专题08 圆锥曲线的方程（10题型）（云南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题08 圆锥曲线的方程 题型概览 题型01求椭圆的离心率 题型02椭圆方程及其几何性质 题型03直线与椭圆的位置关系 题型04求双曲线的渐近线方程 题型05求双曲线的离心率 题型06双曲线方程及其几何性质 题型07直线与双曲线的位置关系 题型08抛物线方程及其几何性质 题型09直线与抛物线的位置关系 题型10由方程研究曲线的性质 优选提升题 ( 题型01 ) 求椭圆的离心率 1．（23-24高二下·云南·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南大理·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 5．（23-24高二下·云南·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，则椭圆C的离心率为 ． ( 题型02 ) 椭圆方程及其几何性质 1．（23-24高二下·云南·期末）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 ( 题型03 ) 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. ( 题型04 ) 求双曲线的渐近线方程 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 求双曲线的离心率 1．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 2．（23-24高二下·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南·期末）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南·期末）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．    ( 题型0 6 ) 双曲线方程及其几何性质 1．（23-24高二下·云南普洱·期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（    ） A． B．4 C． D．2 2．（多选）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 3．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 ( 题型0 7 ) 直线与双曲线的位置关系 1．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 3．（23-24高二下·云南·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． ( 题型0 8 ) 抛物线方程及其几何性质 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二下·云南·期末）抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 3.（23-24高二下·云南曲靖·期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 4．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知抛物线C：，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线上两点，且满足，过原点O作交AB于点D，若点D的坐标为，则抛物线C的方程为 . ( 题型0 9 ) 直线与抛物线的位置关系 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3.（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南·期末）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 5．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为 . 6．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点为坐标原点，点是拋物线的焦点，点分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为的面积为，若，则的最小值为 ． 7．（23-24高二下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程. ( 题型 10 ) 由方程研究曲线的性质 1．（23-24高二下·云南大理·期末）已知为坐标原点，曲线图象酷似一颗“红心”（如图）.对于曲线C，下列结论正确的是：（    ）    A．曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） B．曲线上存在一点使得 C．曲线上存在一点使得 D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3 1．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点（    ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆相外切，则 2．（23-24高二下·云南·期末）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，两点在的准线上的射影分别为，且的面积是的面积的4倍，若轴被以为直径的圆截得的弦长为，则的值为 ． 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 4．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 5．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆：的短轴长等于，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值． 6．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 7．（23-24高二下·云南·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 8．（23-24高二下·云南·期末）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由. 9．（23-24高二下·云南·期末）已知抛物线C：（）过点，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点. (1)若，试探究直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由； (2)若，求面积的最小值. 10．（23-24高二下·云南·期末）已知双曲线：（）经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值； (3)试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由. 11．（23-24高二下·云南·期末）已知在曲线：上，直线交曲线于，两点． (1)当不在直线上时，试问(，分别为，的斜率)是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由． (2)若为坐标原点，，求面积的最小值． 12．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点． （ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0． （ⅱ）求面积的最大值． 13．（23-24高二下·云南红河·期末）已知点，在双曲线（，）上，直线. (1)求双曲线的标准方程； (2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点； (3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 14．（23-24高二下·云南保山·期末）设点在曲线上，在曲线上，且满足， (1)求的方程； (2)点在上，过点的直线与的渐近线交于两点，且是的中点，求（为坐标原点）的面积； (3)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． 15．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 16．（23-24高二下·云南大理·期末）已知定点，直线，动圆过点且与直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线C的方程； (2)若为正数，圆与曲线只有一个交点，求正数的取值范围； (3)在（2）的条件下所得到半径最大的圆记为圆，点是曲线上一点，且，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆锥曲线的方程 题型概览 题型01求椭圆的离心率 题型02椭圆方程及其几何性质 题型03直线与椭圆的位置关系 题型04求双曲线的渐近线方程 题型05求双曲线的离心率 题型06双曲线方程及其几何性质 题型07直线与双曲线的位置关系 题型08抛物线方程及其几何性质 题型09直线与抛物线的位置关系 题型10由方程研究曲线的性质 优选提升题 ( 题型01 ) 求椭圆的离心率 1．（23-24高二下·云南·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的其他应用 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D. 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 3．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，，与轴的交点为，，结合平行线性质，三角形面积公式可得，根据勾股定理可得关系，化简求离心率. 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 4．（23-24高二下·云南大理·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，则，根据椭圆定义表示，再根据勾股定理建立关系，解得离心率. 【详解】设，则， 根据椭圆定义，因此，， 又因为，所以， 即，解得， 则 则在中，， 即，所以 故答案为： 5．（23-24高二下·云南·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标，又因为在，代入可求出，再由离心率的公式即可得出答案. 【详解】由椭圆C：知，椭圆的右顶点为， 上顶点为，过作椭圆的切线， 则交点坐标为， 因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上， 所以在， 所以，解得：， 则椭圆C的离心率为. 故答案为： ( 题型02 ) 椭圆方程及其几何性质 1．（23-24高二下·云南·期末）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 【答案】AD 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，可得， 所以焦点为, 根据椭圆的定义，所以A正确； 椭圆的离心率为，所以B错误； 其中面积的最大值为，所以C错误； 由原点到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确. 故选：AD ( 题型03 ) 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据弦长求参数 【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程； （2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程. 【详解】（1）依题意：，解得， 所以E的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设， 联立，消y得：， 整理得：， ，则， ， 则， 即， 则，即， 解得或， 则直线l的方程为或． ( 题型04 ) 求双曲线的渐近线方程 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据顶点或实虚轴关系求参数 【分析】由实轴长可列方程求得参数的值，进一步即可求得渐近线方程. 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 2．（23-24高二下·云南·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线方程直接求解即可 【详解】由，得， 所以， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：A ( 题型0 5 ) 求双曲线的离心率 1．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】分焦点在x轴上和y轴上讨论求解即可. 【详解】当焦点在x轴上时，可得，则； 当焦点在y轴上时，可得，则. 综上，双曲线的离心率为2或. 故选：D. 2．（23-24高二下·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线定义及可得，的长度，再由勾股定理可得离心率. 【详解】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 3．（23-24高二下·云南·期末）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的切线方程 【分析】由与双曲线相切，可得，即可得，作轴于点，结合相似三角形的性质可得，计算即可得的值，从而求出离心率. 【详解】设，则，令，则，故， 过点作轴于点，则， 由，轴，故与相似， 故，及， 即. 又，所以，所以， 即，则． 其中双曲线上一点的切线方程，证明如下： 不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）． 由，得，所以， 则在的切线斜率， 所以在点处的切线方程为：， 又有，化简即可得切线方程为：． 故选：B.    4．（23-24高二下·云南·期末）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．    【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的几何定义，设就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以求出离心率. 【详解】    设另一个焦点，连接，设则 再根据双曲线的定义可知： 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案为：. ( 题型0 6 ) 双曲线方程及其几何性质 1．（23-24高二下·云南普洱·期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，注意，结合直线平行列方程求参数值即可. 【详解】由题设且，故， 所以，双曲线的渐近线方程为， 其中一条与平行，所以，则． 故选：A． 2．（多选）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【知识点】余弦定理解三角形、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得，即可判断AB，由余弦定理代入计算即可求得，再由三角形的面积公式，即可判断CD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 3．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 【答案】BC 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中向量点乘问题 【分析】根据双曲线定义结合周长可得，，即可由直角三角形求解面积，判断A，根据双曲线上的点到焦点的距离的范围，结合双曲线定义即可求解B，根据渐近线斜率即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D. 【详解】可得， 由于点在的右支上，故， 对于A，若的周长为24，则， 进而，，故， 故的面积为，A错误， 对于B，由于，当在右顶点时等号取到， 故，故B正确， 对于C，由于双曲线一三象限的渐近线方程为， 故， 又当在右顶点时，，故，C正确， 对于D，设，， 则， 则， 解得或，故D错误. 故选：BC. ( 题型0 7 ) 直线与双曲线的位置关系 1．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 【答案】ACD 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的最值问题、双曲线中的定值问题 【分析】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果. 【详解】依题意，，，，，， 设，则，，即， 双曲线C的两条渐近线方程为， 对于A，，A正确； 对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为， 若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误； 对于C， 是定值，C正确； 对于D，不妨设，，直线l的方程为， 由得， 若直线l与双曲线C相切，则， 化简整理得， 则点M，N的纵坐标之积，D正确. 故选：ACD.      2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 【答案】BC 【知识点】直线斜率的定义、双曲线定义的理解、双曲线向量共线比例问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性,则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 3．（23-24高二下·云南·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】双曲线向量共线比例问题、双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解； （2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． ( 题型0 8 ) 抛物线方程及其几何性质 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】利用抛物线的知识可以知道点，然后再利用切线和垂直即可求解. 【详解】由题意易得， 过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且， 且， 将点代入抛物线方程可得，即， ，解得. 故选：D. 2．（23-24高二下·云南·期末）抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，其最小值为焦点到直线的距离，求值即可. 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为， 由抛物线的定义可知，则有， 其最小值为焦点到直线的距离． 即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为. 故选：A. 3.（23-24高二下·云南曲靖·期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则， 所以所求点的坐标为. 故答案为： 4．（23-24高二下·云南临沧·期末）已知抛物线C：，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线上两点，且满足，过原点O作交AB于点D，若点D的坐标为，则抛物线C的方程为 . 【答案】 【知识点】根据韦达定理求参数、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，与抛物线方程联立借助韦达定理、向量垂直的坐标表示求解作答. 【详解】直线OD的斜率为，而，则直线AB的方程为，即， 由消去x并整理得：，设，则， 则，则，解得， 所以抛物线C的方程为. 故答案为： ( 题型0 9 ) 直线与抛物线的位置关系 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 2．（23-24高二下·云南·期末）已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先设直线再根据直线和抛物线相切计算判别式为0，计算即可. 【详解】易知，当直线与相切时，设的方程为， 与联立，可得， 则，解得，故直线的斜率的最大值为1. 故选：A. 3.（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】抛物线定义的理解、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D. 【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故A正确．    选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，B错误． 选项C：由，，得，故C正确． 选项D：由上知，得， 故，故D正确． 故选：ACD 4．（23-24高二下·云南·期末）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程. 【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点. 设，所以，即， 又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：    5．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】利用过点的切线与直线平行时，的面积最大求出点，然后利用弦长公式求即可. 【详解】当抛物线过点的切线与直线平行时，的面积最大， 设点，由得：，， 所以切线的斜率：，解得：， 所以，所以， 点到直线的距离， 由，消去，得：， 设，，则，， 所以， 所以的面积的最大值为：. 故答案为： 6．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点为坐标原点，点是拋物线的焦点，点分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为的面积为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】可设，，且，由三角形的面积公式及基本不等式求解． 【详解】因分别位于轴的两侧且都在抛物线上，则可设，，且，如图所示： 由得， 则有的面积， 的面积， 所以，当且仅当时，取等号． 故答案为： 7．（23-24高二下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】（1）根据抛物线的定义确定抛物线的标准方程. （2）先确定切点坐标，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用可求直线方程. 【详解】（1）设，因为点到定点与定直线的距离相等，故点轨迹为抛物线，且，开口向右， 所以点轨迹方程为：， 即的方程为. （2）如图： 设，带入的方程，解得， 设直线为， 联立，得 由直线与相切，可得 ， 解得， 直线的方程为. ( 题型 10 ) 由方程研究曲线的性质 1．（23-24高二下·云南大理·期末）已知为坐标原点，曲线图象酷似一颗“红心”（如图）.对于曲线C，下列结论正确的是：（    ）    A．曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） B．曲线上存在一点使得 C．曲线上存在一点使得 D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3 【答案】ABD 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】通过对曲线方程特点分析，分，，三种情况下，曲线图象经过的点，即可判断A,B项，对于C项，考虑方程变形后，利用基本不等式即可判断排除C；对于D项，由A项得到的整点围成的图形面积之和即可判断. 【详解】对于A，当时，代入方程得，，即曲线经过点； 当时，方程可整理成：， 由解得：，又，故只能取1， 此时代入方程得，，解得或，即曲线经过； 由曲线方程的特征易得曲线关于轴对称，可知曲线还经过， 故曲线共经过6个整数点，即A正确； 对于B，当时，方程为，，即得或， 即曲线经过点，此时,故B正确； 对于C，当时，由可得，， 当且仅当时取等号，解得， 即曲线在轴右侧区域内的任意点，都满足， 根据对称性，曲线上任意一点到原点距离都不超过，故C错误； 对于D，   如图，由上分析知，曲线经过点, 则曲线所围成的“心形”区域的面积, 即D正确. 故选：ABD. 1．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点（    ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆相外切，则 【答案】AC 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、抛物线定义的理解 【分析】选项A，为等边三角形需保证，设定点坐标用两点间距离公式检验即可；选项B，设定点，将转化为表示，求最小值即可；选项C，由求得点坐标，求得直线所在的直线方程，利用点到直线的距离公式检验即可；选项D，设定点，以为直径的圆与相外切，需保证，建立关于的方程，求之即可. 【详解】由已知圆的方程化为， 得其圆心，半径， 由于抛物线方程为，其焦点为 对于选项A，若为等边三角形，当且仅当； 若点到点的距离为， 由抛物线的定义可知，即， 代入抛物线方程可得，，故A正确； 对于选项B，因为点在抛物线上，为上一点， ， 由于为上，设，且， 则， 当且仅当时，原式取得最小值，的最小值，故B不正确； 对于选项C，设，且， 若，即，得， 解得，所以此时， 不妨取，， 此时直线的方程为：，即， 则圆心到该直线的距离为， 所以此时直线与圆相切，同理可证明的情形也成立，故C正确； 对于选项D，设的中点为，若以为直径的圆与相外切时， 只需保证， 设，且，，得， 得方程：（*）， 其中，反解得：代入上式， 化简可得：， 显然，故D不正确. 故选：AC. 2．（23-24高二下·云南·期末）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，两点在的准线上的射影分别为，且的面积是的面积的4倍，若轴被以为直径的圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】先研究点在第一象限时，由的面积是的面积的4倍，求出直线的斜率，联立直线与抛物线方程求出的值；再根据对称性研究在第三象限时的值即可. 【详解】如图，当点在第一象限时，由抛物线的定义，可得，， 所以，所以， 所以．如图，过点作于点，则， 所以，所以， 所以，所以直线的斜率， 则直线，直线与联立，得， 设与的横坐标分别为，，则， 所以， 所以以为直径的圆的半径， 圆心到轴的距离， 所以弦长为，解得； 当点在第三象限时，由对称性可得. 综上，. 故答案为：. 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【详解】（1）依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 4．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，1 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据椭圆离心率和点坐标，可得结果 （2）设出直线得方程并与椭圆方程联合，利用韦达定理得出表达式，整理可得斜率为定值. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以解得 所以椭圆的方程为. （2）如下图所示： 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 直线的方程为，即， 联立方程组消去，得. 因为为直线与椭圆的交点， 所以，即， 把换为得，所以. 因为， 所以直线的斜率为， 即直线的斜率为定值1. 5．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆：的短轴长等于，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组得到，进而求得，得出中垂线的方程，求得，再由弦长公式求得，即可求解. 【详解】（1）椭圆：的短轴长等于，离心率可得， ，解得，所以椭圆的方程为. （2） 由椭圆的方程，可得右焦点， 当直线斜率不存在时被轴垂直平分，不符合题意； 当直线斜率为0时，； 直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，中点为， 联立方程组，整理得， 可得， 所以，则， 即，则中垂线的方程为， 令，可得，所以， 又由 ， 所以（定值）； 综上所述，为定值. 6．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、直线斜率的定义 【分析】（1）由题意得，结合离心率公式即可求解； （2）由题可知，直线的斜率显然存在，设的方程为，，，联立直线与椭圆方程， 由题意得，结合韦达定理整理可得，解出的值，结合题意即可求证. 【详解】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 7．（23-24高二下·云南·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【知识点】判断圆与圆的位置关系、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由圆，可知圆心为，半径为1，圆，圆心为，半径为3．设动圆的半径为，根据动圆与圆外切并与圆内切，可得，由椭圆的定义即可求解； （2）①当直线斜率存在时,设直线:，设，与椭圆方程联立可得，根据，可得，代入，可得，可求直线所过的定点.同理，当直线斜率不存在时,设直线:,且，根据求出即可得直线所过的定点，综合即可求解. 【详解】（1）设动圆的半径为， 因为动圆与圆外切,所以. 因为动圆于圆外切,所以, 则, 由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆方程为, 则，故, 所以曲线的方程为. （2）①当直线斜率存在时,设直线:， 联立，消去可得, 则，化简得. 设，则. 由题意知，因为, 所以, 所以, 所以, 即, ， 即， 即. 因为，所以，即， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. ②当直线斜率不存在时，设直线:，且, 则点. 所以 ,解得, 所以直线的方程为，也过定点. 综上所述, 直线过定点. 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中定点问题的两种解法: （1）引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； （2）特殊到一般法:先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 8．（23-24高二下·云南·期末）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，证明见解析 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线 【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可知的轨迹是以、为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），从而求出椭圆方程； （2）设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，再求出直线、的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程. 【详解】（1）解：因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6， 所以， 故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且，所以， 所以的轨迹的方程为； （2）解：设直线的方程为：，，， 联立方程得：， 则，， 所以， 又直线的方程为：， 又直线的方程为：， 联立方程，解得， 把代入上式得：， 所以当点运动时，点恒在定直线上 9．（23-24高二下·云南·期末）已知抛物线C：（）过点，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点. (1)若，试探究直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由； (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1)直线过定点 (2) 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）首先根据已知点求出抛物线方程，设，，联立抛物线方程，有，结合，由向量垂直的坐标表示可列出方程，由此解出，进一步检验判别式即可得解； （2）由得条件等式，进一步得出的取值范围是或，由弦长公式、点到直线的距离公式表示出面积，结合的范围即可得解. 【详解】（1） 已知抛物线C：（）过点， 所以，所以抛物线的方程为， 直线斜率不可能为0，否则直线与抛物线没有两个交点， 故可设，， 联立抛物线的方程为，可得 ，， 由韦达定理有， 因为， 所以， 因为A，B为C上不同于原点O的两点，所以，所以，经检验符合题意； 即， 所以直线过定点； （2） 显然，由（1）得，， 因为，所以 ， 即有条件等式成立，而 ， 所以首先有，其次，或， 因为为直线在轴上的截距，且与相异，由图可知， 从而的取值范围是或， ， 点到直线的距离为， 所以的面积可表示为：， 因为的取值范围是或， 所以或， 所以当，即时，， 综上所述，面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是得出的取值范围以及面积的表达式，由此即可顺利得解. 10．（23-24高二下·云南·期末）已知双曲线：（）经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值； (3)试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)过定点 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的直线过定点问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线过点的坐标，代入得到方程组，解得、，即可得到双曲线方程； （2）由题意易得直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果. （3）设直线的方程为，利用根与系数的关系以及定值，求出、的关系，即可得到直线方程，从而确定定点坐标． 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 因为直线与双曲线的左、右支分别交于点， 所以，解得， 所以 则 ， 即为定值． （3）设直线的方程为， 由得， ， 所以， 由，结合（2）可知， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，令，则， 所以直线过定点． 11．（23-24高二下·云南·期末）已知在曲线：上，直线交曲线于，两点． (1)当不在直线上时，试问(，分别为，的斜率)是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由． (2)若为坐标原点，，求面积的最小值． 【答案】(1)是定值， (2) 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）首先根据椭圆的定义求出曲线的方程，设，根据对称性可得，表示出直线的斜率，结合椭圆方程，即可求出的值； （2）当时求出的面积，当时联立直线与椭圆方程，消元、求出两根，即可表示出，设交椭圆的另一个交点为，所以直线的方程为，从而得到，则，最后又由基本不等式计算可得. 【详解】（1）是定值，， 曲线：即， 所以曲线是以为焦点的椭圆且，所以，则， 所以曲线的方程为， 设，根据对称性可得，因为， 所以，因为，所以， 同理可得， 所以. （2）若时、（或、），因为， 所以（或），所以， 当时联立，则，解得、， 所以， 因为，设交椭圆的另一个交点为，所以直线的方程为， 所以， 则， 所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 所以， 因为，所以面积的最小值为. 12．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点． （ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0． （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线上的点求标准方程、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用点坐标代入抛物线方程、可得答案； （2）（ⅰ）设直线、、的方程分别为、、，直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入可得答案；（ⅱ）求出、，得到的面积，利用的范围可得答案． 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以， 因为，所以， 联立，解得， 所以抛物线的方程为； （2）（ⅰ）设直线的方程为，直线的方程为， 直线的方程为， 不妨设点在第一象限，， 由得， 所以， 所以，所以 ， 故直线与的斜率之和为； （ⅱ）由得， 同理可得， 直线与轴交于点， 则的面积 ， 因为，所以，所以， 则，即面积的最大值为12， 当且仅当时等号成立. 【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是求出的面积，然后利用基本不等式求最值. 13．（23-24高二下·云南红河·期末）已知点，在双曲线（，）上，直线. (1)求双曲线的标准方程； (2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点； (3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线的轨迹方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）将点的代入方程，求出a,b,即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，结合韦达定理可得直线方程，即可得证. （3）由已知可得直线与双曲线相切，可得，也可得点与，进而可得点的轨迹方程. 【详解】（1）由点，在双曲线， 即，解得， 所以双曲线方程为； （2） 由已知，设，， 联立直线与双曲线，得， 则，即，且， ，， 又点与关于轴的对称， 则， 所以， 即， 即，恒过定点； （3）由已知直线，，且， 联立直线与双曲线，可得， 则,， 即，， 所以，,代入直线可得， 即， 所以直线，即， 所以，， 即，可得. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 14．（23-24高二下·云南保山·期末）设点在曲线上，在曲线上，且满足， (1)求的方程； (2)点在上，过点的直线与的渐近线交于两点，且是的中点，求（为坐标原点）的面积； (3)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）根据题意将代入曲线即可； （2）设，求的坐标，结合中点可得，代入方程可得，进而可求的面积. （3）根据设，分和两种情况，结合两点间距离公式可得，即可得结果. 【详解】（1）由已知得， 将代入得方程为； （2）显然直线不与轴垂直，故可设其方程为，    双曲线的渐近线为， 联立，解得：，所以， 联立，解得：，所以， 因为是的中点， 所心点的横､纵坐标为， 点在双曲线上，即，得， 因，所以， 显然直线与轴的交点为， 所以， 将代入可得． 方法二：双曲线的渐近线为， 因点在两条渐近线上，故可设， 因为是的中点，则点， 又点在上，将点代入方程，得到， 因， 所以的面积． （3）设方程上任意一点， 则 ， 当时，， 则， 当时，， 则． 根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线． 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 15．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】双曲线中的动点在定直线上问题、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及的关系，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为， 所以，解得，则双曲线的标准方程为； （2）证明：设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证； （3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为，则，， 所以， 则都在直线上，故共线． 16．（23-24高二下·云南大理·期末）已知定点，直线，动圆过点且与直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线C的方程； (2)若为正数，圆与曲线只有一个交点，求正数的取值范围； (3)在（2）的条件下所得到半径最大的圆记为圆，点是曲线上一点，且，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3)8 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、利用抛物线定义求动点轨迹、求平面轨迹方程、求两曲线的交点 【分析】（1）利用抛物线的定义理解动点轨迹易得曲线方程； （2）将圆与抛物线方程联立消元求出的值，由题意即可求得参数的范围； （3）设点，分别求出直线的方程，，运用同构思想求出和，继而求得，最后求出面积的表达式，利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）由题意，动圆圆心到点的距离等于到直线的距离， 故曲线是以为焦点，为准线的抛物线，其方程形如：， 因，故曲线的方程为. （2）将圆方程与曲线方程联立得，， 得，解得：. 由可知，因两曲线只有一个交点， 则必须，即，又因为为正数， 故. （3） 如图，设，由，则直线的方程为， 依题意圆心到的距离为1，即， 化简得， 同理可得， 所以是方程的两根， 所以，依题意，则， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最小值8. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$