专题04 全等三角形辅助线与模型（考题猜想，7种热考模型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版五四制）

专题04 全等三角形辅助线与模型（考题猜想，7种热考模型） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型一：中点模型之倍长中线模型（共4题） 1．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在中，，为的中点，连结，作交于点．若，，则　 　． 【分析】延长至点，使，连结，．证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，设，则，，由勾股定理得出，解方程求出的值即可得出答案． 【解答】解：延长至点，使，连结，． 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， ， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 2．（2022秋•常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　 　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 【分析】（1）先判断出，得出，最后用三角形的三边关系计算； （2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）延长到点，使，连接、、，先证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以． 【解答】（1）解：延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）延长到，使，连接，如图2， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接、， 是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋•梅里斯区期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点是的中点，点在上，且． 求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点，使，连接； ②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【分析】（1）①如图1，延长到点，使，连接，先判断出，进而判断出，得出，，再判断出，即可得出结论； ②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，，先判断出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （2）如图3，过点作，交的延长线于点，先判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论． 【解答】证明：（1）①如图1，延长到点，使，连接， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； ②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图3， 过点作，交的延长线于点， 则， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 4．（2022秋•桐柏县校级期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，直接写出线段的长． 【分析】（1）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （2）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． （3）如图③，延长交的延长线于点，证明，可得结论． 【解答】解：（1）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． （3）如图③，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点评】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型二：平行线+线段中点构造全等模型（共6题） 1．（2024春•平房区期末）如图，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，则线段的长为 　　． 【分析】延长，交于点，易通过证明，得到，结合条件可得，由等腰三角形的性质即可得解． 【解答】解：如图，延长，交于点， ， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据中点正确构造全等三角形解决问题． 2．（2023秋•东莞市校级期末）中，是边上的一点，过作直线交于，交的延长线于，且，， （1）求证：； （2）若，求证：． 【分析】（1）由平行线的性质得出，由证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，证出，即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 3．（2023春•浦东新区校级期末）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，试说明与垂直的理由． 【分析】（1）由与平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及为中点得到一对边相等，利用即可得出； （2）由，以及（1）得出的，等量代换得到，利用等角对等边得到，即三角形为等腰三角形，再由（1）得到，即为底边上的中线，利用三线合一即可得到与垂直． 【解答】解：（1）， （两直线平行，内错角相等） 为的中点， （中点的意义）， 在和中， ． （2），， （等量代换）， （等角对等边）． （已证）， （全等三角形的对应边相等）， （等腰三角形三线合一）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 4．（2024秋•丰台区校级月考）如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． （1）求证：是的中点； （2）求证：． 【分析】（1）过作的延长线与，根据全等三角形的判定证得，得到，再证得得到，即可证得即可证得结论； （2）由（1）得，，，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可证得结论． 【解答】证明：（1）过作的延长线与， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点； （2）由（1）得，，， ，， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． 5．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若（其中为正数），则　 　．（用含的代数式表示） 【分析】（1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【解答】证明：（1），， ， 在和中， ， ； （2）过点作交于点，如图2， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）过作的延长线交于点，如图3， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键． 6．（2024春•锦州期末）【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得 ． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由． 【分析】（1）小王同学的思路：如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则，根据题意证明出，得到； 小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （2）方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，证明出，得到； 方法2：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，证明出，得到． 【解答】解：（1）小王同学的思路： 如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则． ． ，， ， ． ， ． ，即是的中点 小张同学的思路： 如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则． ， ，， ． ，， ． ． ，即是的中点； （2）猜想 方法 如图4，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接， 则． ． ，，，， ，，，． ． ． 又， ． ． 方法 如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接， 则． ． ，， ． ，，， ，，． ． ． ， ． ． ． 【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 题型三：角平分线+垂直构造全等模型（共10题） 1．（2023秋•睢阳区期末）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 2．（2024春•泰山区期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【分析】根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立． 【解答】解：连接， ， 是的平分线， ，①正确． ， ，②正确． 只是过点，并没有固定，明显③不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中． 3．（2023秋•巴中期末）如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】（1）在直角三角形中，利用可以证明； （2）根据，可以得到对应边相等，然后证明； （3）在直角三角形中，利用勾股定理，推导出； （4）利用余角和补角之间的关系，可以得出和之间的关系； （5）在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出． 【解答】解：（1）平分，，， ， 在和中， ， ， 又垂直平分交于点， ， 在和中， ， 故结论①符合题意； （2）， ， ，， ， 故结论②符合题意； （3）垂直平分， ，， 又，， ， 故结论③符合题意； （4）， ， ， ， 故结论④不符合题意； （5）， ， ，，， ， ， 在直角中，是斜边，是直角边， ， ， 故结论⑤符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的重点是直角三角形全等的证明，线段的垂直平分线和角平分线的运用，学会灵活运用全等三角形知识构建边角之间的关系． 4．（2023秋•苍梧县期末）如图，的面积为，平分，且于，则的面积为　　． 【分析】延长交于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据等底等高的三角形的面积相等可得，，然后求出的面积的面积等于，再进行计算即可得解． 【解答】解：如图，延长交于， 平分，， ， ，， 的面积． 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 5．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【分析】（1）过点作于点，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【解答】证明：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ． （2），， ， 再和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 6．（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）、分别为的角平分线， ，， ， ； （2）在上截取，连接． 、分别为的角平分线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 7．（2023秋•潢川县期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）　　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 【分析】（1）根据题意可得，则，即可求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的度数． （2）根据轴对称图形的性质即可解答． （3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解． （4）过点作，作点关于的对称点，根据题意可得，，，根据可证明△，则，，因此，以此得出当点、、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果． 【解答】解：（1），， ， ， 点是边的中点， ， 平分， ； 故答案为：4，45． （2）四边形为轴对称图形，平分， 对称轴为直线， ； （3）平分， ， 当时， ， ； 当时， ； 当时， ； 综上，的度数为或或． （4）如图，点在上，且，作点关于的对称点， ， ， 平分， ， 在和△中， ， △， ，， ， 当点、、三点共线时，的值最小， 又根据垂线段最短， 当时，有最小值， ， ，， ， ， ． 【点评】本题主要考查轴对称最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点、、三点共线时，的值最小是解题关键． 8．（2023秋•奉化区期末）如图，在中，，平分，点是的中点，过点作交延长线于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长（用、的代数式表示）． 【分析】（1）作直线分别交、的延长线于点、，构造全等三角形进一步求解即可； （2）过点做交于点，构造等边三角形化简整理即可求解． 【解答】解：（1）作直线分别交、的延长线于点、， ，平分，， ， ， ，， ， ； （2）过点做交于点． ，， ，即． ， ， 为等边三角形． ，，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（2022秋•长沙期末）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则　　． （2）如图2，若，点在上，且，，，求的长；（用含、的式子表示） （3）如图3，，点在的延长线上，连接，若的面积是7，求的面积． 【分析】（1）利用证明，得出，再利用即可求得答案； （2）利用证明，得出，，由题意可得出，再利用等角对等边证得，即可得出答案； （3）延长、交于，先证明，得出：，，利用等底等高的两个三角形面积相等可得，设，即可得出答案． 【解答】解：（1）平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：3． （2）平分， ， 在和中， ， ， ，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）如图，延长、交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 10．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，在等腰直角中，，点为边上的中点． （1）如图1，若点、点分别为线段、上的点，且，连接、，求证：； （2）如图2，若点为线段上的点，点为线段延长线上的点，且，，连接，交于点，是的角平分线，交于点，连接、，探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【分析】（1）如图1，连接，先证明，根据等角的余角相等即可证明，进而可得； （2）如图2，过点作交于点，过点作，，，垂足分别为、、，先证明，进而证明是的角平分线，可得，结合含角的直角三角形的性质，即可证得结论． 【解答】证明：（1）如图1，连接， 点是等腰直角斜边上的中点， ，，， ， ， ， ， 即， ； （2）．理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作，，，垂足分别为、、， 在等腰直角中，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线， 是的角平分线， 是的角平分线， 在中，，， ， ， ，，， ，，，， ． 即． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线是解题关键． 题型四：三垂直（K字）、一线三等角模型（共6题） 1．（2023秋•永定区期末）在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　　． 【分析】（1）利用互余关系证，再证△△，得到，，即可得出结论； （2）类似于（1）可证△△，得，，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ． ，， ，， ． 在△和△中， ， △△， ，． ， ． （2）解：于，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023秋•梅里斯区期末）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论； （2）由图可知，与仍全等，但线段的关系已发生改变． 【解答】（1）证明：①，， ． 在和中， ， ． ②， ，． ． （2）成立，．不成立，此时应有． 证明：，， ． 又，， ． ，． ． 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用． 3．（2024春•康平县期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据补角的概念、三角形内角和定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （3）证明，得到，，进而得出，根据等边三角形的判定定理证明结论． 【解答】解：（1）， 理由如下：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）结论成立， 理由如下：，，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形， 理由如下：由（2）得，， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（2023秋•武威期末）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （3）先由和平分得到，然后结合得到和是等边三角形，然后得到、，然后结合得到、，从而得到，故可证，从而得到、，最后得到，即可得证是等边三角形． 【解答】解：（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3）是等边三角形，理由如下， ，平分， ， ， 和是等边三角形， ，， 同（2）可得，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等． 5．（2023秋•台江区期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，求证：△△； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，△为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【分析】（1）证，再由证△△即可； （2）证△△，得，，即可解决问题； （3）过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点，证△△，得，，则，，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 即的长为； （3）解：如图3，过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点， 则， ，， ，，， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， 点坐标为． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 6．（2023秋•金乡县期末）如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且． （1）若，，则　 　； （2）过点作，垂足为． ①填空：△　　； ②求证：； （3）如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并简要说明理由． 【分析】（1）先由、得到，然后由得到，再结合得到，最后由得到； （2）①先由得到，然后由得到，从而得到，再结合、得证； ②先由和得到，再结合、得证，进而得到，最后由得到，最后得证； （3）过点作，交的延长线于点，则，先由，得到，然后由是以为斜边的等腰直角三角形得到，，从而得证，因此有，再由得到，然后证明，最后得到． 【解答】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为，60． （2）①解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． ②证明：，， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：，理由如下， 如图2，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握一线三等角模型证明三角形全等． 题型五：手拉手模型（共9题） 1．（2023秋•河东区期末）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【分析】延长交于点，交于点，根据等式的性质可得，从而利用证明，进而可得，，再根据已知可得，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形内角和定理可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据对顶角相等可得，从而可得，从而利用三角形内角和定理可得：，即可解答． 【解答】解：延长交于点，交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 所以，上列结论，其中不正确的有0个， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2023秋•华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为 　　度，线段与的数量关系为 　　（用几何语言填写）． （2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系． 【分析】（1）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，，再根据已知易得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； （2）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，即可解答． 【解答】解：（1）和均为等腰三角形，且， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：90；； （2）， 理由：和均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 3．（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． 【分析】（1）根据等边三角形性质可得，即可推出，得出，根据等角对等边可得，运用线段垂直平分线的判定得出结论； （2）运用等角对等边即可判定和是等腰三角形，通过等边三角形性质可判定是等腰三角形，再证明，得出，即可判定是等腰三角形． 【解答】（1）证明：、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， 点是的中点； （2）解：， ， 是等腰三角形， ， 是等腰三角形， 、是等边三角形， ，，， ， ， 是等腰三角形， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有、、、共4个． 【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线的判定等，是一道常考的基础题． 4．（2023秋•斗门区期末）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ． ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，，则　 　； （2）已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中． ①如图1，若，的面积为12，和的面积之和为26，求线段的长； ②如图2，若与在同一直线上，连接，延长与交于点，连接并延长与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【分析】（1）运用完全平方公式即可求得答案； （2）①运用等腰直角三角形性质和三角形面积可得：，，再运用完全平方公式可得，即可推出； ②可证得，得出，进而可得，，推出，再结合三角形面积和完全平方公式即可求得答案． 【解答】解：（1），， ，． ． ， 故答案为：5． （2）①，的面积为12， ，即， 和均为等腰直角三角形， ，，， 由题意得：， ，即， ， ， ， ， ， ； ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点评】此题考查了全等三角形的性质及其判定，等腰直角三角形的性质，三角形面积等，找到全等三角形，利用全等三角形的性质推出角之间的关系为解题关键． 5．（2023秋•霸州市期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知、且、满足． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）如图2，若是的中点，，在线段的延长线上，，连接，试探究和的关系． 【分析】（1）解方程组求出、即可解决问题； （2）如图1中，过点作交于点，设交于．证明，则可得出结论． （3）过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于，利用已知条件证明，得到，再证明得到，进而且（三线合一）． 【解答】（1）证明：、满足， ， ，， ， ， （2）解：如图1中，过点作交于点，设交于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点作交的延长线于，过点作交轴于，延长交于， ，， 、为等腰直角三角形， ，， ， ．， ， ， 又， ， ， ， ， ，． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解二元一次方程组等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 6．（2023秋•红桥区期末）在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是 　 　，的度数为 　　 ． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）利用证明，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即，根据，等量代换可得． 【解答】解：（1），， 理由如下：如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ． 故答案为：，； （2），， 理由如下：如图2， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ； （3）【拓展延伸】， 理由如下：如图3， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 7．（2023秋•渝中区期末）已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边． （1）如图1，若，平分，求的长； （2）如图2，点是的中点，的延长线交于点，求证：； （3）若为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【分析】（1）利用直角三角形的性质和等边三角形的性质即可求得答案； （2）连接，在上截取，连接．利用证明，可得，，进而证明．可得，．即可证得结论； （3）分四种情况：当点在的延长线上时，当点在边上时，当点在的延长线上时，当点与点对称时，分别求出的度数． 【解答】（1）解：如图1， ，， ． 平分， ． ，， ． ， ． 是等边三角形， ． （2）证明：如图2，连接，在上截取，连接． ，， ，． 点是的中点， ． ． 是等边三角形． ， 是等边三角形， ，， ． ． ，， ，， ． ． ，． ． ． ． （3）解：当点在的延长线上时，如图3， 中，，，点是的中点， ， ， 为等腰三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 垂直平分， 平分， ， ， ， ， 点是的中点， 平分， ； 当点在边上时，如图4， 由（2）知，，是等边三角形， ，， ， ， ， 点是的中点， 为等腰三角形， ， ， ， ， 同理，， ，即点是的中点， 即点、重合， 在和中， ， ， ， 即； 当点在的延长线上时，如图5， ，为等腰三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ； 当点与点对称时，如图6， 则和均为等边三角形， 点是的中点， ； 综上所述，的度数为或或或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，有一定的难度，分情况讨论是解题的关键． 8．（2023秋•丹江口市期末）如图①，平面直角坐标系中，已知，，且，满足． （1）填空：　 　，　　，　　； （2）如图②，是轴正半轴上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转至，问点是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由； （3）如图③，当点与点关于轴对称时，在直线上的一点满足，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质即可得到，的值，进而得出的形状为等腰直角三角形，由此可得的度数； （2）过点作轴于点，判定△△，即可得到6，进而得出当点在正半轴上运动时，点到轴的距离均为6，即点在直线6上运动； （3）过点作轴于点，交于点，判定△△，即可得到，进而得出，由此可得2． 【解答】解：（1），满足， ， ，， 解得，， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：，6，； （2）点在6的直线上运动．理由如下： 如图②，过点作轴于点，则， 又， ， ， 在△和△中， ， △△， 6， 即当点在正半轴上运动时，点到轴的距离均为6， 点在直线6上运动； （3）．理由如下： 如图③，过点作轴于点，交于点，则轴， ， ，， ， ， 点与点关于轴对称， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 2． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 9．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，在平面直角坐标系中，，为轴上两点，且，满足：，点，，为线段上一动点． （1）则　 　，　　； （2）如图1，若点在的垂直平分线上，作，交的延长线于点，连接，求证：轴； （3）如图2，作点关于的对称点，连接，取中点．连接，，判断与的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质，即可得到，的值； （2）利用垂直平分线的性质，即可得到的度数，进而得出与轴的位置关系； （3）连接并延长至，使得，连接，，构造两对全等三角形，利用全等三角形的性质，即可得到与的数量关系． 【解答】（1）解：，满足：，即， ，， ，， 故答案为：，3； （2）证明：如图1，连接， 点在的垂直平分线上， ，即是等腰三角形， ，， ， 又， 垂直平分， ， ， ， ，， ，即， 又， 垂直平分， ， ， ， 轴； （3）解：与的数量关系为． 理由：如图2，连接，， 点关于的对称点为，， ，， 是等边三角形， ， 如图2，连接并延长至，使得，连接，，则， 点是的中点， ， ， ，，， ， ， 又， ， 又，， ， ，， 又是的中点，， ，， ， 中，． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了非负数的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的综合运用．作辅助线构造全等三角形，并熟练运用全等三角形的性质是解题的关键． 题型六：夹半角与截长补短（共8题） 方法:邻边相等的四边形中一个角夹它的半角，往往通过截长补短证明一次旋转型全等，再证明一次对称型全等 1．（2021春•阜南县期末）如图，已知正方形中，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）当，时，求的面积． 【分析】（1）延长到，使，证，再证明，则即可； （2）根据题意得出，求出正方形的面积和三角形的面积即可． 【解答】解：（1）延长到，使， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）得，， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的应用和正方形的性质，关键是要牢记正方形的性质，即正方形的四边相等，四个内角都是，作辅助线构造全等三角形是解决此类题型常用的方法． 2．（2021春•溧水区期末）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法． 【问题提出】 如图①，在正方形中，，点、分别在边、上．求证：． 证明思路如下： 第一步：如图②，将绕点按顺时针方向旋转得到，再证明、、三点在一条直线上． 第二步：证明． 请你按照证明思路写出完整的证明过程． 【初步思考】 如图③，四边形和为正方形，连接、，得到和． 下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③． 其中所有正确结论的序号是　　． 【深入研究】 如图④，分别以的四条边为边向外作正方形，连接，，，．若的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为　　． 【分析】【问题提出】 将绕点按顺时针方向旋转得到，由旋转的性质得出，则，，，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 【初步思考】 过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连接．则四边形为平行四边形，证明，得出，则得出结论； 【深入研究】 连接，，由【初步思考】的结论可知：，同理，，，则可得出答案． 【解答】【问题提出】 （1）证明：将绕点按顺时针方向旋转得到， 在正方形中，， 由旋转可知， ，，，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 【初步思考】 解：， 和的周长不一定相等，故①不正确； 正方形绕点旋转过程中，． ③不正确； 如图1，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连接． 则四边形为平行四边形， ，， 四边形和四边形为正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 故②正确， 故答案为：②． 【深入研究】 解：图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为16． 如图2，连接，， 由【初步思考】的结论可知：， 同理，，， 阴影部分的面积． 故答案为：16． 【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023秋•湖北期末）【初步思考】 （1）如图1．在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求证：． 小阳发现此题是证明线段的和（差问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证，得出①　 　，． 第二步：，，得出，所以②　　． 第三步：易证，得出③　　，于是④　　，即 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形是边长为7的正方形，，求的周长． 【分析】（1）延长至点，使，连接，可证明，得，，再证明，进而证明，得，所以，则，于是得到问题的答案； （2）延长到点，使，连接，则，可证明，得，，推导出，进而证明，得，则，所以（1）中的结论仍然成立； （3）延长到点，使，连接，则，可证明，得，，推导出，进而证明，得，则，求得，则的周长为14． 【解答】解：（1）如图1，延长至点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：，，，． （2）成立， 理由：如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， （1）中的结论仍然成立． （3）如图3，延长到点，使，连接， 四边形是边长为7的正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 的周长为14． 【点评】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的周长等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2021秋•黄陵县期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）延长到，使，连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解； （2）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么． 【解答】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接． 在和中， ， ． ，， ， 又， ． 又， ， ， ， ． （2）解：结论不成立，应当是． 理由：如图②，在上截取，使，连接． ，， ． 又，， ， ，． 又， ． ． 又，， ， ． ， ． 【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． 5．（2024春•福田区校级期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． （1）如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是 　 　；此时　　； （2）如图2，点、在边、上，且当时，猜想问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 【分析】（1）由，，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得、、之间的数量关系，此时； （2）在的延长线上截取，连接．可证，即可得，易证得，则可证得△，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得△，则可得． 【解答】解：（1）如图1，、、之间的数量关系， 此时， 理由：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，， ； ， 是等边三角形， ， ， ； （2）猜想：结论仍然成立， 证明：在的延长线上截取，连接， ，， ， ，，， ，， ， △， ， 的周长为：， ； （3）证明：在上截取，连接， 可证， ， 可证， △， ， ． 【点评】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 6．（2020秋•德清县期末）（1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，，求证：． 小亮同学认为延长到点，使，连结，先证明，再证明，即可得证，并写出了以下的思维框图： 请问：小亮同学②处用到的判定依据是 　 　． ． ． ． ． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【结论运用】在平面直角坐标系中，正方形如图3放置，是坐标原点，点、点分别在轴和轴上，，分别是，上的点，，若点的坐标为，，试求出点的坐标（可直接运用背景结论）． 【分析】（1）根据题意由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解决问题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）结合（2）知，，则，设，则，列出方程即可求解． 【解答】解：（1）延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连结， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）由（2）知，，则， 设，则， ， ， 解得：， 的坐标为． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 7．（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　 ． 【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，即可证明△△，可得，再证明△△，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建△，同理证明△△和△△．可得新的结论：． 【解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在△与△中， ， △△． ，， ． ． 又， 易证△△． ． ． 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在△与△中， ， △△． ，， ． ． 又， △△． ． ． （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在△与△中， ， △△． ，． ． ． ， 易证△△． ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证△△， 证△△， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 8．（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，线段、、之间的关系是　 　；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，证明结论； （2）延长至，使，连接，仿照（1）的证明方法解答； （3）在上截取，连接，仿照（1）的证明方法解答． 【解答】解：（1）， 理由如下：如图1，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长至，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 理由如下：如图3，在上截取，连接， 同（2）中证法可得，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 题型七：婆罗摩笈多结构（共5题） 1．（2022春•漳州期末）如图，，，，于点，的延长线交于点，现给出下列结论： ①； ②连接，，则； ③； ④． 其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号） 【分析】过点作的延长线于点，过点作于点，先证明，根据全等三角形的性质可判断①选项；再证明，根据全等三角形的性质可判断②选项；根据圆周角的定义以及三角形的内角和定理可判断③选项；根据，可得，，同理可证，可得，，再证明，根据全等三角形的性质可判断④选项． 【解答】解：过点作的延长线于点，过点作于点，如图所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故①选项不符合题意； 连接，， ， ， 在和中， ， ， ， 故②选项符合题意； ， ， ， ， 故③选项符合题意； ， ，， 同理可证， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 故④选项符合题意， 综上，正确的选项有②③④， 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2023春•邛崃市期末）如图，，均为等腰直角三角形，，，若四边形的面积为，的面积为，则与的数量关系为 　 　． 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，然后利用平角定义可得，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，再利用全等三角形的性质可得，从而可得的面积的面积，最后根据四边形的面积的面积的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， ， ，均为等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的面积，的面积， 的面积的面积， 四边形的面积的面积的面积的面积的面积， ， 即：， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2020秋•芝罘区期末）如图，以的两边和为腰在外部作等腰和等腰，，，． （1）连接、交于点，如图①，求证：，； （2）连接，于点，直线交于点，如图②，求证：． 【分析】（1）由“”可证，由全等三角形的性质可得结论； （2）过点作于，过点作，交的延长线于，由“”可证，，可得，再由“”可证，可得． 【解答】证明（1）如图①，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （2）如图②，过点作于，过点作，交的延长线于， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2022春•开江县期末）和是两个等腰直角三角形，，，． （1）如图（1），判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图（1），若，．则四边形面积的最大值是 　 　； （3）如图（2），过点作于点，延长交于点．试说明点为的中点． 【分析】（1）由“”可证，可得．，由余角的性质可证，可得结论； （2）由面积关系可得四边形面积，则当最大时，四边形面积最大，即当点，点，点三点共线时，有最大值为7，即可求解； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得．即可得结论． 【解答】（1）解：与的关系是相等且垂直． 理由如下：如图，设，交于点，，交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 与的关系是相等且垂直； （2）解：如图1，，． ， 当最大时，四边形面积最大， 由三边关系可知，，即当时， 四边形面积最大，四边形面积最大值， 故答案为：24.5； （3）证明：过点作于点，过点作于点，如图， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 同理，， ． 又，， ， ． 点为中点． 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2024秋•蔡甸区校级月考）在△中，、是角平分线，交于点． （1）如图1，是高，，，直接写出和的度数． （2）如图2，若，，求的度数． （3）如图3，若，，，，直接写出． 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）连接，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，过作于，于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得的结论． 【解答】解：（1）， ， ， ； ，， ，， 是的角平分线， ， ； （2）连接，如图1， 、是角平分线， 是的角平分线， ， 过作，， 则， 在△与△中， ， △△， ， ， 、是角平分线， ，， ， ， ， 即， ； （3）如图2，连接，过作于，于，于， 、是角平分线， ， ，，，， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． $$专题04 全等三角形辅助线与模型（考题猜想，7种热考模型） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型一：中点模型之倍长中线模型（共4题） 1．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在中，，为的中点，连结，作交于点．若，，则　 　． 2．（2022秋•常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　 　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 3．（2022秋•梅里斯区期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点是的中点，点在上，且． 求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点，使，连接； ②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 4．（2022秋•桐柏县校级期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： （1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　 　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，直接写出线段的长． 题型二：平行线+线段中点构造全等模型（共6题） 1．（2024春•平房区期末）如图，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，则线段的长为 　　． 2．（2023秋•东莞市校级期末）中，是边上的一点，过作直线交于，交的延长线于，且，， （1）求证：； （2）若，求证：． 3．（2023春•浦东新区校级期末）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，试说明与垂直的理由． 4．（2024秋•丰台区校级月考）如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． （1）求证：是的中点； （2）求证：． 5．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若（其中为正数），则　 　．（用含的代数式表示） 6．（2024春•锦州期末）【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得 ． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由． 题型三：角平分线+垂直构造全等模型（共10题） 1．（2023秋•睢阳区期末）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•泰山区期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 3．（2023秋•巴中期末）如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023秋•苍梧县期末）如图，的面积为，平分，且于，则的面积为　　． 5．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 6．（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 7．（2023秋•潢川县期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）　　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 8．（2023秋•奉化区期末）如图，在中，，平分，点是的中点，过点作交延长线于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长（用、的代数式表示）． 9．（2022秋•长沙期末）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则　　． （2）如图2，若，点在上，且，，，求的长；（用含、的式子表示） （3）如图3，，点在的延长线上，连接，若的面积是7，求的面积． 10．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，在等腰直角中，，点为边上的中点． （1）如图1，若点、点分别为线段、上的点，且，连接、，求证：； （2）如图2，若点为线段上的点，点为线段延长线上的点，且，，连接，交于点，是的角平分线，交于点，连接、，探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 题型四：三垂直（K字）、一线三等角模型（共6题） 1．（2023秋•永定区期末）在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　　． 2．（2023秋•梅里斯区期末）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 3．（2024春•康平县期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 4．（2023秋•武威期末）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 5．（2023秋•台江区期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，求证：△△； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，△为等腰直角三角形，，，求点坐标． 6．（2023秋•金乡县期末）如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且． （1）若，，则　 　； （2）过点作，垂足为． ①填空：△　　； ②求证：； （3）如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并简要说明理由． 题型五：手拉手模型（共9题） 1．（2023秋•河东区期末）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 2．（2023秋•华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为 　　度，线段与的数量关系为 　　（用几何语言填写）． （2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系． 3．（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． 4．（2023秋•斗门区期末）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ． ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，，则　 　； （2）已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中． ①如图1，若，的面积为12，和的面积之和为26，求线段的长； ②如图2，若与在同一直线上，连接，延长与交于点，连接并延长与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 5．（2023秋•霸州市期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知、且、满足． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）如图2，若是的中点，，在线段的延长线上，，连接，试探究和的关系． 6．（2023秋•红桥区期末）在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是 　 　，的度数为 　　 ． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 7．（2023秋•渝中区期末）已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边． （1）如图1，若，平分，求的长； （2）如图2，点是的中点，的延长线交于点，求证：； （3）若为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 8．（2023秋•丹江口市期末）如图①，平面直角坐标系中，已知，，且，满足． （1）填空：　 　，　　，　　； （2）如图②，是轴正半轴上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转至，问点是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由； （3）如图③，当点与点关于轴对称时，在直线上的一点满足，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 9．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，在平面直角坐标系中，，为轴上两点，且，满足：，点，，为线段上一动点． （1）则　 　，　　； （2）如图1，若点在的垂直平分线上，作，交的延长线于点，连接，求证：轴； （3）如图2，作点关于的对称点，连接，取中点．连接，，判断与的数量关系，并说明理由． 题型六：夹半角与截长补短（共8题） 方法:邻边相等的四边形中一个角夹它的半角，往往通过截长补短证明一次旋转型全等，再证明一次对称型全等 1．（2021春•阜南县期末）如图，已知正方形中，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）当，时，求的面积． 2．（2021春•溧水区期末）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法． 【问题提出】 如图①，在正方形中，，点、分别在边、上．求证：． 证明思路如下： 第一步：如图②，将绕点按顺时针方向旋转得到，再证明、、三点在一条直线上． 第二步：证明． 请你按照证明思路写出完整的证明过程． 【初步思考】 如图③，四边形和为正方形，连接、，得到和． 下列关于这两个三角形的结论：①周长相等； ②面积相等； ③． 其中所有正确结论的序号是　　． 【深入研究】 如图④，分别以的四条边为边向外作正方形，连接，，，．若的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为　　． 3．（2023秋•湖北期末）【初步思考】 （1）如图1．在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求证：． 小阳发现此题是证明线段的和（差问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证，得出①　 　，． 第二步：，，得出，所以②　　． 第三步：易证，得出③　　，于是④　　，即 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形是边长为7的正方形，，求的周长． 4．（2021秋•黄陵县期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 5．（2024春•福田区校级期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． （1）如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是 　 　；此时　　； （2）如图2，点、在边、上，且当时，猜想问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 6．（2020秋•德清县期末）（1）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，，求证：． 小亮同学认为延长到点，使，连结，先证明，再证明，即可得证，并写出了以下的思维框图： 请问：小亮同学②处用到的判定依据是 　 　． ． ． ． ． （2）【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【结论运用】在平面直角坐标系中，正方形如图3放置，是坐标原点，点、点分别在轴和轴上，，分别是，上的点，，若点的坐标为，，试求出点的坐标（可直接运用背景结论）． 7．（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　 ． 8．（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，线段、、之间的关系是　 　；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 题型七：婆罗摩笈多结构（共5题） 1．（2022春•漳州期末）如图，，，，于点，的延长线交于点，现给出下列结论： ①； ②连接，，则； ③； ④． 其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号） 2．（2023春•邛崃市期末）如图，，均为等腰直角三角形，，，若四边形的面积为，的面积为，则与的数量关系为 　 　． 3．（2020秋•芝罘区期末）如图，以的两边和为腰在外部作等腰和等腰，，，． （1）连接、交于点，如图①，求证：，； （2）连接，于点，直线交于点，如图②，求证：． 4．（2022春•开江县期末）和是两个等腰直角三角形，，，． （1）如图（1），判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图（1），若，．则四边形面积的最大值是 　 　； （3）如图（2），过点作于点，延长交于点．试说明点为的中点． 5．（2024秋•蔡甸区校级月考）在△中，、是角平分线，交于点． （1）如图1，是高，，，直接写出和的度数． （2）如图2，若，，求的度数． （3）如图3，若，，，，直接写出． $$