专题07 直线、圆及轨迹问题（6题型）（云南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题07 直线、圆及轨迹问题 题型概览 题型01判断直线与圆的位置关系 题型02由直线与圆的位置关系求参数 题型03求圆的切线方程 题型04由直线与圆的位置关系求数量积 题型05根据圆与圆的位置关系求轨迹方程 题型06求动点的轨迹方程 优选提升题 ( 题型01 ) 判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C ( 题型02 ) 由直线与圆的位置关系求参数 1．（23-24高二下·云南·期末）已知圆关于直线对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题得圆心在直线上，列方程求解即可. 【详解】由题得圆的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，所以，解得. 故选：C 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设点，若在圆上存在两点，使得四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径、由距离求点的坐标 【分析】根据四边形为正方形可以得出，应用两点间距离公式计算即可. 【详解】 要使得四边形为正方形，结合圆的对称性可得，满足与圆相切， 且，所以， 所以，解得． 故选：C. 3．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】根据直线与圆恒有公共点，由求解. 【详解】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 4．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径求解即可得到答案． 【详解】解：因为直线与圆相交于不同的两点、， 所以圆心到直线的距离，解得， 选项中只有3,4满足， 故选：AB． ( 题型03 ) 求圆的切线方程 1．（23-24高二下·云南·期末）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A ( 题型04 ) 由直线与圆的位置关系求数量积 1．（23-24高二下·云南·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的弦长与中点弦、用定义求向量的数量积 【分析】由题可知圆心，半径，由几何法求弦长，可知为等边三角形，然后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由题可知圆心，半径，点到直线的距离， 则，所以为等边三角形， 故． 故选：C． ( 题型0 5 ) 根据圆与圆的位置关系求轨迹方程 1．（23-24高二下·云南·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． ( 题型0 6 ) 求动点的轨迹方程 1．（23-24高二下·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、求平面轨迹方程 【分析】先设点再根据斜率公式计算即可. 【详解】设，可得,x不为0， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·云南·期末）已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程 【分析】设，根据得，再结合圆的方程求解即可. 【详解】设 ,则由得 ,因为 所以,即. 故选：D. 1．（多选）（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD 【知识点】轨迹问题——圆、过圆内定点的弦长最值（范围）、切线长、圆的弦长与中点弦 【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可. 【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确； 故选：ACD． 2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可; 【详解】 由题知，圆心，半径， 圆心到直线的距离. 因为为直角三角形，且， 所以， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 3．（23-24高二下·云南·期末）已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. (1)求点G的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆中的参数及范围、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解. （2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用得，将韦达定理代入化简即可求解. 【详解】（1）设，则，因为的重心， 故有：，解得，代入，化简得， 又，故，所以的轨迹方程为. （2）因为的垂心，故有， 又，所以，故设直线的方程为， 与联立消去得：， 由得， 设，则， 由，得，所以， 所以， 所以，化简得， 解得（舍去）或（满足），故直线的方程为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直线、圆及轨迹问题 题型概览 题型01判断直线与圆的位置关系 题型02由直线与圆的位置关系求参数 题型03求圆的切线方程 题型04由直线与圆的位置关系求数量积 题型05根据圆与圆的位置关系求轨迹方程 题型06求动点的轨迹方程 优选提升题 ( 题型01 ) 判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 ( 题型02 ) 由直线与圆的位置关系求参数 1．（23-24高二下·云南·期末）已知圆关于直线对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设点，若在圆上存在两点，使得四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ( 题型03 ) 求圆的切线方程 1．（23-24高二下·云南·期末）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 由直线与圆的位置关系求数量积 1．（23-24高二下·云南·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 根据圆与圆的位置关系求轨迹方程 1．（23-24高二下·云南·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 求动点的轨迹方程 1．（23-24高二下·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（        ） A． B． C． D． 1．（多选）（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 3．（23-24高二下·云南·期末）已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. (1)求点G的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$