第01讲 平面向量【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

第01讲 平面向量 【复习目录】 · 一、平面向量的概念 · 二、平面向量的线性运算 · 三、平面向量共线定理 · 四、用基底表示向量 · 五：平面向量基本定理的应用 · 六、平面向量线性运算的坐标表示 · 七、平面向量的数量积运算 · 八：投影向量的计算 · 九：平面向量与几何最值 · 十：平面向量解决夹角和长度问题 · 十一、平面向量综合问题 【知识归纳】 知识点1．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点3．平面向量共线/垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ⑴a∥b ⇔ b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0 ⑵a⊥b ⇔ a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点4．平面向量的数量积 a·b=|a||b|·cos θ. cos θ＝ 知识点5．a在向量b上的投影向量： 知识点6、．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一、平面向量的概念 1．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 2．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误. 故真命题的个数是0个. 故选：A 题型二、平面向量的线性运算 4．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可. 【详解】. 故选：D 5．（23-24高一下·河南驻马店·期末）设为所在平面内一点，，为的中点，与交于点，设，则 ． 【答案】 【分析】据已知可得，并进一步得到，最后根据点在直线上得到，解之即可. 【详解】由可知. 由于为的中点，故. 故，所以. 而根据题意，点在直线上，故，从而. 故答案为：. 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】C 【分析】对于A，根据正八边形的性质可求出，对于B，利用向量的加法法则分析判断，对于C，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D，根据投影向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的夹角为，所以A错误， 对于B，由于四边形不是平行四边形，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以，所以C正确. 结合图形可知在上的投影向量与的方向相反，所以D错误. 故选：C 题型三、平面向量共线定理 7．（23-24高一下·四川成都·期中）设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 【答案】-7 【分析】求出，设，得到方程组，得到. 【详解】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 . 【答案】 【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解. 【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得， 所以，即， 又因为是两个不共线的向量，所以， 解得 故答案为：. 9．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量性质得出的关系，再应用基本不等式计算积的最大值即可. 【详解】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型四、用基底表示向量 10．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】在中，，则， 所以. 故选：B. 11．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】因为在正方形中，为的中点，为的中点， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C 12．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得，所以， 在中，， 即， 即，整理得. 故选：C 题型五：平面向量基本定理的应用 13．（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果. 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为、、三点共线， 所以， 所以. 故选：C. 14．（23-24高一下·四川内江·期末）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可. 【详解】由题可知， 点在上， 则存在实数λ，使得 ， ， ， ， 故选：C 15．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 题型六、平面向量线性运算的坐标表示 16．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点的坐标求得，由平行四边形的性质有，求值即可. 【详解】由，，有， 平行四边形中，有，即， 故选：D. 17．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知平面向量，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】先分别求出和的坐标，再由两向量平行列方程可求出的值. 【详解】因为， 所以，， 因为， 所以，得， 故选：A 18．（23-24高一下·广东清远·期末）已知正方形的边长为2，，，，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意表示出的坐标，从而可求出，进而可求出其模. 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 则， 所以，，， 所以， 所以. 故选：D 题型七、平面向量的数量积运算 19．（23-24高一下·甘肃·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论； （2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即； （2）因为，，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 20．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 21．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 题型八：投影向量的计算 22．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 23．（23-24高一下·四川德阳·期末）若，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求得值，根据投影向量的定义公式计算即得. 【详解】由可得，，解得，则， 在方向上的投影向量为. 故选：D. 24．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义可得答案. 【详解】在中，，，由余弦定理得 ， 所以，即，是直角三角形， 又，所以点是的外心，且点是斜边的中点， 的等边三角形，且， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：C.    题型九：平面向量与几何最值 25．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 26．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：D． 27．（23-24高一下·福建·期末）在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为 . 【答案】50 【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律可得，进而根据模长公式得，利用三角换元，即可结合三角恒等变换即可求解. 【详解】 ＝ ＝， 由，得，即， 即，即， 设， 则，（其中）， 当时，即时，取到最小值50，即的最小值50， 故答案为：50 题型十：平面向量解决夹角和长度问题 28．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 29．（23-24高一下·山东青岛·期中）在等腰梯形中，，，，．    (1)若与垂直，求的值； (2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到各边长，并建立平面直角坐标系，得到，根据与垂直，得到方程，求出； （2）设，，则，求出最小值. 【详解】（1）过作于 ， 等腰梯形中易知 ， 又，故可得 ， 如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，    则， 所以， 故 因为与垂直，所以， 解得； （2）设，，则，， 则， 则， 对，其对称轴， 故其最小值为， 所以的最小值为. 30．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 题型十一、平面向量综合问题 31．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 32．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，边长为6的正中，点D在边上，且，点M在线段上． (1)若，求的值； (2)若，求x及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）直接分解向量即可求解； （2）由三点共线求得参数的值，然后求得各自的模、数量积，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）∵，而， ∴，则即为所求． （2）∵，得，∴， 又∵，∴， ∵M、B、D三点共线，∴，则即为所求x的值． 则，∴， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴即为所求． 33．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点． (1)若，求证：三点共线； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明； （2）根据平面向量线性运算，分别利用基底法和坐标法表示，得到关于的一元二次函数，再利用一元二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）由题意知，，          所以， 所以三点共线； （2）在梯形中，， 易得， 设，         解法一：所以，        所以，                         当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为；   解法二：因为， 所以， ， 所以 ，             当且仅当时，等号成立，所以最小值为；      解法三：以为坐标原点建立如图所示坐标系， 则， 设，则，              由于，因此， 解得，，      因此，             故，            当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末），若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值. 【详解】由得， ∵，，∴，解得. 故选：A. 2．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为，且， 可得，即， 又因为在方向上的投影向量为， 可得，即. 故选：D. 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故，即. 从而，当且仅当等号成立. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于采用恰当的配凑以运用基本不等式，从而求得最值. 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）在中，，且是边上一点，且，则的值为（    ） A． B．6 C． D．0 【答案】C 【分析】根据已知条件两边平方可得，结合三角形面积公式得，从而得到，最后代入计算得出结果； 【详解】因为， 两边平方得 化简得， 由三角形面积公式可得, , 代入化简得 因此可得 故选：C. 5．（23-24高一下·福建莆田·期末）已知点不共线，点（异于）满足，．若直线过线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得以及三点共线，进一步即可得解. 【详解】设中点为，则三点共线， 因为，， 所以，所以， 结合三点共线，可知，所以，对比选项可知，一定成立的只有B. 故选：B. 6．（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后将每个点用坐标的形式表示出来，根据条件，列出等式，并化简，最后求出的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则 设,. 则. 因为，所以. 化简得：. 解得：. 所以. 因为，所以. 所以. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 【答案】BCD 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错.    故选：BCD 8．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】BD 【分析】对于A,验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C,移项之后在平方求解即可；对于D,在向量上的投影向量为,据此求解即可. 【详解】对于A,因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B,因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C,因为，所以，即， 所以，所以，解得，故C错误； 对于D,因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 9．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）八卦图是中国古代哲学的重要符号，被广泛应用于易经、中医等领域，如图1为八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据数量积的定义求解数量积，即可判定AD，根据相等向量的定义即可求解B，根据模长的定义即可求解C. 【详解】对于A,由正八边形可得，则，A正确； 对于B，方向相反，故不是相等向量，B错误， 对于C, 由正八边形可得,C正确， 对于D，，故D错误． 故选：AC． 10．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】AD 【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 11．（23-24高一下·河北·期末）如图，在中，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算等知识，逐一分析可得出结果． 【详解】对于A，由题易知：， 所以， 则． ，且， 因为F为线段AB的中点，所以两式相加得，故A正确． 对于B，由题意可知，则，解得：， 所以， 所以由A可知： ，故B错误； 对于C，设G为线段DM的中点，则， 则 ，故C正确; 对于D， ， 又， 所以，故D正确． 【点睛】本题考查了向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题． 三、填空题 12．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标关系，即可求解. 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 13．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 【答案】1 【分析】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【详解】 ， 故 故答案为：1 14．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 15．（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】由，可得，再由，得，则得，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 16．（23-24高一下·山东临沂·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，计算出 ，再根据向量的坐标运算法则计算出点的坐标. 【详解】因为，， 所以 ， 将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转， 得到， 其中， ， 化简得 ， 所以点坐标为. 故答案为：. 四、解答题 17．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知向量，的夹角为，，. (1)求在上的投影的数量； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据投影的数量公式求解即可； （2）根据平面向量的运算结合数量积公式求解即可； （3）根据求解即可. 【详解】（1）在上的投影的数量为：； （2）因为向量，的夹角为，且，， 所以. 所以. （3）， 所以. 18．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平行四边形中，，与相交于点，设．    (1)用分别表示； (2)求的余弦值． 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则即可得解； （2）法一：由（1）首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得；法二：建立坐标系，求出相应点坐标，首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得。 【详解】（1）在平行四边形中，， 又，所以 所以， 又，所以 所以，    过作交于， ，所以 （2）解法1：， ， 且在中， 为等边三角形，， ． 解法2：如图所示建系    则， ， ， ， 19．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量的数量积计算，即可得结果； （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）； （2）由于，可得，又有， 所以； （3）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， . 20．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意结合向量加法分析证明； （2）根据题意结合（1）可求，进而结合向量夹角公式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 且E，F分别为AD，BC的中点，则， 所以. （2）由题意可知：， 由（1）可知：，即， 则， ，即， 所以与的夹角的余弦值. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量 【复习目录】 · 一、平面向量的概念 · 二、平面向量的线性运算 · 三、平面向量共线定理 · 四、用基底表示向量 · 五：平面向量基本定理的应用 · 六、平面向量线性运算的坐标表示 · 七、平面向量的数量积运算 · 八：投影向量的计算 · 九：平面向量与几何最值 · 十：平面向量解决夹角和长度问题 · 十一、平面向量综合问题 【知识归纳】 知识点1．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点3．平面向量共线/垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ⑴a∥b ⇔ b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0 ⑵a⊥b ⇔ a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点4．平面向量的数量积 a·b=|a||b|·cos θ. cos θ＝ 知识点5．a在向量b上的投影向量： 知识点6、．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一、平面向量的概念 1．（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二、平面向量的线性运算 4．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南驻马店·期末）设为所在平面内一点，，为的中点，与交于点，设，则 ． 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 题型三、平面向量共线定理 7．（23-24高一下·四川成都·期中）设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 . 9．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 题型四、用基底表示向量 10．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（    ）    A． B． C． D． 题型五：平面向量基本定理的应用 13．（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24高一下·四川内江·期末）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 题型六、平面向量线性运算的坐标表示 16．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知平面向量，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 18．（23-24高一下·广东清远·期末）已知正方形的边长为2，，，，则（    ） A．0 B．8 C． D． 题型七、平面向量的数量积运算 19．（23-24高一下·甘肃·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 20．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 21．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型八：投影向量的计算 22．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·四川德阳·期末）若，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型九：平面向量与几何最值 25．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·福建·期末）在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为 . 题型十：平面向量解决夹角和长度问题 28．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 29．（23-24高一下·山东青岛·期中）在等腰梯形中，，，，．    (1)若与垂直，求的值； (2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值． 30．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 题型十一、平面向量综合问题 31．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 32．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，边长为6的正中，点D在边上，且，点M在线段上． (1)若，求的值； (2)若，求x及的值． 33．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点． (1)若，求证：三点共线； (2)若，求的最小值． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末），若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）在中，，且是边上一点，且，则的值为（    ） 5．（23-24高一下·福建莆田·期末）已知点不共线，点（异于）满足，．若直线过线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 8．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 9．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）八卦图是中国古代哲学的重要符号，被广泛应用于易经、中医等领域，如图1为八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 11．（23-24高一下·河北·期末）如图，在中，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 三、填空题 12．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 13．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 14．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 15．（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 16．（23-24高一下·山东临沂·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 四、解答题 17．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知向量，的夹角为，，. (1)求在上的投影的数量； (2)求的值； (3)求的值. 18．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平行四边形中，，与相交于点，设．    (1)用分别表示； (2)求的余弦值． 19．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 20．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$