暑假作业04 等和线、极化恒等式-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 拓展专题1：等和线、极化恒等式 【知识点1 极化恒等式】 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【知识点2 等和(高)线定理】 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用极化恒等式求值（重点）】 1.设向量满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5 2.已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 3.如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于(　　) A.13 B.7 C.5 D.3 4.如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5.平行四边形中，，点满足.则 . 6.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是 ． 【题型二：利用等和线求基底系数的和（重点）】 7.如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 8.在中，，点为与的交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 9．（多选题）在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 10.在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ． 11.如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为 . 12．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 . 【题型一：利用极化恒等式求最值（范围）（高频）】 1.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） 3.正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 5．在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为 ． 【题型一：利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 6.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 7.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 8.（多选题）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 9.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 10.在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 . 11.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不包含边界)运动，设=x+y(x，y∈R)，则x+y的取值范围是　　　　　　.  【题型一：新定义题（难点）】 1.对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 . 3.“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围. 【题型二：综合应用题（难点）】 4．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且. (1)求的值； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值．    2.在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.    (1)若. ①用，表示； ②若，求的值； (2)若，求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 等和线、极化恒等式 【知识点1 极化恒等式】 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【知识点2 等和(高)线定理】 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用极化恒等式求值（重点）】 1.设向量满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】由极化恒等式得 故选：A. 2.已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 3.如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于(　　) A.13 B.7 C.5 D.3 【答案】C 【解析】连接PO(图略)，由向量极化恒等式知·=-=-=9-4=5. 故选：C 4.如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 5.平行四边形中，，点满足.则 . 【答案】3 【解析】由题意可知： , 6.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是 ． 【答案】9 【解析】在平面四边形中，O为BD的中点，且， 若， 则 ， ，， . 【题型二：利用等和线求基底系数的和（重点）】 7.如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，则． 故选：A． 8.在中，，点为与的交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即， 三点共线， 可得， 所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 9．（多选题）在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】令且，而， 又，则， 所以，则，且， 故A、C满足，B、D不满足. 故选：AC. 10.在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ． 【答案】 【解析】设， ∵在平行四边形中，为的中点，在线段上，且， ∴， ∵，均为实数，， ∴， ∴，解得:， ∴． 11.如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，分别为线段，的中点， 所以, , , 所以 , 所以，解得， 所以， 所以的值为. 12．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 . 【答案】4 【详解】试题分析： 【题型一：利用极化恒等式求最值（范围）（高频）】 1.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 2.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 与交于点，由得： ， 所以四边形是菱形，且，则，， 由图知，，而， ∴， 同理，，而， ∴， ∴， ∵点是圆内一点，则，∴， 故选：A. 3.正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为外接圆的圆心， 因为，所以， 当弦的长度最短时，， 在中，由正弦定理知，外接圆半径，即， 所以， 因为，即， 所以， 因为点为线段上的动点， 所以当点与点重合时，； 当点与点重合时，， 在中，由余弦定理知， ， 所以， 综上，， 所以．    故选：D． 4.已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 【答案】. 【解析】记线段的中点为，点到直线的距离为， 则有，解得， 由极化恒等式可得： . 5．在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，则，， ， 当且仅当且时取等号， 【题型一：利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 6.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】取AD中点F，则，直线FP交AE于G， 设 ∵ FPG三点共线 ，∴， 当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值， 7.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 8.（多选题）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 【答案】ABD 【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式） 对于B选项： , （分点恒等式） （三点共线定理），故B正确 补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项. 对于C选项：，故C错误； 对于D选项：，故D正确. 故选ABD. 9.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【答案】[1,4] 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 10.在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 . 【答案】[0,1] 【解析】 由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 11.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  【答案】[3，4] 【解析】如图， 直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈.设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β∈[3，4]. 12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不包含边界)运动，设=x+y(x，y∈R)，则x+y的取值范围是　　　　　　.  【答案】 【解析】如图，作CE⊥BD于点E，由△CDE∽△DBA知=， 即=，所以CE=， 设与BD平行且与圆C相切的直线交AD的延长线于点F， 作DH垂直于该直线于点H，显然DH=2CE=， 由△DFH∽△BDA得=， 即=，所以DF=， 过点P作直线l∥BD，交AD的延长线于点M， 设t=，则x+y=t， 由图形知“等和线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1=<<=， 即1<t<， 故x+y的取值范围是. 【题型一：新定义题（难点）】 1.对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 2．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 . 【答案】 【解析】正八边形内角和为， 则，取AC中点， 则， 所以， 又， 所以 由对称性可得，所以， 过点分别作，垂足为， 则都为等腰直角三角形，且， 所以， 所以， 所以. 3.“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围. 【答案】 【解析】如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. 【题型二：综合应用题（难点）】 4．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且. (1)求的值； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值．    【答案】（1） ；（2） 【解析】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 2.在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.    (1)若. ①用，表示； ②若，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）①因为，所以， 故在中，； ②因为，，三点共线，设， 所以， 因为，所以，所以 又由①及已知，，所以， 解得； （2）因为，又，，三点共线，设， 所以， 又因为，所以， ， 当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$