第04讲 解三角形【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

第4讲 解三角形 · 【复习目录】 · 一、余弦定理解三角形 · 二、正弦定理解三角形 · 三、三角形面积公式及其应用 · 四、化角为边判断三角形形状 · 五：化边为角判断三角形形状 · 六、三角形解的个数问题 · 七、正、余弦定理的实际应用 · 八、利用三角函数值域求周长、面积范围问题 · 九、利用基本不等式求周长、面积范围问题 · 十、正、余弦定理在几何图形中的计算 · 十一：解三角形和三角形的交汇问题 【知识梳理】 知识点01．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点02．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 知识点03.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点04:测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【题型归纳】 题型一、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·福建福州·期末）的内角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B．4 C． D．3 2．（23-24高一下·河南开封·期末）在中，角的对边分别为，已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期末）若的内角，，对边分别是，，，，且，则角大小为（    ） A． B． C． D． 题型二、正弦定理解三角形 4．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 6．（23-24高一下·广西北海·期末）在中，内角的对边分别为 ，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三、三角形面积公式及其应用 7．（23-24高一下·江西萍乡·期末）的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 8．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 9．（23-24高一下·福建龙岩·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 题型四、化角为边判断三角形形状 10．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 11．（22-23高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 12．（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 题型五：化边为角判断三角形形状 13．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 14．（23-24高一下·陕西安康·期末）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（    ） 15．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 题型六、三角形解的个数问题 16．（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七、正、余弦定理的实际应用 19．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 20．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，相距米的，之间是一条小路（，可看作两条平行直线），为测量点到的距离（，在点的同侧），某研究小组在一侧东边选择点，作为测量起始位置，与交于点，从点出发向西走米到达，测得，继续向西走米到达点，与交于点，继续向西走米到达点，测得，则 . 21．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.    题型八、利用三角函数值域求周长、面积范围问题 22．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九、利用基本不等式求周长、面积范围问题 25．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高一下·江苏无锡·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则BC边上的高的最大值为 . 27．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 题型十、正、余弦定理在几何图形中的计算 28．（23-24高一下·陕西商洛·期末）在中，已知为的中点，，，. (1)求的面积； (2)求的长. 29．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 30．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 题型十一：解三角形和三角形的交汇问题 31．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 32．（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 33．（20-21高一下·浙江·期末）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足. （1）求C； （2）若，求当函数取最小值时的周长； （3）求的取值范围． 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·四川绵阳·期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 5．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知中，分别为内角的对边，且，则角等于（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 7．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 二、多选题 9．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 10．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）中角所对的边分别为，若，则下列结论正确的有（    ） A．若，则有一个解 B．若有两个解，则有可能等于 C．若为等腰三角形，则或4 D．若为直角三角形，则一定为2 11．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则一定有 B．若是锐角三角形，则一定有成立 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 12．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上一动点，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．当为角的角平分线时， D．当为中点时， 13．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．面积的最大值为 C．若为边的中点，则的最大值为3 D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 三、填空题 14．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 . 48．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知的内角的对边分别为若，且.则周长的最大值为 . 15．（23-24高一下·吉林·期末）在中，角，，的对边分别是，，，，，是内角的角平分线，和的面积分别是，，且，则 ． 16．（23-24高一下·贵州黔西·期末）在中，角的对边分别为，，且是关于x的方程的两个不等实数根，则 ． 17．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 四、解答题 18．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 19．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 20．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 21．（23-24高一下·山东青岛·期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 22．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 解三角形 · 【复习目录】 · 一、余弦定理解三角形 · 二、正弦定理解三角形 · 三、三角形面积公式及其应用 · 四、化角为边判断三角形形状 · 五：化边为角判断三角形形状 · 六、三角形解的个数问题 · 七、正、余弦定理的实际应用 · 八、利用三角函数值域求周长、面积范围问题 · 九、利用基本不等式求周长、面积范围问题 · 十、正、余弦定理在几何图形中的计算 · 十一：解三角形和三角形的交汇问题 【知识梳理】 知识点01．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点02．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 知识点03.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点04:测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【题型归纳】 题型一、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·福建福州·期末）的内角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求的值，进而利用余弦定理即可求解的值． 【详解】解：因为，，， 所以， 则由余弦定理可得． 故选：A． 2．（23-24高一下·河南开封·期末）在中，角的对边分别为，已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理把边化为角，再用和差公式得，所以，再用余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得， ，， 即， ，， ，即， ，又， . 故选：. 3．（23-24高一下·重庆·期末）若的内角，，对边分别是，，，，且，则角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合余弦定理即可求解. 【详解】且，，即， 根据余弦定理可得， 又，. 故选：B 题型二、正弦定理解三角形 4．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求出，即可求出. 【详解】由正弦定理，则， 又，所以，所以， 所以. 故选：C 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 6．（23-24高一下·广西北海·期末）在中，内角的对边分别为 ，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理得，所以，故A正确. 故选：. 题型三、三角形面积公式及其应用 7．（23-24高一下·江西萍乡·期末）的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据正弦定理解出或，再根据三角形内角和定理求出，从而可以由面积公式解得． 【详解】由正弦定理得，即，解得， 是三角形内角，或 当时，，； 当时，． 故选：C． 8．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 【答案】B 【分析】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系，再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 即， 则， 即，其中，， 其中和的最大值为1，只有当，时，等号成立， ，， 设，由， 则，所以的面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过函数的最值，确定角的关系，从而确定三角形. 9．（23-24高一下·福建龙岩·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式可得，根据余弦定理可得，则，即可求解. 【详解】由题意知，，又， 所以，得， 由余弦定理得， 所以，得. 故选：C 题型四、化角为边判断三角形形状 10．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 11．（22-23高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形. 故选：D 12．（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得，再利用基本不等式结合面积公式运算求解. 【详解】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 题型五：化边为角判断三角形形状 13．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，从而分析得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 则，即， 因为，所以，则， 又，所以， 则为直角三角形. 故选：C 14．（23-24高一下·陕西安康·期末）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用正弦定理，边转角，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以，故三角形为直角三角形. 故选：B. 15．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【详解】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 题型六、三角形解的个数问题 16．（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 17．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到三角形有两解的条件，进而得解. 【详解】三角形中，，如图， 当有两解时，， 即，即. 故选：A. 18．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解. 【详解】的外接圆的半径， 如图所示，,是圆的直径. 可知点在优弧上（不包括端点）， 当为时，此时取到最大值； 当点从点A到时，此时越来越大，且； 当点从点到C时，此时越来越小，且； 综上所述：若只有一个解，则的取值范围为. 故选：D. 题型七、正、余弦定理的实际应用 19．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 【答案】15米 【分析】由题意可得，，在中，由余弦定理可得的大小． 【详解】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 20．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，相距米的，之间是一条小路（，可看作两条平行直线），为测量点到的距离（，在点的同侧），某研究小组在一侧东边选择点，作为测量起始位置，与交于点，从点出发向西走米到达，测得，继续向西走米到达点，与交于点，继续向西走米到达点，测得，则 . 【答案】 【分析】根据两角差的公式，可解出，再根据正弦定理可得出，再利用直角三角形的性质求解距离即可. 【详解】由题意知相距米的，之间是一条小路， 所以，，，， 所以，则， 在中根据正弦定理知，解得， 由，得到. 故答案为： 21．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为 米.    【答案】90 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 题型八、利用三角函数值域求周长、面积范围问题 22．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 23．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. 24．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 题型九、利用基本不等式求周长、面积范围问题 25．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可. 【详解】由余弦定理得, 所以由正弦定理得, 所以, 所以， 所以, 可得 由余弦定理可得, 又因为基本不等式所以, 所以, 当且仅当时，取最大值2， 因为,所以, 所以. 故选：B. 26．（22-23高一下·江苏无锡·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则BC边上的高的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得,由基本不等式以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理可得 ，所以， 又，当且仅当时取等号，故，故 的最大值为 设边上的高为 则，要使最大，则三角形的面积最大即可，故的最大值为， 故答案为： 27．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 8 【分析】根据三角恒等变换可得，即可求解，根据向量的模长关系即可求解，由基本不等式即可求解最值. 【详解】由可得，， 即， 即， 由于，则， 化简可得，由于，故， 由于，所以， 故， 故, 即， 化简得， 故，当且仅当时取等号， 故答案为：，8 题型十、正、余弦定理在几何图形中的计算 28．（23-24高一下·陕西商洛·期末）在中，已知为的中点，，，. (1)求的面积； (2)求的长. 【答案】(1). (2). 【分析】(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积； (2)根据余弦定理可求出的长. 【详解】（1）根据题意可知， 又因为为的中点，可得， ，，， 根据余弦定理， 代入已知条件得， 得到，故所以可得是直角三角形， 所以可得 故答案为： （2）由第一问可知， 根据余弦定理可知， 代入得， 所以可得， 故答案为： 29．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【详解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 30．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【详解】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 题型十一：解三角形和三角形的交汇问题 31．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解法一：根据可得利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而分析求解；解法二：由内角和定理结合正弦定理得出，再由三角恒等变换得出； （2）由正弦定理得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由可得，代入， 得，即， 则. 由正弦定理得， 即， 即，可得. 因为，则， 可知，解得. 解法二：因为，所以. 又因为，则. 即， 由正弦定理得. 且 ， 即有.解得. 由，可得. （2）由（1）可得， 由正弦定理得，① 由余弦定理得. 对①式进行变形可得， 所以. 因为为锐角三角形，所以即 解得，从而， 又，所以，即的取值范围为. 32．（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小； （2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积； （3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解. 33．（20-21高一下·浙江·期末）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足. （1）求C； （2）若，求当函数取最小值时的周长； （3）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）先由题中条件，得到，再由正弦定理将该式变形整理，求出，即可得出角； （2）先将化简整理，得到，确定其取最小值时，，进而可求出各边长，得到三角形的周长； （3）先由（1）得到，，将所求式子化为，化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围. 【详解】（1）由题意可得， 根据正弦定理可得，则， 所以，又为三角形内角，所以，因此，所以； （2）因为， 由可得，因此；所以当且仅当时，取得最小值，此时； 因为，所以，， 则的周长为； （3）因为，所以，， 因此， 因为，所以， 因此，所以， 即的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 求解三角形的相关问题时，一般先利用正弦定理或余弦定理将题中条件进行转化，求出所需角或边；再结合题中条件，进行求解；有时也会利用三角函数的性质或基本不等式求解最值或范围问题. 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，将角化边，再用余弦定理的推论得到，再次用余弦定理的推论求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 化简得， 将代入可得， 所以， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 3．（23-24高一下·四川绵阳·期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三角函数分别表示，然后分别在中利用余弦定理表示，因为，所以可得,进而求解即可. 【详解】设， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为,所以， 即，解得， 所以该古建筑的高度为. 故选：C. 4．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得． 【详解】连接AC， 可得， ，， 在中，由正弦定理得， 即，则， 在中，由余弦定理得， 则． 故选：C． 5．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知中，分别为内角的对边，且，则角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求角. 【详解】由，结合正弦定理可得， 所以，由余弦定理可得， 又，所以. 故选：D. 6．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 7．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 二、多选题 9．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 【答案】AC 【分析】对于A，运用余弦定理求解即可；对于B,C,D借助正弦定理求解即可. 【详解】对于A，由，得，解得或（舍去），故A正确. 对于B、C，因为，所以，解得，故B错误，C正确. 对于D，设外接圆的半径为，因为，所以外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC. 10．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）中角所对的边分别为，若，则下列结论正确的有（    ） A．若，则有一个解 B．若有两个解，则有可能等于 C．若为等腰三角形，则或4 D．若为直角三角形，则一定为2 【答案】AB 【分析】A选项，由余弦定理得到，故只有一个解；B选项，由余弦定理得，根据得到有两个解；C选项，当时，， 当时，由正弦定理求出；D选项，若为直角时，，若为直角时，. 【详解】A选项，由余弦定理得， 即，故， 解得，故有一个解，A正确； B选项，当时，由余弦定理得， 即，解得， 因为，而，故有两个解，B正确； C选项，当时，， 当时，， 由正弦定理得，即， 其中 ， 故，解得，C错误； D选项，若为直角，，故， 若为直角，，故， 则不一定为2，D错误. 故选：AB 11．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则一定有 B．若是锐角三角形，则一定有成立 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理以及三角形的性质，即可判断A，根据锐角三角形角的关系，以及三角函数的单调性，即可判断B，根据余弦定理角化边，即可判断C，利用正弦定理，结合余弦定理，以及三角形的性质，即可判断D. 【详解】对于A，若，根据正弦定理得， 结合三角形中“大边对大角”，可得，故A项正确； 对于B，若是锐角三角形，则､均为锐角，且， 可得，两边取正弦得，即，故B项正确； 对于C，若， 则，去分母得， 整理，可知是以为斜边的直角三角形，故C项正确； 对于D，若，则，即， 由正弦定理得，可得，结合，可知为锐角， 但不能得到是锐角三角形，故D项不正确. 故选：ABC. 12．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在中，为边上一动点，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．当为角的角平分线时， D．当为中点时， 【答案】ABC 【分析】对于A，由余弦定理即可得解；对于B，由A结合正弦定理即可得解；对于C，由计算即可得解；对于D，由两边平方计算即可得解. 【详解】对于A，由题意及余弦定理得， ，故A正确； 对于B，由A结合正弦定理可知的外接圆半径为，故B正确； 对于C，当为角的角平分线时，则由， 得， 所以， 即，故C正确； 对于D，当为中点时，有， 所以 ， 所以，故D错误. 故选：ABC. 13．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．面积的最大值为 C．若为边的中点，则的最大值为3 D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题． 【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长， 由于是锐角三角形，因此即解出， 则则，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 14．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得. 【详解】在中，由为的角平分线，得， 由，得， 则，所以. 故答案为： 48．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知的内角的对边分别为若，且.则周长的最大值为 . 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式可得，求出的最大值，即可得周长的最大值. 【详解】因为，所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，得， 则，即周长的最大值为. 故答案为：. 15．（23-24高一下·吉林·期末）在中，角，，的对边分别是，，，，，是内角的角平分线，和的面积分别是，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再根据角分线的性质可将面积比转化为边之比，再根据余弦定理可得边长与面积. 【详解】如图所示，    分别作，，垂足分别为， 因为是内角的角平分线，所以，所以和的面积之比为， 又因为，所以，即， 因为，， 所以，所以，所以， 又，所以， 由余弦定理可得，则，即， 故， 故答案为：. 16．（23-24高一下·贵州黔西·期末）在中，角的对边分别为，，且是关于x的方程的两个不等实数根，则 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理，求得，根据题意，得到再由向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得， 又因为，所以， 由是关于x的方程的两个不等实数根， 可得， 所以. 故答案为：. 17．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 19．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 20．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． （2）在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． （3）由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 21．（23-24高一下·山东青岛·期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量中线定理建立方程求解参数即可. （2）先用余弦定理求出，再利用正弦定理求解即可. （3）利用折叠性质结合正弦定理将所求边长表示为三角函数，再结合三角函数有界性求解即可. 【详解】（1） 化简得：，， （2）在中，由余弦定理得： ，（负根舍去）， 由正弦定理得：，解得：， 或(舍去) （3）连接，则为线段的垂直平分线 ，设，则， 设，在中，由正弦定理得：， ，最大时即为的补角， 而，所以， ，， 长度最小值. 22．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（i）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得；（ii）在中，分别运用正、余弦定理得到①，②两式，结合③式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，可得， 所以，即. （2）（i）在中，由正弦定理得， 可得，即（*）， 由（1）已证：，即， 将 （*）代入得，，即， 解得或（舍去）， 因为，所以. （ii）在中，由正弦定理得， 即①， 由余弦定理得②， 因为，，,所以，所以③， 在中，由余弦定理得:， 将①，②，③式依次代入即得： ， 因为，所以， 结合正弦函数的图象可得，， 所以，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理和三角恒等变换在解三角形中的应用，属于难题. 解题关键在于结合图形，寻找边与角之间的数量关系，对于求解与边长有关的范围问题，一般方法即是借助于正、余弦定理和题设条件，将其转化为某角的三角函数式，通过三角函数的值域求解，或者运用基本不等式，函数单调性进行求解. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$