第02讲 三角函数基础、恒等变换【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

第02讲 三角函数基础、恒等变换 【复习目录】 · 一、任意角和弧度制 · 二、任意角的三角函数 · 三：各象限三角函数的符号 · 四：同角三角函数关系 · 五、诱导公式 · 六、两家和差公式 · 七、二倍角公式 · 八、求角求值型 · 九、给值求值型 · 十、给值求角型 · 十一：三角函数恒等式变换综合问题 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 知识点二：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 知识点三．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点四．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 知识点五．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 【题型归纳】 题型一、任意角和弧度制 1．（24-25高一上·宁夏固原·期末）若是第三象限角，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 2．（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知扇形OAB的周长为8cm，圆心角，则该扇形中弦长（　　） A．2 cm B．4 cm C．2sin1 cm D．4sin1 cm 题型二、任意角的三角函数 4．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.若将角的终边逆时针旋转得到角，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型三：各象限三角函数的符号 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 8．（23-24高三上·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高一上·河南信阳·期末）若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型四：同角三角函数关系 10．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知，那么的值是 . 11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知角为第二象限角，且满足，则的值为 . 12．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知，则 ． 题型五、诱导公式 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 14．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知是钝角，，则 ． 15．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点． (1)求的值； (2)求的值． 题型六、两家和差公式 16．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则 . 17．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知为锐角，． (1)求证：； (2)的值． 题型七、二倍角公式 19．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 20．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ． 21．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 题型八、求角求值型 22．（23-24高一下·江苏淮安·期末）（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高一下·江苏苏州·期中）若，则 . 24．（20-21高二上·江西景德镇·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型九、给值求值型 25．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十、给值求角型 28．（24-25高三上·河南周口·期末）当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 29．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 题型十一：三角函数恒等式变换综合问题 31．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若为第三象限角，且，求的值. 32．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 33．（24-25高一上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． (1)求； (2)的值． (3)求的值． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一上·广东揭阳·期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一下·河南南阳·期末）化简（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若．且，则 C． D． 13．（24-25高一上·广东茂名·期末）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知角的终边过点，已知弧长和面积均为的扇形的圆心角为，则 ． 16．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）求值： ． 50．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则的值为 ． 17．（24-25高一上·河南郑州·期末）在中，已知，则角 . 18．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 四、解答题 19．（24-25高一上·安徽合肥·期末）（1）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 20．（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)若，且，，求的值. 21．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． (1)求； (2)求的值； (3)若角是三角形内角，且，求的值． 22．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角函数基础、恒等变换 【复习目录】 · 一、任意角和弧度制 · 二、任意角的三角函数 · 三：各象限三角函数的符号 · 四：同角三角函数关系 · 五、诱导公式 · 六、两家和差公式 · 七、二倍角公式 · 八、求角求值型 · 九、给值求值型 · 十、给值求角型 · 十一：三角函数恒等式变换综合问题 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 知识点二：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 知识点三．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点四．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 知识点五．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 【题型归纳】 题型一、任意角和弧度制 1．（24-25高一上·宁夏固原·期末）若是第三象限角，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】C 【分析】首先利用不等式写出的范围，即可求解. 【详解】由题意可知， 所以， 所以是第二或第四象限角. 故选：C. 2．（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的长，利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为，， 由得：. 所以几何图形的面积为：. 故选：B 3．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知扇形OAB的周长为8cm，圆心角，则该扇形中弦长（　　） A．2 cm B．4 cm C．2sin1 cm D．4sin1 cm 【答案】D 【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，然后根据已知建立方程组求出r的值，再利用正弦函数化简即可求解． 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α， 由已知得，解得，则弦长（cm）． 故选：D 题型二、任意角的三角函数 4．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数型函数求出定点坐标，再利用三角函数的定义即可求得结果. 【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上所以． 故选：A． 5．（24-25高一上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.若将角的终边逆时针旋转得到角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得，利用诱导公式化简，再结合三角函数定义求，由此可得结论. 【详解】将角的终边逆时针旋转得到角，故， 所以， 因为角的终边经过点， 点到原点的距离， 所以， 所以. 故选：A. 6．（22-23高一上·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在单位圆上，且终边在第三象限，求出，再求出. 【详解】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， . 故选：C. 题型三：各象限三角函数的符号 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【详解】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 8．（23-24高三上·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件定义，结合三角函数的定义判断即可. 【详解】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立； 必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立； 故选：A 9．（23-24高一上·河南信阳·期末）若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限. 【详解】由，，得，， 因此，所以角是第四象限角. 故选：D 题型四：同角三角函数关系 10．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知，那么的值是 . 【答案】 【分析】根据题意，变为，计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知角为第二象限角，且满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以可得 ， 所以， 又因为是第二象限角，则，可得 所以. 故答案为：. 12．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】将平方可求出，借助完全平方公式求出，即可求值. 【详解】由得， 解得， 所以． 又因为，且， 所以， 所以， 则． 故答案为： 题型五、诱导公式 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 【答案】 【分析】应用诱导公式计算化简. 【详解】 . 故答案为： 14．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知是钝角，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系得，应用诱导公式化简求值即可. 【详解】由是钝角，，则， 所以. 故答案为： 15．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的性质求出定点坐标，再根据三角函数的定义求出，最后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得； （2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1）对于函数（且）， 令，解得，所以， 所以函数过定点坐标是，即， 所以，所以，，， 所以 ； （2） . ．题型六、两家和差公式 16．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】将化为，再利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题意得， 则， 故答案为： 17．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知为锐角，． (1)求证：； (2)的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可； （2）由（1）求出的值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以，又， 所以， 所以，即 所以 （2）， 所以， 因为为锐角，所以，所以， 所以，所以. 题型七、二倍角公式 19．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由、范围得范围，结合缩小范围，再用平方关系求. 同理可求； （2）考虑到，用两角和的余弦公式求得，用二倍角变形公式求，再结合范围即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以，又因， ，故， 因为，又因， 则，则. （2）因为； 所以 ， 因为， 则得， 因，故. 20．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由诱导公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以，， 所以． 故答案为： 21．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【详解】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 题型八、求角求值型 22．（23-24高一下·江苏淮安·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合两角和差的正切公式运算求解，注意的应用. 【详解】因为原式． 故选：D. 23．（21-22高一下·江苏苏州·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 24．（20-21高二上·江西景德镇·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果. 【详解】且，，. 又，，. 当时， ， ，，不合题意，舍去； 当，同理可求得，符合题意. 综上所述：. 故选：. 【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 题型九、给值求值型 25．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 26．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可. 【详解】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 27．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 题型十、给值求角型 28．（24-25高三上·河南周口·期末）当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】先根据降幂扩角公式化简，再进行拆角，结合两角和差的正弦公式化简即可求出，最后根据角的范围求出即可. 【详解】因为， 所以， 所以，因 所以， 所以，即 因为，时，， 所以，则. 故选：D. 29．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又， 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 30．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 又为钝角，所以. 故选：D 题型十一：三角函数恒等式变换综合问题 31．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若为第三象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可； （3）利用诱导公式和同角三角函数关系求出，，再根据余弦的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得. （2）若， 则. （3）因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 32．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意. （2）由（1）得若，则， 所以. （3）由（1）得若，， 则，，所以，， 所以， 又因为，所以，， 所以. 33．（24-25高一上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． (1)求； (2)的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案； （2）由诱导公式化简，后由可得答案； （3）根据半角公式，结合同角三角函数关系式联立方程组解题即可. 【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得， 即，所以； （2）由诱导公式，结合题意可得： ， 又，则 （3）根据半角公式，则， 由，即，可得. 又因为，把代入可得. 即，，，则. ，且终边与单位圆交点，终边在第一象限， 则，则， 则终边落在第一象限，则，则，； 则的值为. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东揭阳·期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大的扇形面积减去小的扇形面积可求得结果. 【详解】，转化为弧度制为， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 则曲边四边形的面积为：. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 4．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：C. 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，，由两角差的余弦公式展开可得，根据同角三角函数的基本关系可得和的值，代入即可求解. 【详解】解：，都是锐角，，， ，， . 故选：D. 7．（2024·山西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的两角和与差的正弦公式，化简得到，再利用两角差的正切公式即可求的结果. 【详解】由，得， 即，所以，所以， 所以. 故选：C 8．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式、两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】因为 ， 所以， 即. 故选：A. 9．（21-22高一下·河南南阳·期末）化简（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简即得. 【详解】 . 故选：C. 二、多选题 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过诱导公式化简可判断AB，通过齐次式法求值可判断C，将已知等式平方可判断D. 【详解】，故A错误，B正确； 若，则，故C正确； 若，两边取平方，整理得：，即， 即，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数定义计算可得A错误，将代入计算可判断BD正确，再由诱导公式化简计算即可得出C正确. 【详解】对于A，由三角函数定义可知，即A错误； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，化简，即C正确； 对于D，将代入可得： 原式，可得D正确. 故选：BCD 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若．且，则 C． D． 【答案】ABD 【分析】对选项A，由分子分母同除以求解判断；对选项B，利用两角和的余弦公式求解判断；对选项C，利用二倍角的正弦公式求解判断；对选项D，利用两角和的正切公式求解判断. 【详解】对选项A，分子分母同除以得，即，故A正确； 对选项B，∵，∴， ∴， ∵，∴，∴．故B正确； 对选项C，， ，故C错误； 对选项D，， ，故D正确． 故选：ABD. 13．（24-25高一上·广东茂名·期末）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②，故A正确； ，，由②，，，故B正确； ③，故C错误； ①③联立解得，所以，，故D正确． 故选：ABD． 14．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 三、填空题 15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知角的终边过点，已知弧长和面积均为的扇形的圆心角为，则 ． 【答案】/ 【分析】应用扇形的弧长、面积公式求得，根据三角函数的定义得，再应用诱导公式求. 【详解】由题意，可得，又， . 故答案为： 16．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）求值： ． 【答案】1 【分析】由，切化弦，再由辅助角公式即可化简求值； 【详解】 ． 故答案为：1 50．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，结合诱导公式可得结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 17．（24-25高一上·河南郑州·期末）在中，已知，则角 . 【答案】 【分析】根据题意由两角和的正切公式可得，即可得，求出结果. 【详解】由，得， 即，又， 所以，则， 故答案为： 18．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，，根据角的关系，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则，， 且，， 可得，， 又因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高一上·安徽合肥·期末）（1）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）3（2） 【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可； （2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解. 【详解】（1）因为为终边上一点，则， ； （2）由，，可得， 又，，则， ， 所以. 20．（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简得，再利用同角三角函数基本关系求得，即可得解； （2）结合已知角的范围及同角三角函数基本关系求得，，然后利用两角差的正弦公式求得，然后根据角的范围求解角即可. 【详解】（1）， 由，得，又，所以，所以. （2）由得，所以， 又，所以. 由于，故，，， 所以，，故， ， 所以 ， 又因为，故. 21．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． (1)求； (2)求的值； (3)若角是三角形内角，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或1 【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解； （2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解； （3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）解：因为角终边过点， 所以点P到原点的距离为， 所以； （2）由（1）知：， 所以， ； （3）因为是三角形内角，且， 所以， 由（1）知：， 所以， 当时，， ； 当时，， . 22．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【分析】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【详解】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$