专题03 平面向量的综合应用6种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平面向量的综合应用6种常考题型总结 题型概览 题型01 求数量积的范围 题型02 求向量夹角的范围 题型03 求向量模长的范围 题型04 求向量系数的范围 题型05 三角形四心问题 题型06 向量在物理中的应用 ( 题型0 1 ) 求数量积的范围 1．（2024春•东坡区期末）已知是边长为2的正六边形内（不包括边界）的一点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•大英县校级期末）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是 　　． 3．（2024春•合江县期末）已知边长为2的菱形中，，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 　　． 4．（2023春•南充期末）若是边长为1的等边三角形，是边的中点，是边的中点，为线段上任意一点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2023春•德阳期末）如图，半径为2的圆内有一条长度等于半径的弦，若圆内部（不含圆上）有一动点，则的取值范围为 　　． 6．（2024春•成华区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，设，分别是的外心和重心，则的最大值是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•宜宾期末）在等腰梯形中，已知，，，，点，分别在线段和上，则的最大值为 　　． ( 题型0 2 ) 求向量夹角的范围 8．（2024春•东坡区期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， 9．（2024春•东坡区期末）设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围 　　 ． 10．（2024春•泸县校级期末）已知，，，与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 　　． 11．（2024春•成都期末）已知向量，． （1）求的值； （2）若向量与垂直，求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． ( 题型0 3 ) 求向量模长的范围 12．（2024春•内江期末）已知向量，向量的模长均为2，且．若向量，且，则的最大值是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•郫都区校级期末）已知向量满足，，，，则的最大值为 　　． （多选）14．（2024春•郫都区校级期末）下列四个命题为真命题的是　　 A．若向量满足，，则 B．若向量，，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量，，则的最大值为 15．（2022春•新都区校级期末）下列有关平面向量的说法中，错误的是　　 A．若平面向量满足，则的最小值是3 B．若平面向量满足，则的最大值是5 C．若平面向量，，则在上的投影向量是 D．已知，若对任意，均有，则为钝角三角形 ( 题型0 4 ) 求向量系数的范围 16．（2024春•青羊区校级期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 　　． 17．（2023春•自贡期末）已知向量不共线，． （1）若，求，； （2）若、、三点共线，求的最大值． 18．（2022春•内江期末）已知点，，是函数，，图象上的动点，若，则的最大值为 　　． 19．（2020春•绵阳期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最大值为　　 A． B．1 C． D．2 20．（2023春•四川期末）已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 三角形四心的问题 （多选）21．（2024春•仁寿县期末）有下列说法，其中正确的说法为　　 A．若，则是等腰三角形 B．若，则是三角形的垂心 C．若，则为钝角三角形 D．若，则存在唯一实数使得 22．（2023春•青羊区校级期末）已知点，，在所在平面内，且，，则点，，依次是的　　 A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 23．（2021秋•西昌市期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的　　 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 24．（2021春•自贡期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的　　 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 25．（2024秋•资中县校级期末）设△的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，△的外接圆半径为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•凉山州期末）已知点是的外心，，，，若，则　　 A． B． C．1 D．7 ( 题型0 6 ) 向量在物理中的应用 27．（2024春•绵阳期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 （多选）1．（2024春•峨眉山市校级期末）在平面中，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．若在坐标系中，，向量，则下列结论正确的是　　 A． B．若，则的充要条件为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为，， D．若，则与的夹角为 2．（2024春•达州期末）已知函数，其中，． （1）当时，求的值域； （2）若存在，，使得成立，求的取值范围． 3．（2023春•巴中期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形，其半径为3，，点，分别在，上，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2023春•青羊区校级期末）在中，，，分别为角，，的对边，平面内点满足，且 （1）证明：点为的外心； （2）求的取值范围． 5．（2023春•温江区校级期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为的外接圆，为平面上一点，若、分别切于点、，求的最小值． 6．（2022春•资阳期末）如图，在等腰直角中，斜边为，，为上的动点，且，则取值范围为　　 A． B． C． D．， 7．（2024春•三台县校级期末）在等腰梯形中，，，点为中点，点是边上一个动点，则的取值范围为 　　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量的综合应用6种常考题型总结 题型概览 题型01 求数量积的范围 题型02 求向量夹角的范围 题型03 求向量模长的范围 题型04 求向量系数的范围 题型05 三角形四心问题 题型06 向量在物理中的应用 ( 题型0 1 ) 求数量积的范围 1．（2024春•东坡区期末）已知是边长为2的正六边形内（不包括边界）的一点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】设与的夹角为， 则在上的投影为， 由图可知， 则， 即的取值范围是， 故选：． 2．（2022秋•大英县校级期末）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是 　　． 【解析】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则，0，，，2，，，0，，，2，，，0，， ，，． 点在线段上运动，，且， ，， ，，即， 故答案为：，． 3．（2024春•合江县期末）已知边长为2的菱形中，，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 　　． 【解析】根据题意建立如图所示坐标系，则有： ，，，，，， 设，则，，，， 则 ，因为对称轴为， 故当时，式子有最小值0，无最大值， 则的取值范围是，． 故答案为：，． 4．（2023春•南充期末）若是边长为1的等边三角形，是边的中点，是边的中点，为线段上任意一点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】已知是边长为1的等边三角形，是边的中点，是边的中点， 不妨以点为原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 此时，，，，，，， 不妨设，， 可得，，， 所以， 易知函数是开口向上的二次函数，对称轴， 且当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取得极小值也是最小值，最小值； 当时，取得极大值也是最大值，最大值， 综上，的取值范围为，． 故选：． 5．（2023春•德阳期末）如图，半径为2的圆内有一条长度等于半径的弦，若圆内部（不含圆上）有一动点，则的取值范围为 　　． 【解析】以为原点建立平面直角坐标系，如图： 由题意三角形是边长为2的正三角形，则， 设，则，所以， 所以， 因为，所以，所以的取值范围为． 故答案为：． 6．（2024春•成华区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，设，分别是的外心和重心，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【解析】设为边中点，连接，作于，即为中点， 因为， 同理， 则 ， 在中，，， 由余弦定理得，即， 由均值不等式，， 所以（当且仅当等号成立）， 所以． 故选：． 7．（2024春•宜宾期末）在等腰梯形中，已知，，，，点，分别在线段和上，则的最大值为 　　． 【解析】过，作的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 则以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 在等腰梯形中，，，，， 则有，，所以，， 因为点在线段上， 设，，，则， 因为点在线段上， 设，得，，， 则， 有，当时取到等号． 所以的最大值为12． 故答案为：12． ( 题型0 2 ) 求向量夹角的范围 8．（2024春•东坡区期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， 【解析】当与反向共线时，， 与的夹角为钝角， 且， ，解得，且． 故选：． 9．（2024春•东坡区期末）设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围 　　 ． 【解析】因为向量，，且与的夹角为锐角，则，且、不共线， 所以，解得，且； 所以实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 10．（2024春•泸县校级期末）已知，，，与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 　　． 【解析】由已知得， 解得且． 故答案为：，，． 11．（2024春•成都期末）已知向量，． （1）求的值； （2）若向量与垂直，求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【解析】（1），， 则，故； （2）与垂直， ， ，解得； （3）与的夹角为锐角， ，且与不共线，即，且，解得且， 故的取值范围为． ( 题型0 3 ) 求向量模长的范围 12．（2024春•内江期末）已知向量，向量的模长均为2，且．若向量，且，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，向量的模长均为2，且，所以， 解得， 不妨设， 所以， 因为， 所以，整理得， 设， 所以 ，其中， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最大值是． 故选：． 13．（2024春•郫都区校级期末）已知向量满足，，，，则的最大值为 　　． 【解析】由题意，，，， 所以， 所以， 作，因为， 所以，故点在以为直径的圆上，记圆心为， 则， 因为，所以圆的半径为2， 所以，所以的最大值为． 故答案为：． （多选）14．（2024春•郫都区校级期末）下列四个命题为真命题的是　　 A．若向量满足，，则 B．若向量，，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量，，则的最大值为 【解析】对于，若，则显然有，，但未必有，故错误； 对于，在上的投影向量为，故正确； 对于，注意到也是与向量共线的单位向量，故错误； 对于，由于 ， 其中， 且当，时，有． 所以的最大值是，故正确． 故选：． 15．（2022春•新都区校级期末）下列有关平面向量的说法中，错误的是　　 A．若平面向量满足，则的最小值是3 B．若平面向量满足，则的最大值是5 C．若平面向量，，则在上的投影向量是 D．已知，若对任意，均有，则为钝角三角形 【解析】， ， 又，，得， 即的最小值是3，最大值是5，故正确； 在上的投影，且， 在上的投影向量为，故正确； 如图，令，过点作，垂足为， ，令， 则 ，， ，即为直角三角形，故错误． 故选：． ( 题型0 4 ) 求向量系数的范围 16．（2024春•青羊区校级期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 　　． 【解析】在中，，是线段上一点， 则， 又， 则， 即， 则， 当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故答案为：． 17．（2023春•自贡期末）已知向量不共线，． （1）若，求，； （2）若、、三点共线，求的最大值． 【解析】（1）由题意可得：， 且，所以，． （2）若、、三点共线，则， 则， 可得，， 则， 当时，取到最大值． 18．（2022春•内江期末）已知点，，是函数，，图象上的动点，若，则的最大值为 　　． 【解析】点，，是函数，，图象上的动点， 则可设的坐标， 又若，得，，即，得， 则，，， 设，，， 则，故在，上单调递增， 从而得到在处取得最大值， 故答案为：． 19．（2020春•绵阳期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最大值为　　 A． B．1 C． D．2 【解析】由题意可得，， ，，， 因为，，三点共线， 所以即即， 所以， 当且仅当即时取等号， 故选：． 20．（2023春•四川期末）已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，以边所在直线为轴， 边的垂直平分线为轴建立直角坐标系为边的中点）． 由外接圆的性质可得． 由为锐角且， 不妨设外接圆的半径．则． ， ，． ，，，，，， 则外接圆的方程为：． ， ，，，， ， 时，否则，由图可知是不可能的． 可化为， 代入可得， 化为， 利用基本不等式可得， 化为， 解得或． 又，故应舍去． ， 则的最大值为， 故选：． ( 题型0 5 ) 三角形四心的问题 （多选）21．（2024春•仁寿县期末）有下列说法，其中正确的说法为　　 A．若，则是等腰三角形 B．若，则是三角形的垂心 C．若，则为钝角三角形 D．若，则存在唯一实数使得 【解析】对于，在中，由，得或， 则或，则是等腰三角形或直角三角形，错误； 对于，由，得， 则，同理，，即是三角形的垂心，正确； 对于，由，得， 由正弦定理得，则，为钝角，为钝角三角形，正确； 对于，当，时，显然有，但此时不存在，错误． 故选：． 22．（2023春•青羊区校级期末）已知点，，在所在平面内，且，，则点，，依次是的　　 A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【解析】， 则，即为的重心， 由题意可知，， 到三角形三个顶点的距离相等， 是三角形的外心， ， ， ， ， 同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直， 故是三角形的垂心， 故选：． 23．（2021秋•西昌市期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的　　 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】，， ， ， ，分别是，方向上的单位向量， 向量平分，即平分， 同理平分， 为的内心， 故选：． 24．（2021春•自贡期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的　　 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】根据题意，如图，设的中点为， 则，则， 即点在边的中线上， 则点的轨迹一定通过的重心， 故选：． 25．（2024秋•资中县校级期末）设△的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，△的外接圆半径为　　 A． B． C． D． 【解析】设外接圆半径为，则， 则根据重心向量公式有， 则 ， 令，此时， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 故当最大时，△的外接圆半径为． 故选：． 26．（2024春•凉山州期末）已知点是的外心，，，，若，则　　 A． B． C．1 D．7 【解析】由，，，可得， 因为是的外心， 所以，， 又， 所以，① ，② 联立①②可得：，， 故． 故选：． ( 题型0 6 ) 向量在物理中的应用 27．（2024春•绵阳期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【解析】设，，， 由题意可得：四边形为菱形且， 因为与的夹角为，， 则， 即， 对于，当时，， 则， 即正确； 对于，当时，， 则， 即错误； 对于，当取最大值时，有最小值， 又， 即当时，取不到最小值， 即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大， 即错误． 故选：． （多选）1．（2024春•峨眉山市校级期末）在平面中，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．若在坐标系中，，向量，则下列结论正确的是　　 A． B．若，则的充要条件为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为，， D．若，则与的夹角为 【解析】选项， ，故正确； 选项，，，即， 所以，即， 所以的充要条件为，故错误； 选项，，故， 若与共线，则， 所以实数的取值范围为，，，故正确； 选项，因为， ， 所以， 因为，所以，故正确． 故选：． 2．（2024春•达州期末）已知函数，其中，． （1）当时，求的值域； （2）若存在，，使得成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为，其中，， 所以 ， 又因为，所以， 所以，即， 所以的值域为； （2），，使得成立，，时，， 由（1）可知，， 因为，，所以， 当时，即时，此时， 所以，即， 根据正弦函数的性质可得，，解得， 所以． 当时，即时，显然成立． 综上得，， 所以的取值范围是． 3．（2023春•巴中期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形，其半径为3，，点，分别在，上，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】设，则， 因为， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是． 故选：． 4．（2023春•青羊区校级期末）在中，，，分别为角，，的对边，平面内点满足，且 （1）证明：点为的外心； （2）求的取值范围． 【解析】（1）证明：， ． ，即． 同理可得：． 则． 点为的外心． （2）延长交外接圆于点，如图所示： ． ， 又， ． 又， ． ． 5．（2023春•温江区校级期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为的外接圆，为平面上一点，若、分别切于点、，求的最小值． 【解析】（1）因为， 所以， 所以，所以， 所以； （2）由（1）可知为直角三角形，若， 则， 所以，即，则， 在中，，，， 所以， 令， 则， 所以，所以， 令， 因为在上单调递增， 所以 在 上单调递减，所以 所以的取值范围为； （3）的外接圆的半径，设， 则， 所以， 而， ， 令，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 6．（2022春•资阳期末）如图，在等腰直角中，斜边为，，为上的动点，且，则取值范围为　　 A． B． C． D．， 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， 设，则，所以． ， 所以， 所以时，取最小值或时，取最大值6， 故选：． 7．（2024春•三台县校级期末）在等腰梯形中，，，点为中点，点是边上一个动点，则的取值范围为 　　． 【解析】如图，取的中点，则， 故． 又因为为梯形的中位线，故． 过、作的垂线，垂足分别为、， 在中，，，故， 同理， 根据数量积的几何意义可知， 当位于点时，的最大值为， 此时取到最大值为， 当位于点时，的最小值为， 此时取到最小值为， 故的取值范围是，． 故答案为：，． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$