暑假作业03 平面向量的数量积及应用（5大巩固提升练+2大能力培优练+2大创新题型练题型）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平面向量的数量积及应用 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平面向量数量积定义及辨析（易错）】 1.（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【解析】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD. 【易错警示】（1）向量数量积运算没有结合律；（2）向量不能作除法. 2．下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为的重心，则 【答案】CD 【解析】对于A选项，若，则，， 与平行或与夹角为锐角，所以A错误； 对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量， 而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误； 对于C选项，因为，所以， ，所以C正确； 对于D选项，为的重心，    则点，，分别为，，的中点， 且，，， 则，所以D正确． 故选：CD． 【题型二：求平面向量的数量积（重点）】 3.在中，，，，为的外心，则（       ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由已知可知,,又为的外心，是的中点，,. 故选：D. 4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，      则有，，,为弧上的点且，则， ， . 故选：A. 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【答案】0, 【解析】 如图，建立平面直角坐标系，则， 所以，， 【题型三：向量的投影（易错）】 6．已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上的投影向量为， 故选：A. 7．已知向量，则在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】向量，则，， ，， 所以在方向上的投影数量为. 故选：B 8．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上的投影向量，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 【易错警示】向量的投影为一个向量，而向量的投影数量是一个实数. 【题型四：向量的模长及夹角公式的应用（重点）】 9.已知夹角为，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解析】 故选：A. 【方法总结】解决向量的模长问题的方法是对向量进行平方，即利用模长公式，以达到将向量转化为实数的目的. 10．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得，，所以. 故选：B. 11．（多选）已知，则（   ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量方向上的投影向量坐标为 【答案】ACD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，， 则，C正确； 对于D，向量在向量方向上的投影向量，D正确. 故选：ACD 12．如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，． (1)用，表示和； (2)求向量与夹角的正弦值． 【答案】(1)，；(2)． 【解析】（1）以A为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，． ，，，， 设，则，解得，，， 设，则，解得，，． （2）由（1）知，，． ，． 故，． 故向量与夹角的正弦值为． 【规律总结】在涉及几何图形的向量问题中，若易于建系，则往往建立直角坐标系，利用向量的坐标运算来简化解题思路. 【题型五：向量的垂直问题（高频）】 13．已知向量满足，，且.若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且，所以，且， ， ， 则，解得. 故选：A 14.已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，可得，所以， 所以在方向上的投影的数量为. 故选：A. 15．已知向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，得, 因为， 所以与的夹角为. 16．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得，即， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线， 可得且，解得且， 所以实数的取值范围为. 【易错警示】依据两向量夹角求参数时,需要注意当夹角θ为0°时,cos θ=1>0;当夹角θ为180°时,cos θ=-1<0,这是容易忽略的地方.两向量的夹角θ为钝角的充要条件是-1<cos θ<0. 【题型一：向量数量积在物理中的应用】 1.已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，则力、的合力对质点所做的功为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，又，，所以， 所以力、的合力对质点所做的功为， 故选：B. 2.(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解析】对于A，根据题意，得，所以， 解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，由题意知的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确. 故选：AD 3.(多选)如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【解析】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 【题型二：向量数量积在平面几何中的应用（难点）】 4.已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】 由题意得，故， ∴，△ABC是直角三角形. 故选：C. 5.如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 6.(多选)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 7.在△ABC中,AB=1,AC=2,D为BC的中点.若点M为△ABC的外心,则·=　　　　.  【答案】 【解析】画出△ABC和外接圆,如图,过点M作MF⊥AC交AC于点F,ME⊥AB交AB于点E,则E,F分别为AB,AC的中点. ·=(+)· =·+· =||·||+||·|| =×1×+×2×1=. 8.已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据平行四边形性质，， 设，即， 解得，故 （2），则， 又，则， 于是到的距离为， 又， 则平行四边形的面积为： 9.如图，在等边三角形中，，线段与交于点. (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， 由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 【题型一：向量数量积的综合应用（难点）】 1．已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【解析】因为，，显然、、、均不为， 所以，即，所以， 所以， 因为向量与向量互相垂直， 所以 则，又，解得. 故选：C 2．在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】， ， 在中， ， ， 为线段上的一点，， . 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为. 故选：C 3．如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设， 则 ， 其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为． 4．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且，则的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 0 【来源】吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 【解析】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 5．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若函数； （i）求的值域； （ii）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）或. 【解析】（1）因为，，且， 则， 即 整理得，即， 两边取平方得：，解得； （2）因为，， 可得 设， 因为，则， 可得，， （ⅰ）设， 因为的图象开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可得：， 所以的值域为； （ⅱ）当取最小值时，即，此时， 设，由题意可得，解得 或， 所以或. 【题型二：与向量数量积有关的新定义题（难点）】 6．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【解析】设，由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 7．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则 ，若，，则的最小值为 ． 【答案】4， 【解析】因为平行四边形的面积为4， 所以， 所以. 因为，， 所以，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：； 8.如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. (1)若，，求的“完美坐标”； (2)已知，，证明：； (3)若，，设函数，，求不等式的解集. 【答案】(1)；（2）见解析；（3），. 【解析】（1）由题得， 所以， 所以， 即的“完美坐标”为. （2）证明：由题知， 所以 即. （3）由（2）得. 因为， 所以， 所以， ， 所以. 令， 则， 所以， 即， 解得（舍去）或， 所以， 即， 所以， 所以， 即不等式的解集为，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平面向量的数量积及应用 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平面向量数量积定义及辨析（易错）】 1.（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 2．下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为的重心，则 【题型二：求平面向量的数量积（重点）】 3.在中，，，，为的外心，则（       ） A．5 B．2 C． D． 4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【题型三：向量的投影（易错）】 6．已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，则在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 8．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量，则（ ） A．1 B． C． D． 【题型四：向量的模长及夹角公式的应用（重点）】 9.已知夹角为，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 10．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知，则（   ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量方向上的投影向量坐标为 12．如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，． (1)用，表示和； (2)求向量与夹角的正弦值． 【题型五：向量的垂直问题（高频）】 13．已知向量满足，，且.若，则（    ） A．2 B． C． D． 14.已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（   ） A．5 B．1 C． D． 15．已知向量满足，则与的夹角为 ． 16．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【题型一：向量数量积在物理中的应用】 1.已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，则力、的合力对质点所做的功为（    ） A． B．2 C．4 D． 2.(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 3.(多选)如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【题型二：向量数量积在平面几何中的应用（难点）】 4.已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5.如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.(多选)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 7.在△ABC中,AB=1,AC=2,D为BC的中点.若点M为△ABC的外心,则·=　　　　.  【答案】 8.已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 9.如图，在等边三角形中，，线段与交于点. (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【题型一：向量数量积的综合应用（难点）】 1．已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 2．在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ． 4．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且，则的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为 ． 5．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若函数； （i）求的值域； （ii）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 【题型二：与向量数量积有关的新定义题（难点）】 6．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 7．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则 ，若，，则的最小值为 ． 8.如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. (1)若，，求的“完美坐标”； (2)已知，，证明：； (3)若，，设函数，，求不等式的解集. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$