专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组（考点清单，6考点11题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版五四制）

专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组 （6个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 不等式的基础 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 清单02 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 清单03 解一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 清单04 一元一次不等式与一次函数 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围； 4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围. 【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法： 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 清单05 解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 清单06 一元一次不等式（组）与实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】不等式的定义（） 1．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23七年级下·山东淄博·期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，那么下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】不等式的性质（） 4．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知，则 ．（用适当的不等号连接） 7．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）（1）比较与的大小关系： ①当时， __________； ②当时， __________； ③当时， __________． （2）根据上述结果请你猜想与的大小关系：__________，并进行验证． 【考点题型三】一元一次不等式与一元一次不等式组的识别（） 8．（22-23七年级下·山东泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·山东济宁·阶段练习）下列式子：；；；，是一元一次不等式的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型四】求一元一次不等式的解集（） 11．（23-24七年级下·山东滨州·期末）下列数值是不等式的解的是（    ） A． B．0 C．3 D．6 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若不等式与不等式的解集相同，则实数m的值为（    ） A．20 B．24 C． D． 13．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若，那么的取值范围是 ． 14．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）（1）解不等式：．            （2）解不等式组． 15．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解下列一元一次不等式，并在数轴上表示其解集． (1) (2) 【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 16．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 18．（22-23七年级下·山东临沂·期末）不等式的负整数解有 ． 19．（22-23七年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 【考点题型六】列一元一次不等式（） 20．（23-24七年级下·山东泰安·期末）小明的姐姐将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式，则姐姐告诉小明的内容可能是（    ） A．买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到1250元 B．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到1250元 C．买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到1250元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到1250元 21．（22-23七年级下·山东济宁·期末）某超市花费元购进苹果千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本其它费用不考虑，售价至少定为多少元千克？设售价为元千克，根据题意所列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 22．（22-23七年级下·山东泰安·阶段练习）小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天至少要读x页，所列不等式为 ． 23．（22-23七年级下·山东德州·阶段练习）根据下列的数量关系，列出不等式 (1)x与1的和是正数 (2)y的2倍与1的和大于3 (3)x的与x的2倍的和是非正数 (4)c与4的和的不大于 (5)x除以2的商加上2，至多为5 (6)a与b的和的平方不大于3 【考点题型七】用一元一次不等式解决实际问题（） 24．（23-24七年级下·山东烟台·期末）某超市花费元购进草莓千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克元，根据题意所列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级下·山东威海·期末）某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·山东日照·开学考试）某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 28．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）某楼盘商品房（共30层）售价方案如下：第1层每平方米售价5000元，每上升1层，每平方米售价增加50元，小王准备购买一套的房子，按照售房政策，可以贷款购房，但需要首付，现在小王只有20万元，他最高可以买第 层的房子． 29．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表： 甲型机器 乙型机器 价格/（万元/台） 产量/（吨/月） 240 180 经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多花12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多花6万元． (1)求，的值； (2)若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？ 30．（22-23七年级下·山东东营·期中）某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是120元，则∶ (1)设学生数为x，甲旅行社收费，乙旅行社收费，分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)就学生人数，分类讨论哪家旅行社更优惠． 【考点题型八】求不等式组的解集（） 31．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 32．（23-24七年级下·山东烟台·期末）求不等式组的解集． 33．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）解下面的不等式（组），并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【考点题型九】求一元一次不等式组的整数解（） 34．（23-24七年级下·山东济南·期末）解不等式组：，并写出该不等式组所有的非负整数解． 35．（22-23七年级下·山东济宁·期末）解不等式组，并求整数解． 36．（23-24七年级下·山东济宁·期末）解不等式组， (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 37．（23-24七年级下·山东临沂·期末）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 38．（22-23七年级下·福建福州·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”． (1)方程①，②是不等式组的有缘方程的是__________（填序号①，②） (2)若关于x方程（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，求整数k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围． 【考点题型十】列一元一次不等式组（） 39．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 41．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【考点题型十一】不等式组的实际问题（） 43．（广东省佛山市狮山镇初中2024~2025学年下学期期中教学质量监测试题八年级数学试题）【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 44．（24-25七年级下·北京·期中）为倡导读书风尚，打造书香校园，某学校计划购买一批图书．若同时购进种图书8本和种图书5本，共需300元；若同时购进种图书4本和种图书3本，共需160元． (1)求、两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且种图书的数量多于种图书的数量，又根据学校的预算，购买总金额不能超过1360元，请问学校共有哪几种购买方案？ 45．（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 46．（23-24七年级下·山东烟台·期末）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组 （6个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 不等式的基础 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 清单02 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 清单03 解一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 清单04 一元一次不等式与一次函数 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围； 4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围. 【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法： 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 清单05 解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 清单06 一元一次不等式（组）与实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】不等式的定义（） 1．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了不等式，根据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有①②⑤⑥，共4个， 故选：C． 2．（22-23七年级下·山东淄博·期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式，据此进行判断． 【详解】不等式有：①；②；④；⑤． 所以共有4个 故选择：C． 【点睛】本题考查来了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，那么下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项推导即可； 【详解】解：当时， A、，原运算不正确； B、，原运算不正确； C、，原运算不正确； D、，原运算正确． 故选：D． 【考点题型二】不等式的性质（） 4．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此求解即可． 【详解】解：（1）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （2）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （3）由可以推出，符合题意； （4）只有当时，才能由，推出推出，不符合题意； 故选：A。 5．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此解答即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，故此选项符合题意； C．∵， ∴， ∴不能判断，故此选项不符合题意； D．∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故此选项不符合题意． 故选：B． 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知，则 ．（用适当的不等号连接） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，由性质逐步变换即可求解；理解性质：“两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案：． 7．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）（1）比较与的大小关系： ①当时， __________； ②当时， __________； ③当时， __________． （2）根据上述结果请你猜想与的大小关系：__________，并进行验证． 【答案】（1）①；②；③；（2），过程见详解 【分析】（1）①②③将的值代入和，求值后，比较大小即可； （2）综合①②③得出结论：（时，取“”）； 本题主要考查的是不等式的基本性质：（时，取“”）； 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴； ②当时， ， ∵， ∴； ③当时 ， ∵， ∴； （2）综合①②③得出结论：（时，取“=”）． 证明：∵（时，取“=”）， ∴， ∴ 【考点题型三】一元一次不等式与一元一次不等式组的识别（） 8．（22-23七年级下·山东泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一次未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可直接判断求解． 【详解】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意； C、此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； D、此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．要注意：一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式． 9．（22-23七年级下·山东济宁·阶段练习）下列式子：；；；，是一元一次不等式的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐个判断即可． 【详解】解：，不含未知数，不是一元一次不等式； ，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式； ，含有两个未知数，不是一元一次不等式； ，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式； ∴一元一次不等式有：(2)，只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，不等式的左右两边只含有同一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【考点题型四】求一元一次不等式的解集（） 11．（23-24七年级下·山东滨州·期末）下列数值是不等式的解的是（    ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解不等式，先求出不等式的解集，然后逐一判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 符合的为6， 故选D． 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若不等式与不等式的解集相同，则实数m的值为（    ） A．20 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．求出第一个不等式的解集，根据两解集相同确定出m的值即可． 【详解】解： ； 又， 解得， 不等式与不等式的解集相同， ， 解得． 故选：A． 13．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解一元一次不等式，由绝对值的意义可得出，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）（1）解不等式：．            （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式与一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键． （1）根据解不等式组的一般步骤解不等式即可； （2）分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）原不等式组整理得： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 15．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解下列一元一次不等式，并在数轴上表示其解集． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，并在数轴上表示其解集即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，并在数轴上表示其解集即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：    （2）解：， ， ， ， ， ， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：    【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 16．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，根据不等式的解即可求解． 【详解】解：∵关于x的不等式只有3个正整数解，为，， ∴ 故选：A． 17．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值． 【详解】解： ， 不等式的最大整数解为2， 关于的方程的解是， ， ， 故答案为：2． 18．（22-23七年级下·山东临沂·期末）不等式的负整数解有 ． 【答案】， 【分析】首先解不等式求得不等式的解集，解集中的负整数就是所求的解． 【详解】解：解不等式不等式得：． 则负整数解是：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 19．（22-23七年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】5 【分析】先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最小整数解，即可求出的值，将的值代入方程即可求出的值． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1得：． 则最小的整数解是4． 把代入得：， 解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧． 【考点题型六】列一元一次不等式（） 20．（23-24七年级下·山东泰安·期末）小明的姐姐将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式，则姐姐告诉小明的内容可能是（    ） A．买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到1250元 B．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到1250元 C．买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到1250元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到1250元 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．根据，可以理解为买两件减100元，再打8折得出总价小于1250元． 【详解】解：由关系式可知：， 由，得出两件商品减100元， 由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打8折，最后不到1250元． 故选：B． 21．（22-23七年级下·山东济宁·期末）某超市花费元购进苹果千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本其它费用不考虑，售价至少定为多少元千克？设售价为元千克，根据题意所列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】售价为元千克，因为销售中有的水果正常损耗，故千克苹果损耗后的质量为，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设售价为元千克， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价进价”列出不等式是解题关键． 22．（22-23七年级下·山东泰安·阶段练习）小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天至少要读x页，所列不等式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由已读的页数与将要读的页数和不少于总页数列不等式即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，找出不等量关系是解答的关键． 23．（22-23七年级下·山东德州·阶段练习）根据下列的数量关系，列出不等式 (1)x与1的和是正数 (2)y的2倍与1的和大于3 (3)x的与x的2倍的和是非正数 (4)c与4的和的不大于 (5)x除以2的商加上2，至多为5 (6)a与b的和的平方不大于3 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据“和是正数”即可列出不等式； （2）根据“和大于3” 即可列出不等式； （3）根据“和是非正数” 即可列出不等式； （4）根据“不大于” 即可列出不等式； （5）根据“至多为5” 即可列出不等式； （6）根据“不大于3” 即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： （3）解：由题意得： （4）解：由题意得： （5）解：由题意得： （6）解：由题意得： 【点睛】本题考查列不等式．抓住题目中的“至多”、“不大于”、“非正数”等字眼是解题关键． 【考点题型七】用一元一次不等式解决实际问题（） 24．（23-24七年级下·山东烟台·期末）某超市花费元购进草莓千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克元，根据题意所列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的运用，根据题意，去掉正常损耗以后的售价要进价，列出不等式，，即可． 【详解】解：设售价定为每千克元， ∴， 故选：A． 25．（23-24七年级下·山东威海·期末）某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式．根据题意可得，这批水果可卖元，根据“这批水果至少获得的利润”即可列出不等式． 【详解】解：设该水果每千克的售价为元， 根据题意所列不等式为， 故选：B． 26．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据利润率不低于，列一元一次不等式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 27．（24-25七年级下·山东日照·开学考试）某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 【答案】八/8 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的不等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．打折销售后要保证打折后利率为，因而可以得到不等关系为：利润大于等于进价乘以，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可． 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：， 解得：． 故商店最多打八折． 故答案为：八． 28．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）某楼盘商品房（共30层）售价方案如下：第1层每平方米售价5000元，每上升1层，每平方米售价增加50元，小王准备购买一套的房子，按照售房政策，可以贷款购房，但需要首付，现在小王只有20万元，他最高可以买第 层的房子． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小王购买了第x层的房子，根据第x层的房子的售价的不超过20万元列出不等式求解即可． 【详解】解：设小王购买了第x层的房子， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最大值为12， ∴小王最高可以买第12层的房子， 故答案为：12． 29．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表： 甲型机器 乙型机器 价格/（万元/台） 产量/（吨/月） 240 180 经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多花12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多花6万元． (1)求，的值； (2)若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)有4种购买方案： 购买3台甲型机器，7台乙型机器； 购买2台甲型机器，8台乙型机器； 购买1台甲型机器，9台乙型机器； 购买10台乙型机器 【分析】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式是解题的关键． （1）根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多花12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6花万元这一条件建立一元二次方程组求解即可． （2）设买了台甲种机器，则购买了台乙型机器，根据该公司购买新机器的资金不超过216万元，建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：设购买了台甲型机器，则购买了台乙型机器， 由题意得， 解得， 为非负整数， 或1或2或3， 或9或8或7， 有4种购买方案：购买3台甲型机器，7台乙型机器；购买2台甲型机器，8台乙型机器；购买1台甲型机器，9台乙型机器；购买10台乙型机器． 30．（22-23七年级下·山东东营·期中）某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是120元，则∶ (1)设学生数为x，甲旅行社收费，乙旅行社收费，分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)就学生人数，分类讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)； (2)学生人数为人，两旅行社一样优惠；学生人数大于人，甲旅行社优惠；学生人数小于人，乙旅行社优惠 【分析】（1）根据收费总额学生人数单价校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费； （2）利用时，得出，进而求出即可，再分两种情况讨论，当、时，求出哪种情况更优惠． 本题考查了一次函数的应用，运用一次函数的解析式解决方案设计问题的运用，在解答时根据两个解析式建立方程或不等式是关键． 【详解】（1）解：设学生人数为人，由题意，得 ， ； （2）解：由（1）得； 设学生人数为， 则； 当时， ， 解得：， 即学生人数为人，两旅行社一样优惠； 当时， ， 解得：， 学生人数大于人，甲旅行社优惠； 时， ， 解得： 故学生人数小于人，乙旅行社优惠． 【考点题型八】求不等式组的解集（） 31．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 32．（23-24七年级下·山东烟台·期末）求不等式组的解集． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①：， ， ， ， ， 解不等式②：， ， ， ， 不等式组的解集为． 33．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）解下面的不等式（组），并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式和不等式组的解集： （1）按照去分母，移项，合并同类项的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【考点题型九】求一元一次不等式组的整数解（） 34．（23-24七年级下·山东济南·期末）解不等式组：，并写出该不等式组所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解有：0，1，2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再确定其非负整数解． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为 ∴该不等式组所有的非负整数解有：0，1，2． 35．（22-23七年级下·山东济宁·期末）解不等式组，并求整数解． 【答案】不等式组的解集为，且整数解为，0，1，2，3 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为，且整数解为，0，1，2，3． 36．（23-24七年级下·山东济宁·期末）解不等式组， (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 【答案】(1)，见详解 (2)6，7，8． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组并在数轴上表示不等式组的解集． （1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”的口诀确定不等式组的解集，再确定在解集范围内的整数解，最后在数轴上表示出不等式的解集即可 （2）根据不等组的解集写出所有整数解即可． 【详解】（1）解： 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示如下： （2）满足这个不等式组的整数解有：6，7，8． 37．（23-24七年级下·山东临沂·期末）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出解集内的整数值即可． 【详解】解： 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为：，0，1，2． 38．（22-23七年级下·福建福州·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”． (1)方程①，②是不等式组的有缘方程的是__________（填序号①，②） (2)若关于x方程（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，求整数k的值； (3)若方程，都是关于x的不等式组的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，求不等式组的解集，掌握“有缘方程”的定义，是解题的关键． （1）分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据“有缘方程”的定义进行判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，利用有缘方程的定义，得到的不等式组，求出整数解即可； （3）分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据“有缘方程”的定义，分整数解为0，1，2或1，2，3两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：②理由如下： 解方程，得：； 解方程，得：； 解不等式组，得：， ∴①不是不等式组的“有缘方程”，②是不等式组的“有缘方程”． （2）解方程，得：； 解不等式组，得：， ∵方程是不等式组的“有缘方程”， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴； （3）解方程，得：； 解方程，得：； 解不等式组，得：， ∵方程，都是关于x的不等式组的有缘方程且不等式组的整数解有3个， ∴， 当整数解为时：，解得：； 当整数解为时：，此不等式组无解； ∴． 【考点题型十】列一元一次不等式组（） 39．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 40．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 41．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 42．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 【考点题型十一】不等式组的实际问题（） 43．（广东省佛山市狮山镇初中2024~2025学年下学期期中教学质量监测试题八年级数学试题）【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】问题解决（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 问题解决（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，先求出的取值范围，再得出每天分拣快递的件数，当取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元； （2）A型智能机器人台，则购买型智能机器人台， ， ， 每天分拣快递的件数， 当时，每天分拣快递的件数最多为万件， 选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台． 44．（24-25七年级下·北京·期中）为倡导读书风尚，打造书香校园，某学校计划购买一批图书．若同时购进种图书8本和种图书5本，共需300元；若同时购进种图书4本和种图书3本，共需160元． (1)求、两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且种图书的数量多于种图书的数量，又根据学校的预算，购买总金额不能超过1360元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种图书的单价为25元，种图书的单价为20元 (2)两种购买方案：买种图书31本，种图书29本；买种图书32本，种图书28本 【分析】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式组的实际应用，根据题意，找出数量关系，是解题的关键． （1）设、两种图书的单价各是元，根据题意列二元一次方程组求解，即可解题； （2）设买种图书本，则买种图书本，根据题意列一元一次不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设、两种图书的单价各是元， 根据题意得：， 解得， 答：种图书的单价为25元，种图书的单价为20元； （2）解：设买种图书本，则买种图书本， 根据题意得， 解得， 学校共有两种购买方案： 买种图书31本，种图书29本； 买种图书32本，种图书28本． 45．（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 46．（23-24七年级下·山东烟台·期末）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司要将一批新研发的物资运往A 市，计划租用A，B两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计划租用A，B两种型号的货车共40辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 【答案】(1)A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资 (2)租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设A型号的货车每辆可装载x箱物资，B型号的货车每辆可装载y箱物资，由题意：若租用4辆A型货车和6辆B 型货车可装载190箱物资；若租用5辆A型货车和10辆B型货车可装载275箱物资，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用m辆A型号的货车，则租用辆B型号的货车，由题意：公司要运输的这批防疫物资不超过725箱．且B型货车的数量不超过A型货车数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A型货车每辆可装载箱物资，型货车每辆可装载箱物资， 由题意，得：， 解得， 答：A型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资． （2）解：设租用A型货车辆，型货车辆．由题意，得 ， 解得， 因为是整数， 所以或， 所以租车方案共有3种，具体如下：①型货车10辆，型货车30辆；②型货车11辆，型货车29辆；③型货车12辆，型货车28辆． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$