精品解析：河北省冀州中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一年级数学考试 试卷满分150分 考试时间120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，若，则复数z的模是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先求复数，再求复数的模即可. 【详解】由题意有：，所以， 故选：D. 2. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可求得结果. 【详解】由正弦定理，得， 所以. 故选：C. 3. 已知某企业有职工150人，其中拥有高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若按职称采用分层抽样方法共抽取30人，则中级职称被抽取的人数为（ ） A. 3 B. 9 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】按照分层抽样的计规则计算可得； 【详解】解：据题设分析知，被抽取的30人中中级职称人数（人），故选：. 【点睛】本题考查分层抽样中各层总数的计算，属于基础题. 4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. “大于3点”与“不大于3点” B. “大于3点”与“小于2点” C. “大于3点”与“小于4点” D. “大于3点”与“小于5点” 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，事件“大于3点”与事件“点数为4或点数为5或点数为6”相等， 事件“不大于3点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等， 所以事件“大于3点”与“不大于3点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件， 所以事件“大于3点”与事件“不大于3点”是互斥事件，且是对立事件，A错误； 对于B，事件“小于2点”与事件“点数为1”相等， 所以事件“大于3点”与“小于2点”不可能同时发生，但它们的和事件不是必然事件， 所以事件“大于3点”与事件“小于2点”为互斥事件，但不是对立事件；B正确； 对于C，事件“小于4点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等， 所以事件“大于3点”与“小于4点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件， 所以事件“大于3点”与事件“小于4点”是互斥事件，且是对立事件，C错误； 对于D，事件“小于5点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3或点数为4”相等， 事件“大于3点”与“小于5点”可能同时发生， 所以事件“大于3点”与事件“小于5点”不是互斥事件，D错误； 故选：B. 5. 已知向量与的夹角为，，，则在上投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上投影向量为， 又， 所以在上投影向量的模为1， 故选：A 6. 在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（ ） A. 三角形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，可证，且，可得过的截面的形状. 【详解】 如图所示：取的中点，连接和， 因为分别是的中点，所以且， 又，故且， 故四点共面，且四边形是过三点的截面， 又因为四边形是梯形，故选B. 故选：B 7. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，， 选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球， 则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率； 第一次摸出2号球，第二次摸出1号球的概率； 所以选到3号球的概率. 故选：C. 8. 如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，在和中，分别利用正弦定理，结合，，得到，再由求解． 【详解】解：设，则，． 在中，由正弦定理，得； 在中，由正弦定理，得． 又因为，， 所以， 所以，即． 又因为． 所以，故． 所以． 故选：B． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 随机试验的频率与概率相等 B. 如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C. 只有不确定事件有概率 D. 若事件发生的概率为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A根据频率与概率关系判断；B、C、D由事件、概率的定义及性质判断，即可得. 【详解】A：随机试验多次重复发生时，频率越来越稳定于概率，但不一定相等，错； B：如果事件发生的概率为99.9999%，说明此事件发生的概率非常大，但不是必然发生，错； C：确定事件也有概率，错； D：根据概率的性质知，对. 故选：ABC 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若的夹角与的夹角相等，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】先表示出的坐标，对于A，由列方程求解即可，对于B，由，得从而出，对于C，利用向量的夹角公式列方程求解即可，对于D，利用投影向量的定义求解. 【详解】， 对于A，若，则，解得或，故A正确： 对于B，，解得，故B错误； 对于C，的夹角与的夹角相等，，即，解得，故C正确： 对于D．若，则在上的投影向量为,故D错误． 故选：AC． 11. 如图，设的内角所对的边分别为，，且，若点是外一点，，则下列说法中正确的是（ ） A. 的内角 B. 的内角 C. 四边形面积无最大值 D. 四边形面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边化角求角，从而判断选项A，B正确；把四边形的面积表示成的三角函数，从而根据三角函数求最值. 【详解】因为， 所以由正弦定理，得， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因此正确； 四边形面积等于 ， 所以当时，. 因此D正确，错误. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为虚数单位，则复数的虚部为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，进而可得其虚部. 【详解】因为，所以其虚部为， 故答案为：. 13. 如图，点是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为__________海里． 【答案】 【解析】 【分析】先应用正弦定理得出，再应用余弦定理求边长即可. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理可得，可得，所以， 则，所以海里，， 在中，由余弦定理得 ， 即丙船到钻井平台的距离为海里． 故答案为：. 14. 已知正四棱台中，，，点到平面的距离为，将四棱台放入球O内，则球O表面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题干得到正四棱台的上下底面的半径,再列式求出正四棱台的外接球半径,即可解决. 【详解】设正四棱台上､下底面的外接圆的半径分别为，，外接球的半径为，球心为O， 因为正四棱台的上､下底面的边长分别为，， 所以，，设球心O到上底面的距离为d， 则或， 所以，. 当时，球O是外正四棱台接球，此时， 所以外接球的表面积的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先表示出，，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 又三点共线，所以， 所以，解得 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以， 所以 ， 所以当时. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2） 因为， 故，即，又，则， 所以为等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由边的关系代入余弦定理可求角； （2）由已知条件结合余弦定理化角为边化简得，求解三角形进而判断形状. 【小问1详解】 在中，因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 由，所以. 【小问2详解】 略 17. 2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． （1）求恰好有一人购买华为手机的概率； （2）求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法概率公式，结合互斥事件概率公式，即可求解； （2）首先分别计算张三和李四购买价位在5000元以上的华为手机的概率，再结合 独立事件和互斥事件概率公式，列式求解. 【小问1详解】 设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件， 则恰好有一人购买华为手机的概率 【小问2详解】 设张三购买5000元以上手机为事件，李四购买5000元以上手机为事件， 张三购买5000元以上的华为手机为事件，李四购买5000元以上的华为手机为事件， 则，, 所以至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率 . 18. 某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，． （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分； （3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求英语成绩在的人数． 分数段 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1求解即可； （2）由平均数的计算方法求解即可； （3）求出数学成绩在的人数，再根据比例得出英语成绩在的人数，即可得出答案. 【详解】（1）， （2）这200名学生的平均分 （3）数学成绩在的人数分别为 设英语成绩在的人数分别为 则英语成绩在的人数为 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图，计算平均数等，属于中档题. 19. 如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接，， 因为是棱的中点，是的中点，所以，， 又因为点，分别为棱，的中点，所以，， 因为，，所以，， 又因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，是的中点，是的中点， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2） 如图所示，连接，因为是等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，所以， 又因为，平面，所以平面． （3）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得平面，再由，证得平面，进而证得平面平面，即可证得平面． （2）连接，根据题意，证得平面，得到和，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （3）过点作直线的垂线，连接，证得平面，得到，再由，得到二面角的平面角为，在和中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，在平面内，过点作直线的垂线，垂足为，连接， 由（2）易得平面，又平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以二面角的平面角为， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 即二面角的正切值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学考试 试卷满分150分 考试时间120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，若，则复数z的模是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某企业有职工150人，其中拥有高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若按职称采用分层抽样方法共抽取30人，则中级职称被抽取的人数为（ ） A. 3 B. 9 C. 18 D. 12 4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. “大于3点”与“不大于3点” B. “大于3点”与“小于2点” C. “大于3点”与“小于4点” D. “大于3点”与“小于5点” 5. 已知向量与的夹角为，，，则在上投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（ ） A. 三角形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 7. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 随机试验的频率与概率相等 B. 如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C. 只有不确定事件有概率 D. 若事件发生的概率为，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若的夹角与的夹角相等，则 D. 若，则在上的投影向量为 11. 如图，设的内角所对的边分别为，，且，若点是外一点，，则下列说法中正确的是（ ） A. 的内角 B. 的内角 C. 四边形面积无最大值 D. 四边形面积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为虚数单位，则复数的虚部为________． 13. 如图，点是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为__________海里． 14. 已知正四棱台中，，，点到平面的距离为，将四棱台放入球O内，则球O表面积的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求的最小值. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，判断的形状并说明理由． 17. 2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． （1）求恰好有一人购买华为手机的概率； （2）求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 18. 某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，． （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分； （3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求英语成绩在的人数． 分数段 19. 如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $