专题01 二元一次方程组（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版五四制）

专题01 二元一次方程组（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 题型二 图像法解二元一次方程 题型三 二元一次方程的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 同解方程组的问题 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 二元一次方程组与不等式综合 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 题型十 二元一次方程组与实际问题 题型十一 三元一次方程组与实际问题 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 由②得：③ 把③代入①得，， 解得，， 把代入③得，， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得，， ①+②得，， 解得，， 把代入①得，， 则方程组的解为． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）解下列方程（组）： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解分式方程， （1）用代入消元法进行计算即可； （2）将整体代入方程②求出y的值，再代入求出x的值即可； （3）去分母将分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可； 掌握代入消元法解二元一次方程组以及分式方程的解法是正确解答的关键． 【详解】（1）， 将②代入①得， ， 解得， 把代入②得，， ∴方程组的解为； （2）， 将①整体代入②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为； （3）， 两边都乘以得， ， 解得， 经检验是原方程的根， ∴方程的解为：． 3．（22-23七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 【答案】(1)等式性质2，等式性质1 (2)不正确，第②步错误，见解析 【分析】（1）根据等式性质即可得出答案； （2）根据加减消元法解方程组的步骤进行判断即可． 【详解】（1）解：①两边同乘以2，得，③，该步骤利用的是等式性质2； ，得，该步骤利用的是等式性质1； 故答案为：等式性质2；等式性质1； （2）错误，他解题过程中最早在第2步出现错误，正确步骤如下： 两边同乘以2，得：③， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 4．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得：， ， ， 把代入，得：， 所以，原方程组的解是； （2）解：， 把，得：， ，得：， 把代入，得：， 所以，原方程组的解是； 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 题型二 图像法解二元一次方程 5．（23-24七年级下·浙江台州·期中）阅读下列材料： 我们知道，二元一次方程有无数组解，若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象，记作直线． 请解答以下问题： (1)在所给的平面直角坐标系中描出点，并计算说明点A在方程的图象上； (2)在所给的平面直角坐标系中画出方程的图象； (3)若直线与（2）中的相交于点B，求点B的坐标； (4)结合坐标网格，直接写出，的长度． 【答案】(1)点在方程的图象上； (2)见解析 (3)点的坐标为； (4)，． 【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数与二元一次方程，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征．也考查了学生阅读理解能力与知识的迁移能力． （1）将点的坐标分别代入，如果等式左右两边相等，那么点在直线上，否则点不在直线上； （2）利用两点作出画出函数的图象即可； （3）解方程组即可求得； （4）利用正方形的面积求得即可． 【详解】（1）解：， 当时，，即点在方程的图象上； （2）由方程可知当时，，当时，， 方程图象过点，， 过点，画出直线如图， （3）直线与（2）中的相交于点B，所以点的坐标满足这两个方程， 联立成方程组得，解得 点的坐标为； （4）解：根据网格，以为边的正方形面积为，所以； 以为边的正方形面积为．所以． 6．（23-24七年级下·山东济宁·期末） (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①均在同一条直线上；是 (3) (4) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象； （1）先解出方程的四个解，再在平面直角坐标系中利用描点法作图，再根据图形解答即可； （2）根据（1）所作的图形即可解答； （3）用描点法分别画出两个二元一次方程的图象，根据图象的交点就是方程组的解，即可解答； （4）根据方程组的解为，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解， 可以为：， 填表如下， （2）①如图所示，由图可知，这些点都在同一条直线上； ②在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解； （3）解：的解， 可以为： 如图所示， 根据图象的交点就是方程组的解，则方程组的解为 （4）解：根据函数图象可得方程组的解为 ∴ 解得： ∴ 7．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）【再现课本】在第八章的数学活动中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．    【解决问题】 （1）已知，，，则点　　　　（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图中两个图象，它们的交点坐标为　　　　，由此得出二元一次方程组的解是　　　　． 【拓展延伸】 （3）已知点,在二元一次方程的图象上，试求a，b的值． （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M，当点M在第一象限时，请求出m的取值范围． 【答案】（1）C；（2）画图见解析；，；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象． （1）把已知，，，分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等进行判断即可； （2）分别取两个点，让它们的坐标都能让方程的左右两边相等，然后过两点画直线即可，观察图象可得，所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案； （3）把点,代入方程，解方程组可得； （4）在（3）的条件下，得到方程组求出交点，根据点在第一象限即可求出m的范围． 【详解】解：（1）把已知，，分别代入方程中， ，，， ∴点A，B不在方程的图象上，点C在方程的图象上， 故答案为：C； （2）二元一次方程的图象如下图：    由图可知交点坐标为， 则的解为：， 故答案为：，； （3）点,在二元一次方程的图象上， ， 解得：； （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M， ，解得：， ， 点M在第一象限， ，， 解得： 题型三 二元一次方程的特殊解法 8．（21-22七年级下·浙江·期末）（1）点点在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即 把方程①代入③得：，所以． 把代入①得，． 所以方程组的解为． 请你模仿点点的“整体代换”法解方程组． （2）表示一个两位数，其中为的整数．圆圆在研究平方的规律时发现： ． ． 猜想的结果，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）仿照材料中的解题思路，将方程组变形后，“整体代换”即可求出解； （2）根据所给的例子发现：．根据完全平方公式展开后，再将前两项分解因式即可得证． 本题考查了数的十进制，规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚式子的规律； 【详解】解：（1） 将方程②变形得：③， 把方程①代入③得：， 解得：， 将代入①得：， 所以原方程组的解为； （2）由， ， ， 可猜想：，理由如下： ， ， ． 【点睛】本题考查了用“整体代换”解二元一次方程组、数的十进制，规律型：数字的变化类，解答的关键是掌握“整体代换”解方程组的方法，分析清楚式子的规律． 9．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 10．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需___________元. (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么___________. 【答案】(1)－1 (2)30 (3)-11 【分析】（1）两式相减可求出x﹣y的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，即可求出结论； （3）根据“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，即可求出1*1的值． 【详解】（1）解： ， 由①﹣②可得x﹣y＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得： ， 由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30， 即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． （3）解：依题意得：， 由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11， 即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 11．（20-21七年级下·浙江·期末）（1）已知甲、乙二人解关于的方程组，甲正确地解出，而乙把抄错了，结果解得，求的值． （2）已知的积中不含有的二次项和一次项，求的值． 【答案】（1）a=0，b=-2，c=1；（2）a=3，b=9 【分析】（1）根据甲正确地解得，代入原方程组，根据乙仅因抄错了题中的c，解得，代入第一个方程，三个方程组成方程组即可得到结果． （2）先将多项式展开后合并同类项，然后含x的二次项和一次项的系数为0，解得a，b的值． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：c=1， 把代入方程组中第一个方程得：， 联立得：， 解得：， 则a=0，b=-2，c=1； （2）原式=x3+ax2+bx-3x2-3ax-3b =x3+ax2-3x2-3ax+bx-3b =x3+（a-3）x2-（3a-b）x-3b 由题意可知：a-3=0，3a-b=0， ∴a=3，b=9． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 12．（21-22七年级下·河南南阳·阶段练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了6 (2) 【分析】（1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了6； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 13．（21-22七年级上·浙江·期末）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求的值． （2）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为．求原方程组的解． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值，代入其余的两个方程，得到关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，代入代数式求值即可． （2）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，求出a，b的值，再代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：（1）联立， 解得：， 把x，y的值代入其余的两个方程得：， 解得：， 则原式=（1-2）2020=（-1）2020=1． （2）将代入方程4x-by=1得b=5， 将代入方程ax+5y=-17得a=4， 将a=4，b=5代入原方程组得， 解此方程组得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值是解题的关键． 题型五 同解方程组的问题 14．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）关于，的二元一次方程组与的解相同，求、的值． 【答案】， 【分析】根据加减法，可得第二个方程组的解，根据方程组的解相同，可把第二个方程组的解代入第一个方程组，可得关于a、b的方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：解得， 由的二元一次方程组与的解相同，得 ， ①+②，得， 解得． 把代入①，得．解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组的解代入第一个方程组得出关于a、b的二元一次方程组是解题关键． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法． （1）根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可； （2）把（1）中所求的，分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：； （2）解：把（1）中所求的，分别代入和得：， 得：③， 得：， 把代入①得：， ． 16．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组： （1）将不含参数的两个方程组成新的方程组，进行求解即可； （2）把两个含参数的方程组成新的方程组，将（1）中的解代入，解关于参数的方程组即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴方程组的解也与方程组和有相同的解， 解，得：， ∴程组和的解为：； （2）联立，把代入，得： ，解得：． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 17．（22-23七年级下·浙江·期末）若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解分式方程，正确发现方程组与其解满足的等式之间的联系是解题关键． 根据已知的方程组求得，的值，将，的值代入关于的方程，进而可得答案． 【详解】解：， 得， ∴，把代入①得， ∴， 把代入得：， 解得， 经检验是方程的解， ∴ 18．（17-18八年级下·江西九江·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可； （2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据（1）的结论求出，再求出整数m即可． 本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】（1） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为： ∵关于x、y的方程组的解满足，． ∴， ∴； （2） 合并得， ∵不等式的解为 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵m为整数， ∴． 19．（2025七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的情况与方程系数的关系，解题的关键是理解当二元一次方程组有无数组解时，两个方程所代表的直线重合，即方程对应系数成比例． 先将第二个方程变形，使其的系数与第一个方程中的系数相同，再根据方程组有无数组解时两方程对应系数相等来求解． 【详解】解：∵方程组有无数组解， ∴两个方程应完全一样， 由整理得：， ∴， 解得：． 题型七 二元一次方程组与不等式综合 20．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 21．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式，解二元一次方程组求出x，y的值，再代入中得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 整理得 得：， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故a的取值范围为． 22．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知关于的方程组，若此方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，先求出，再根据即可求出． 【详解】解：， ①+②得，， ， ， ， ． 23．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的二元一次方程组（为常数）. (1)若该方程组的解、满足，求的取值范围； (2)若该方程组的解、均为正整数，且，直接写出该方程组的解. 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）将方程组变为，利用得，代入不等式，解不等式即可求解； （2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，得的值，进而求得方程组的解． 【详解】（1）解：二元一次方程组可变为：， 得：， ∵该方程组的解满足， ∴， 解得：； （2）解：二元一次方程组可变为：， 得： 解得， 将代入①得：， 解得：， ∵方程组的解均为正整数，且， ∴或或4或3， ∴或或或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键． 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 24．（22-23八年级上·广东茂名·期中）关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据运算定义可得：，解方程即可得到，则问题随之得解． 【详解】∵，， ∴根据运算定义可得：， 解得方程得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及定义新运算等知识，理解新运算的含义以及掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 25．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如．若，且，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用题中的新定义化简已知等式列出方程组，求出方程组的解即可求出所求． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ①②得：． 故选A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 26．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如；，则方程组的解为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及分类讨论的思想，先根据加减消元法解出，，然后再根据分类讨论，分别求出合适的a，b值即可． 【详解】解： ②，， 解得， 将代入①得：， 解得：， 当时，即当时，得， 解得：， 当时，即当时，得， 解得：（舍去） 当时，即当时，， 解得：， 当时，即当时，， 解得：， 综上：原方程组的解为：或， 故答案为：或． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 28．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)求的值； (2)若，，求和的值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据新定义运算：，直接运算即可； （2）根据新定义列出二元一次方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解：根据题中的新定义得： ， ， 根据题中的新定义化简得：， 解得：． 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 29．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案； （2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案； （3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数）， 则， ， ， 把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式， 可设（为常数）， 则， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，， 设， 则， ， ， ∴， ； （3）解：①根据题意得，时，， 把代入，得， ∴， ∴； ②根据题意得，和时， 把和代入得， ， 整理得：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，分别求和的值； (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 【答案】(1)11，5 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再计算出①②的结果，即可求解． 【详解】（1）解：， ①②可得：， ①②可得：； （2）解：∵， ∴， ①②可得：． 31．（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 32．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 题型十 二元一次方程组与实际问题 33．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ 【答案】原队列有1035人或270人或90人 【分析】本题考查的是因式分解的应用，二元一次方程组的解法；设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可； 【详解】解：设原队列有m人， 增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列. 根据题意得： ： ，解得， ∴； ，解得， ∴； ，解得， ∴； 综上所述，原队列有1035人或270人或90人； 34．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【答案】任务一：6；880；任务二：型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用； 任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解． 【详解】解：任务一：用型的消费券数量为：， 满减前至少消费（元）， 实际消费最少为（元）． 故答案为：6；880； 任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张， 由题意可得， 解得． 型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，， ①、型：． ， ，都是正整数，，， 无解； ②、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； ③、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； 综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小 35．（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接） 【答案】任务1：7；5；2；任务2：方法②方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根； 任务3： 至少需要的费用为元，剩余材料为20dm 【分析】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程． 任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠； 任务2：利用方法②与方法③列出方程组求解即可； 任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，再每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余），计算出a，b的值，最后用裁剪若干根的用料（可剩余）来补全即可． 【详解】解：任务1：（根） 方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪7根． （根）， 方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠5根． （根）， 方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠2根． 任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得： ，解得：． 答：方法②和方法③各裁剪6根与5根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料； 任务3：根据题意：需制作围栏：（副） 即的横杠：（根） 的竖杠：（根） 的竖杠：（根） 长的围栏材料无剩余裁剪时：，即， ， 为正整数， ， 长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料， 长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠， 需要长的围栏材料无剩余裁剪（根） 则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根） 还需要的竖杠（根） （根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根， 共需要长的围栏材料（根） 剩余材料为：， 至少所需要费用：（元）． 36．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 【答案】任务1：；任务2：这个矿泉水瓶的质量是10克；任务3：支撑点向左平移 【分析】二元一次方程组的应用； 任务1：依据题意，由左盘砝码质量右盘物体质量，进而列式计算可以得解； 任务2：依据题意，设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2可列方程组，计算即可得解； 任务3：依据题意，由左盘量码质量右盘物体质量，矿泉水瓶水的质量，可得，进而计算可以得解． 【详解】解：任务1： 左盘砝码质量右盘物体质量， 解得． 所以的长为． 任务2： 设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组： ， 解得． 答：这个矿泉水瓶的质量是10克． 任务3： 左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量， ． 解得：． ，所以支撑点向左平移． 37．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 38．（23-24七年级下·浙江·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 【答案】(1)文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本 (2)此次书店的总利润为480元 (3)此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用； （1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“共90本，销售额为2100元”列方程组，求解即可； （2）根据文学类书籍和科技类书籍的利润率都是，用总销售额乘以利润率即可得到总利润； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案． 【详解】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本， 由题意得：， 解得：， 答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本； （2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为， （元）， 答：此次书店的总利润为480元； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒， 由题意得：， 解得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本． 39．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）问题：探究什锦糖的混合比例 【基本信息】 糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 售价（元/千克） 30 20 12 进价（元/千克） 24 16 8 什锦糖的单价＝ 【样品实验】 （1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价； （2）甲种糖在40千克基础上减少千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加千克（， 为正整数），混合成什锦糖样品2，用含，的代数式表示样品2的单价； 【解决问题】 （3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比． （4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润． 【答案】（1）样品1的单价为21.6元/千克；（2）用含m，n的代数式表示样品2的单价元/千克；（3）满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比为38：30：37；（4）商店销售样品2的日利润为1984元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用， （1）根据什锦糖的单价计算公式计算即可； （2）根据什锦糖的单价计算公式计算即可； （3）根据题意列方程求解即可； （4）根据题意列式求解即可 【详解】（1）元/千克． （2）（元/千克） （3）由题意得： ∴． ∵，都是正整数， ∴， ， ∴什锦糖混合甲乙丙三种糖的质量比例为 （4）由题意得： ∴商店销售样品2的日利润为1984元． 40．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 【答案】(1)1500； (2)第二批能制成祛湿茶151包 (3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可； （2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可； （3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴购入茯苓的质量为； ， ∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为； （2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第二批能制成祛湿茶151包； （3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元， 由题意得， 解得， ∴， ∴， 答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元． 题型十一 三元一次方程组与实际问题 41．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 【答案】(1)甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元 (2) 【分析】（1）设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果，根据题意列方程即可推得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元， ， 解得， 故甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元； （2）解：设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果， 则， 整理得：． 整理得：， 故， 解得：， 故农场需租辆车才能运完． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程的应用，根据车辆运输的总质量和购买苹果的总售价进行列式求解是解题的关键． 42．（20-21七年级下·浙江金华·期末）某工厂的一条流水线匀速生产出产品，在有一些产品积压的情况下，经过试验，若安排9人包装，则5小时可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10小时才能包装完所有产品．假设每个人的包装速度一样，现要在2小时内完成产品包装的任务，问至少需要安排多少人？ 【答案】至少需要18人． 【分析】设原有产品为件，每个人的包装速度为件，每小时流水线的生产为件，根据“若安排9人包装，则5小时可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10小时才能包装完所有产品”，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可用含的代数式表示出，的值，设需要人2小时内完成产品包装的任务，利用工作数量工作效率工作时间，结合要在2小时内完成产品包装的任务，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设原有产品为件，每个人的包装速度为件，每小时流水线的生产为件， 依题意得：， 解得：． 设需要人2小时内完成产品包装的任务， 依题意得：， 解得：． 答：至少需要安排18人． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 43．（21-22七年级上·浙江·期末）现有三包杂拌糖，由甲、乙、丙三种水果糖按不同比例混合而成．第一包中含甲种水果糖和乙种水果糖，第二包中含乙种水果糖和丙种水果糖，第三包中含甲种水果糖、乙种水果糖和丙种水果糖．先从三包中各取适量杂拌糖，重新混合，得到1千克含丙种水果糖的杂拌糖． （1）试用新得到的杂拌糖中所含第一包杂拌糖的质量表示其中所含第二包杂拌糖的质量； （2）求新杂拌糖中所含第二包杂拌糖的质量范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别设所取的三包糖的质量为未知数，等量关系为：包含的第一包糖的质量+包含的第二包糖的质量+包含的第三包糖的质量=1；包含的第一包糖的质量×丙种水果糖的百分比+包含的第二包糖的质量×丙种水果糖的百分比+包含的第三包糖的质量×丙种水果糖的百分比=1×45%，设法消去包含的第三包糖的质量的未知数即可； （2）必用第二包，让所取的第一包的质量或第二包的质量为0得到第二包的最大值和最小值，范围在这两个值之间即可． 【详解】解：（1）设第一、二、三包分别取千克、千克、千克，则 ， 由②得，③， ①③，得， ； （2）由题意知，必用第二包， 如果不用第一包，即当时，有最小值为； 如果不用第三包，即当时，有最大值，此时，， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用及未知量的取值范围；根据糖的总千克数及丙种糖的总千克数的等量关系是解决本题的关键． $$专题01 二元一次方程组（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 题型二 图像法解二元一次方程 题型三 二元一次方程的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 同解方程组的问题 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 二元一次方程组与不等式综合 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 题型十 二元一次方程组与实际问题 题型十一 三元一次方程组与实际问题 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）解方程组： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）解下列方程（组）： (1) (2) (3)． 3．（22-23七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 4．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2)． 题型二 图像法解二元一次方程 5．（23-24七年级下·浙江台州·期中）阅读下列材料： 我们知道，二元一次方程有无数组解，若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象，记作直线． 请解答以下问题： (1)在所给的平面直角坐标系中描出点，并计算说明点A在方程的图象上； (2)在所给的平面直角坐标系中画出方程的图象； (3)若直线与（2）中的相交于点B，求点B的坐标； (4)结合坐标网格，直接写出，的长度． 6．（23-24七年级下·山东济宁·期末） (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 7．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）【再现课本】在第八章的数学活动中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．    【解决问题】 （1）已知，，，则点　　　　（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图中两个图象，它们的交点坐标为　　　　，由此得出二元一次方程组的解是　　　　． 【拓展延伸】 （3）已知点,在二元一次方程的图象上，试求a，b的值． （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M，当点M在第一象限时，请求出m的取值范围． 题型三 二元一次方程的特殊解法 8．（21-22七年级下·浙江·期末）（1）点点在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即 把方程①代入③得：，所以． 把代入①得，． 所以方程组的解为． 请你模仿点点的“整体代换”法解方程组． （2）表示一个两位数，其中为的整数．圆圆在研究平方的规律时发现： ． ． 猜想的结果，并说明理由． 9．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 10．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需___________元. (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么___________. 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 11．（20-21七年级下·浙江·期末）（1）已知甲、乙二人解关于的方程组，甲正确地解出，而乙把抄错了，结果解得，求的值． （2）已知的积中不含有的二次项和一次项，求的值． 12．（21-22七年级下·河南南阳·阶段练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 13．（21-22七年级上·浙江·期末）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求的值． （2）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为．求原方程组的解． 题型五 同解方程组的问题 14．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）关于，的二元一次方程组与的解相同，求、的值． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 16．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求和的值． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 17．（22-23七年级下·浙江·期末）若方程组的解满足方程，求的值． 18．（17-18八年级下·江西九江·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？ 19．（2025七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 题型七 二元一次方程组与不等式综合 20．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 21．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 22．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知关于的方程组，若此方程组的解满足，求的取值范围． 23．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的二元一次方程组（为常数）. (1)若该方程组的解、满足，求的取值范围； (2)若该方程组的解、均为正整数，且，直接写出该方程组的解. 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 24．（22-23八年级上·广东茂名·期中）关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 25．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如．若，且，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 26．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如；，则方程组的解为 ． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 28．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)求的值； (2)若，，求和的值． 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 29．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，分别求和的值； (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值． 31．（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 32．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 题型十 二元一次方程组与实际问题 33．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ 34．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 35．（23-24七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接） 36．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 37．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 38．（23-24七年级下·浙江·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 39．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）问题：探究什锦糖的混合比例 【基本信息】 糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 售价（元/千克） 30 20 12 进价（元/千克） 24 16 8 什锦糖的单价＝ 【样品实验】 （1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价； （2）甲种糖在40千克基础上减少千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加千克（， 为正整数），混合成什锦糖样品2，用含，的代数式表示样品2的单价； 【解决问题】 （3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比． （4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润． 40．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 题型十一 三元一次方程组与实际问题 41．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 42．（20-21七年级下·浙江金华·期末）某工厂的一条流水线匀速生产出产品，在有一些产品积压的情况下，经过试验，若安排9人包装，则5小时可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10小时才能包装完所有产品．假设每个人的包装速度一样，现要在2小时内完成产品包装的任务，问至少需要安排多少人？ 43．（21-22七年级上·浙江·期末）现有三包杂拌糖，由甲、乙、丙三种水果糖按不同比例混合而成．第一包中含甲种水果糖和乙种水果糖，第二包中含乙种水果糖和丙种水果糖，第三包中含甲种水果糖、乙种水果糖和丙种水果糖．先从三包中各取适量杂拌糖，重新混合，得到1千克含丙种水果糖的杂拌糖． （1）试用新得到的杂拌糖中所含第一包杂拌糖的质量表示其中所含第二包杂拌糖的质量； （2）求新杂拌糖中所含第二包杂拌糖的质量范围． $$