精品解析：山东省潍坊市2025届高三下学期5月高考模拟考试数学试题

2025年全国普通高考模拟考试 数学试题 2025.5 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. D. 3. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A B. C. D. 5. 已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知圆台上底面圆的半径为1，下底面圆O的半径为2，点分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 某拱培店制作了6种面包、5种蛋糕，现从中选取两种面包和一种蛋糕搭配成套餐售卖，若必须搭配在一起，不能搭配在一起，则不同的搭配方案共有（ ） A. 16种 B. 24种 C. 32种 D. 48种 8. 已知数列中，，则（ ） A B. C. D. 无法判断大小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的方差为2.5 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第40百分位数为3.5 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点（M在第四象限），l为C的准线，则（ ） A. l的方程为 B. C. 以为直径的圆与l相交 D. 为钝角三角形 11. 在棱长为2的正方体中，点E为正方形内的动点（包含边界），点F为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则动点E的轨迹长度为 C. 若点E在线段上（不包含端点），则四棱锥存在外接球 D. 若点E为的中点，则过三点的平面与该正方体的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是等差数列的前项和，若，则_____． 13. 已知函数是奇函数，则函数的零点个数为___________． 14. 一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱中，． （1）若，证明：平面； （2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为．点D在上，且， （1）判断的形状； （2）若四边形满足，求四边形面积的最大值． 17. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上有零点，求实数a取值范围． 18. 已知双曲线左、右顶点分别为，过点直线l交C于P，Q两点． （1）若C的一条渐近线方程为，求C的方程； （2）连接并延长交C于点R． ①设点P在第一象限，若，求点P的坐标； ②若，求b的取值范围， 19. 对于有限正整数数列Q：，若存在连续子列和符号序列，使得，其中，则称数列Q存在平衡连续子列． （1）写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列； （2）设对任意正整数i，定义函数为满足的非负整数v，其中u为奇数，令．证明：数列不存在平衡连续子列； （3）设数列Q的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，Q存在平衡连续子列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国普通高考模拟考试 数学试题 2025.5 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可． 【详解】由， 则. 故选：B. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】由，则，解得. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和模的运算即可求解. 【详解】由可得：， 所以， 故选：B. 4. 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等式求出的值，得到函数的表达式，然后求导令导数大于等于0，即可求出函数的单调递增区间. 【详解】因为，所以， 所以.所以. 对函数求导得，. 要求函数的单调递增区间，令，因为， 所以. 所以函数的单调递增区间为. 故选：D. 5. 已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线距离公式及圆的标准方程得出的长，再结合直线倾斜角及勾股定理即可求解． 【详解】由题可知，圆心到直线的距离，圆的半径， 所以， 设过垂直于的直线分别为，过点作，垂足为，则， 因为直线的倾斜角为，所以为等腰直角三角形， 所以， 故选：C． 6. 已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆O的半径为2，点分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】如图，不妨设位置如图， 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 在底面圆中，过点且垂直于直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 所以， 设异面直线与成的角为， 则. 故选：A 7. 某拱培店制作了6种面包、5种蛋糕，现从中选取两种面包和一种蛋糕搭配成套餐售卖，若必须搭配在一起，不能搭配在一起，则不同的搭配方案共有（ ） A. 16种 B. 24种 C. 32种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】根据是否被选中来计算不同的搭配方案数.当被选中时，5种蛋糕选择任一种都可以；当不被选中时，需要考虑不能搭配在一起的情况. 【详解】 情况一：被选中. 此时面包的选择已经确定，只需从5种蛋糕中选择1种. 此种情况下搭配方案有种. 情况二：不被选中. 因为要选两种面包，且不选，所以只能从除外的4种面包中选2种， 又因为与不能搭配在一起，当选择的面包中有时（此时另一种面包从中选1种，有种选法 ），蛋糕不能选，那么蛋糕有4种选法； 当选择的面包中没有时（即从中选2种，有种选法 ），蛋糕有5种选法. 这种情况下的搭配方案数为种. 将两种情况的方案数相加，总的搭配方案数为种. 故选：C. 8. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. D. 无法判断大小 【答案】B 【解析】 【分析】由条件不等式得，以及，再代入，迭代不等式，即可求解. 【详解】由，得， ，所以， 所以， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的方差为2.5 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第40百分位数为3.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由数据的数字特征逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，这组数据的极差为，故A正确； 对于B，这组数据的平均数为，这组数据的方差为，故B错误； 对于C，这组数据的平均数为，这组数据中出现次数最多的数是4，所以这组数据的众数为4，故C正确； 对于D，因为，所以这组数据的第40百分位数是第2个数和第3个数的平均数：3.5，故D正确. 故选：ACD. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点（M在第四象限），l为C的准线，则（ ） A. l的方程为 B. C. 以为直径的圆与l相交 D. 为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】对于选项A：由直线，可得当时，， 所以抛物线的焦点为，准线方程，故A正确； 对于选项B：由,可得， 解得或，所以，故选项B正确； 对于选项C：由上述分析可知， 所以的中点，其到准线的距离为, 所以以为直径的圆与相切，故选项C错误； 对于选项D：，， 而，， 所以，所以是钝角三角形.，故选项D正确； 故选：ABD． 11. 在棱长为2的正方体中，点E为正方形内的动点（包含边界），点F为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则动点E的轨迹长度为 C. 若点E在线段上（不包含端点），则四棱锥存在外接球 D. 若点E为的中点，则过三点的平面与该正方体的截面周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用等体积法求解判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合得到点E的轨迹为线段，进而求解判断即可；对于C，结合外接球的特征分析判断即可；对于D，作出过三点的正方体的截面，计算周长即可判断选项D． 【详解】对于A，因为点E为正方形内的动点（包含边界）， 所以点E到平面的距离为， 所以为定值，故A正确； 对于B，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 设，， 则， 因为，所以，则， 又，所以点E的轨迹为线段， 则动点E的轨迹长度为，故B正确； 对于C，假设四棱锥存在外接球， 则在平面内存在一点，使得外接球的球心在过点垂直于平面的直线上， 且点到四点的距离相等， 由于，所以点为的中点， 要使点到四点的距离相等， 则，此时位于点的位置， 而点E线段上（不包含端点），故C错误； 对于D，延长直线交于点，交于点， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形为过三点的平面与正方体的截面， 因为，所以，则， 又，所以，则，， 又，，所以，， 同理可得，，又， 所以五边形的周长为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是等差数列的前项和，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用等差数列片段和的性质有，结合已知即可得. 【详解】由等差数列片段和的性质知：成等差数列， 所以， 则. 故答案为： 13. 已知函数是奇函数，则函数的零点个数为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数奇偶性的判断方法，求出函数的参数，写出解析式，求出零点个数. 【详解】设，则，有， 因为是奇函数，所以， 可得， 当时，，解得(舍), 当时，，解得, 综上有两个零点， 故答案为:2. 14. 一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出所得各点数的概率，由独立性事件同时发生的概率公式、互斥事件的和事件的概率公式求解． 【详解】设掷出点数为1，2，3，4，5，6点的概率依次为，则， 又事件“”为所得点数是， 其发生的概率为， 即，代入得， 事件“”即为所得点数是， 其概率为， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱中，． （1）若，证明：平面； （2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理和直四棱柱的性质，即可利用线面垂直的判定定理直接证明即可； （2）由勾股定理可得长度，结合题意即可以点为原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法即可直接求出面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又，则，，， 又在直四棱柱中，平面， 且平面， 所以， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题知，若，且， 所以， 以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 则，， 解得，， 取， 则， 令平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为．点D在上，且， （1）判断的形状； （2）若四边形满足，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）3 【解析】 【分析】（1）可求B，在和中，运用正弦定理，根据条件可得即可判断三角形形状. （2）由（1）可得AC及，可知是以AC为斜边的直角三角形，利用基本不等式可求面积的最大值，继而可求四边形面积的最大值． 【小问1详解】 ，解得， 又，所以，在和中， ，，两式相除得， 又，所以， 即，，所以为等腰直角三角形. 【小问2详解】 由（1）知为等腰直角三角形，，， 又，所以， 又，所以是以AC为斜边的直角三角形， （当时取等）， ，又， 所以四边形面积的最大值为3. 17. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上有零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意得，在上有解，设，由导数得出的值域即可求解． 【小问1详解】 ，， ，， 所以在点处的切线方程为． 【小问2详解】 在区间上有零点，则在上有解， 设，则， 因为，所以，所以在单调递减， 当时，， 当时，，当时， 所以，所以． 18. 已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线l交C于P，Q两点． （1）若C的一条渐近线方程为，求C的方程； （2）连接并延长交C于点R． ①设点P在第一象限，若，求点P的坐标； ②若，求b的取值范围， 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，可得，求得，即可求解； （2）①根据双曲线的对称，可得，所以，得到，设，则，联立方程组，进而求得的坐标； ②设直线，设点，由双曲线对称性，得到，联立方程组，得到，且，根据，化简得到，结合，，即可求解. 【小问1详解】 解：由双曲线，可得， 因为双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：①当时，双曲线的方程为， 根据双曲线对称，可得， 所以，所以，所以， 设，则， 又由方程组，解得， 所以，可得， ②由双曲线，可得， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 设直线的方程为， 设点，由的延长线交双曲线与点， 根据双曲线的对称性，可得， 联立方程组，整理得， 显然二次项系数，其中， 所以， 则， 所以， 因为在直线上，则， 即， 即， 将代入， 即，可得， 所以，代入，可得，所以， 且，解得， 又因为，则，所以， 所以实数的取值范围为. 19. 对于有限正整数数列Q：，若存在连续子列和符号序列，使得，其中，则称数列Q存在平衡连续子列． （1）写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列； （2）设对任意正整数i，定义函数为满足的非负整数v，其中u为奇数，令．证明：数列不存在平衡连续子列； （3）设数列Q的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，Q存在平衡连续子列． 【答案】（1）1，2，3或2，1，2，3， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）先根据的值求出数列Q各项.再依据与奇偶相同，分或时，因为奇数其余为偶数，和为奇数；再结合取特定值时也不为0，得出数列Q不存在平衡连续子列. （3）先定义数列，目标是证对任意i，.用反证法，假设存在t使超出范围，分和两种情况，推出矛盾，证明该结论成立，然后分情况讨论：若有，能找到一组数使式子为0，此时数列Q是连续可归零数列. 若都不为0，因为到k间非零整数有限，当时，中存在两项相等，进而能找到一组数使式子为0，此时数Q列也是连续可归零数列. 【小问1详解】 因为， ， 所以数列2，1，2，3的平衡连续子列为1，2，3或2，1，2，3， 【小问2详解】 因为1，3，5，7是奇数，故， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以数列Q:4，2，4，1，4，2，4. 因为，， 所以与奇偶性相同， 当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以为奇数，所以， 当取时， 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以， 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以， 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以， 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以， 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以， 综上，数列不存在平衡连续子列， 【小问3详解】 设，， 则是整数数列． 下面证明对任意，均有， 显然满足． 假设结论不成立，则存在，使得或， 且当时都有． （i）若， 当时，， 因为，所以，矛盾， 当时，， 因为，所以，矛盾， （ii）若， 当时，， 因为，所以，矛盾， 当时，， 因为，所以， 又是整数，所以，矛盾； 综上，对任意，均有， 若存在，使得， 则存在且，使得， 此时数列Q存在平衡连续子列， 若任意，， 因为中共个非零整数， 当时，数列中存在且，使得， 从而存在，使得， 此时数列Q存在平衡连续子列， 综上，当时，Q存在平衡连续子列 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$