∥BC， ∴∠BCE＝∠E＝60°， ∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ACD∠ACE＝15°， ∴∠ADC＝180°﹣60°﹣15°＝105°． ∴∠ADC的度数为60°或105°． 故答案为：60°或105°． ( 含30度角的直角三角形 ) 27．（2024春•西平县期末）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC＝16，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由等边三角形的性质推出∠C＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝BC＝16，由含30°角的直角三角形的性质推出BFAB，而AB＝BC＝16，即可求出BF的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝BC＝16， ∵DE⊥AC， ∴∠CDE＝90°﹣∠C＝30°， ∴CECD， ∵CDBC， ∴CEBCAC， ∴AEAC， ∵EF⊥AB于点F， ∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝30°， ∴AFAEACAB， ∴BFAB16＝10． 故选：D． 28．（2024春•平顶山期末）如图，CD是△ABC边AB上的高，且AB＝AC＝4，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 　4　 ． 【分析】作出图形，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，根据等边对等角可得∠B＝∠ACB，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝15°， ∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°， ∴CDAC4＝2， ∴△ABC的面积AB•CD4×2＝4． 故答案为：4． ( 勾股定理 ) 29．（2024春•开封期末）小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图的方式组成图案，正方形A和B的面积分别为3和4，若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形C的边长为（　　） A．5 B．6 C． D． 【分析】根据勾股定理得SA+SB＝SC，代入计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，SA+SB＝SC， ∵正方形A、B的面积分别为3，4， ∴正方形C的面积为3+4＝7， ∴正方形C的边长为， 故选：D． 30．（2024春•殷都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．3 D．2 【分析】直接根据勾股定理解答即可． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB2＝5，AC2＝9， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴BC2＝AC2﹣AB2＝9﹣5＝4， ∴BC2． 故选：D． 31．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以三角形的各边为直径向上作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，阴影部分的面积为 　24　 ． 【分析】根据勾股定理求得AB的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以AB为直径的半圆的面积，之后再加上△ABC的面积，即可得解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得：， 以AC为直径半圆的面积：； 以BC为直径半圆的面积：； 以AB为直径半圆的面积：； Rt△ABC的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：24． 32．（2024春•确山县期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 　215　 ． 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为g，根据题意，运用勾股定理可得，g2＝a2+b2，正方形G的面积是正方形A、B的面积和，同理可得，正方形E的面积是正方形G、F的面积和，正方形F的面 积是正方形C、D的面积和，由此即可求解． 【解答】解：如图所述，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为g， ∴根据题意可得，a2＝16 b2＝9 g2＝a2+b2＝16+9＝25， 同理可得，正方形E的面积是正方形G、F的面积和， ∴正方形F的面积＝162﹣52＝231， 同理可得，正方形F的面积是正方形C、D的面积和， ∴正方形F的面积＝231﹣42＝215， 故答案为：215． 33．（2024春•淮阳区期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2025的值为 　（）2024　 【分析】根据题意表示出S1，S2，S3的值，找到规律，根据规律计算即可． 【解答】解：由题意可知，面积为S1的正方形的边长为1，S1＝1， 面积为S2的正方形的边长为，S2， 面积为S3的正方形的边长为，S3＝（）2， 面积为S4的正方形的边长为，S4＝（）3， .....． 一般规律为：Sn＝（）n﹣1 ，则S2025＝（）2025﹣1＝（）2024． 故答案为：（）2024． 34．（2024春•川汇区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长 直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出25，再结合ab＝8即可得出（a﹣b）的值，再根据勾股定理即可求出EF的长． 【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴AB2＝25， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴25， ∴（a﹣b）2+2ab＝25， ∴（a﹣b）2+2×8＝25， ∴（a﹣b）＝3（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴EF3， 故选：D． 35．（2024春•息县期末）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，则BC的长为（　　） A． B．3 C．5或 D．5 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC5， 故选：D． 36．（2024春•罗山县期末）如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2m，则木板AC的长为（　　） A．2m B．2.2m C．3m D．2.5m 【分析】根据勾股定理直接求出结果即可． 【解答】解：在Rt△ABC中根据勾股定理得：，故D正确． 故选：D． 37．（2024春•信阳期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP＝AC，即可得出答案． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴AC， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP＝AC， ∴点P表示的数是﹣1； 故选：A． 38．（2024秋•确山县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】证明∠BAD＝∠B，从而得AD＝BD＝2，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°，求出CD的长度即可求出BC的长度． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD＝2， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴CDAD＝1， ∴BC＝CD+BD＝3． 故选：B． 39．（2024春•管城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD上一点，且∠DEA＝36°，∠CEB＝54°，AE＝2，AB＝4，则BE＝（　　） A．3 B． C．4 D． 【分析】由平角定义求出∠AEB＝180°﹣36°﹣54°＝90°，由勾股定理即可得到BE2． 【解答】解：∵∠DEA＝36°，∠CEB＝54°， ∴∠AEB＝180°﹣36°﹣54°＝90°， ∵AE＝2，AB＝4， ∴BE2． 故选：B． 40．（2024春•惠济区期末）在四边形BCDE中，∠C＝∠BED＝90°，∠B＝60°，延长CD，BE，两线相交于点A，已知CD＝4，DE＝2，则BC的长是（　　） A．8 B． C．16 D． 【分析】先求出∠A＝30°，则AB＝2BC，AD＝2DE＝4，进而得出AC＝AD+CD＝8，最后根据勾股定理，即可解答． 【解答】解：∵∠B＝60°，∠C＝90°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC， ∵∠BED＝90°，DE＝2， ∴AD＝2DE＝4， ∵CD＝4， ∴AC＝AD+CD＝8， 根据勾股定理可得：AC2＝AB2﹣BC2＝（2BC）2﹣BC2＝3BC2， 即3BC2＝64， 解得：（负值舍去）， 故选：B． 41．（2024春•金水区期末）某古建筑屋顶房梁的一部分如图所示，其中AB＝AC＝2，AD⊥BC，∠B＝30°，则跨度BC的长为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝CD，再由∠B＝30°可知ADAB＝1，利用勾股定理求出BD的长，进而得出结论． 【解答】解：∵AB＝AC＝2，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵∠B＝30°， ∴ADAB＝1， ∴BD， ∴BC＝2BD＝2． 故选：B． 42．（2024春•梁园区期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　7　 ． 【分析】先根据勾股定理求出OB2的值，同理可得出OC2的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2， ∴OB2＝OA2+AB2＝22+12＝5； 同理，OC2＝OB2+BC2＝5+1＝6， ∴OD2＝OC2+CD2＝6+1＝7． 故答案为：7． 43．（2024春•长葛市期末）如图，已知线段AB＝2，经过点B作BD⊥AB，使，连接AD，在AD上截取DE＝BD；在AB上截取AC＝AE，则AC：AB＝　　 ． 【分析】根据勾股定理求出AD，再根据线段之间的关系即可解决问题． 【解答】解：∵BDAB＝1， ∴AD， 因为DE＝DB＝1， 所以AE＝AD﹣DE1， 所以AC＝AE1， 所以AC：AB． 故答案为：． 44．（2024春•息县期末）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，由勾股定理得；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2⋯以此类推，得OP2024＝　45　 ． 【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律，进而求出OP2024的长． 【解答】解：依题意，由勾股定理，得；， ∴以此类推可得， ∴． 故答案为：45． 45．（2024春•金水区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．点D为边BC上一点，且BD＝AC，过点B作射线BP⊥BC，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线BP的方向运动，连接DE． （1）如图1，当BE＝CD时，线段AD与DE相等吗？请说明理由． （2）当线段DE与△ABD的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【分析】（1）易得∠PBC＝∠C，根据SAS可得△ACD≌△DBE，那么AD＝DE； （2）①DE⊥AD时，根据ASA可得△ACD≌△DBE，求得BE的长，除以速度即为t的值； ②DE⊥AB交AB于点O时，根据ASA可得△ACB≌△DBE，求得BE的长，除以速度即为t的值． 【解答】解：（1）AD＝DE． 理由：∵BP⊥BC， ∴∠PBC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠PBC＝∠C． 在△ACD和△DBE中， ． ∴△ACD≌△DBE（SAS）． ∴AD＝DE． （2）①如图1：DE⊥AD． ∴∠ADE＝90°． ∴∠ADC+∠BDE＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°． ∴∠CAD＝∠BDE． 在△ACD和△DBE中， ． ∴△ACD≌△DBE（ASA）． ∴BE＝CD． ∵BD＝AC＝5，BC＝8， ∴BE＝CD＝BC﹣CD＝3． ∴t＝3． ②如图2：DE⊥AB交AB于点O． ∴∠DOB＝90°． ∴∠ODB+∠OBD＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠OBD＝90°． ∴∠CAB＝∠ODB． 在△ACB和△DBE中， ． ∴△ACB≌△DBE（ASA）． ∴BE＝BC＝8． ∴t＝8． 答：点E运动的时间t的值为3或8． ( 反证法 ) 46．（2024春•二七区期末）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（　　） A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于 【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于的反面，得到答案． 【解答】解：已知五个正数的和等于1， 用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于， 先要假设这五个正数都小于， 故选：B． 47．（2023秋•淮阳区期末）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b 【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可． 【解答】解：根据反证法的步骤，得： 第一步应假设a＜b不成立，即a≥b． 故选：D． 48．（2024春•中原区期末）用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 　一个三角形中每个角都小于60°　 ． 【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可． 【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即一个三角形中每个角都小于60°． 故答案为：一个三角形中每个角都小于60°． 49．（2024春•郑州期末）用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个角是直角”，第一步应假设 　一个三角形中最少有两个角是直角　 ． 【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可． 【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个角是直角”第一步应假设一个三角形中最少有两个角是直角． 故答案为：一个三角形中最少有两个角是直角． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/28 20:36:36；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 50．（2024春•浉河区期末）△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，点M、N分别在AB、BC边上，将△BMN沿MN折叠，使点B落在直线AC上的点B′处，当△AB’M为直角三角形时，∠BMN的度数为 　74°或45°　 ． 【分析】依据分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠AB′M＝90°时，利用平行线的性质和折叠的性质解答即可；②当∠AMB′＝90°时，利用直角的定义和折叠的性质解答即可． 【解答】解：①当∠AB′M＝90°时， ∵∠C＝90° ∴∠AB′M＝∠C＝90°， ∴B′M∥BC， ∴∠AMB′＝∠B＝32°， ∴∠BMB′＝148°， 由折叠的性质可得：∠BMN＝∠B′MN∠BMB′＝74°； ②当∠AMB′＝90°时， ∴∠BMB′＝90°， 由折叠的性质可得：∠BMN＝∠B′MN∠BMB′＝45°． 综上，BMN的度数为74°或45°． 故答案为：74°或45°． 51．（2024秋•淮阳区校级期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（　　） A．400 B．350 C．300 D．250 【分析】根据题意和图形，可以先写出前几个图中正方形的面积之和，发现面积的变化特点，然后即可计算出图11中所有正方形的面积之和． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， 由图可得， 图1中正方形的面积之和为：32+42+52＝50， 图2中正方形的面积之和为：50+32+42＝75， 图3中正方形的面积之和为：75+32+42＝100， …， ∴图11中所有正方形的面积之和为：25×12＝300， 故选：C． 52．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BCA＝60°，∠BAE＝150°，DC⊥AB且DC＝AE，若DC＝kAG（k为常数且k，设AG＝x，DE＝y，则y关于x的函数解析式为 　y＝x　 （用含有k的代数式表示）． 【分析】过E作EH∥AC，截取 EH＝AC，连接CH、DH．得出四边形AEHC是平行四边形，根据平行四边形的性质得出△DCH是等边三角形，进而证明△DHE是直角三角形，再根据勾股定理即可解答． 【解答】解：如图，过E作EH∥AC，截取 EH＝AC，连接CH、DH． ∴四边形AEHC是平行四边形， ∵DC⊥AB，AB＝AC，∠BCA＝60°， ∴∠DCA＝30°， ∴AC＝2AG＝2x， ∵∠BAE＝150°， ∴∠CAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝150°， ∴∠ACH＝30°， ∴∠DCH＝60°， ∴DC＝AE＝CH＝kx， ∴△DCH为等边三角形， ∴∠DHC＝60°， ∴∠DHE＝150°﹣60°＝90°， 根据勾股定理 DH2+HE2＝DE2， ∴（kx）2+（2x）2＝y2， ∴yx， 故答案为：y＝x． 53．（2024春•二七区期末）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　50°　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠BAC＝100°和，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及旋转的性质得∠BAM＝∠EAN＝α，AD＝AE＝AB，由ASA可判定△ABM≌△AEN，即可得证； （3）①当MD＝MO时，由旋转的性质得∠MDO＝40°，由∠AMO＝∠ABM+∠BAM，即可求解； ②当DM＝DO时，同理可求解；③当OD＝OM时，同理可求解． 【解答】（1）解：如图， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B ＝100°， ∵AD⊥BC， ∴， ＝50°， ∴α＝50°， 故答案为：50°； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABM＝∠C， 由旋转得：∠AEN＝∠C， ∠BAM＝∠EAN＝α， AD＝AE＝AB， ∴∠ABM＝∠AEN， 在△ABM和△AEN中， ， ∴△ABM≌△AEN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图，当MD＝MO时， 由旋转得：∠MDO＝40°， ∴∠MOD＝40°， ∴∠AMO＝2∠MDO＝80°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM， ∴∠BAM＝80°﹣40° ＝40°， ∴α＝40°； ②如图，当DM＝DO时， 由①得：∠MDO＝40°， ∴ ＝70°， ∴∠AMO＝∠MDO+∠DOM ＝110°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝110°﹣40° ＝70°， ∴α＝70°； ③如图，当OD＝OM时， 由①得：∠MDO＝∠DMO＝40°， ∴∠AMO＝180°﹣∠DMO ＝140°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝140°﹣40° ＝100°， ∴α＝100°， ∵0°＜α＜100°， ∴α＝100°不合题意，舍去； 综上所述：旋转角α的度数为40°或70°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$