专题02 不等式与不等式组（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版五四制）

专题02 不等式与不等式组（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 解一元一次不等式（组） 题型二 求一元一次不等式（组）的整数解 题型三 解|x|≥a型不等式 题型四 与解一元一次不等式有关的新定义问题 题型五 求一元一次不等式的最值 题型六 解特殊不等式组 题型七 由一元一次不等式组的解集求参数 题型八 由不等式组解集的情况求参数 题型九 不等式组和方程组结合的问题 题型十 不等式（组）与实际问题 题型一 解一元一次不等式（组） 1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2），不等式组的整数解为、、 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可得； （2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的整数解即可得． 【详解】解：（1）， 不等式的两边同乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边同除以，得， 所以不等式的解集为． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的整数解为、、． 2．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解下列不等式（组）并将其解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析； 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1，再把解集表示在数轴上即可； （2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 将解集表示在数轴上，如图所示： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）解不等式：． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2）；表示在数轴上见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据不等式的性质先去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：； 表示在数轴上如图所示： ． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，以及熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”，是解题的关键． （1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据（1）（2）求出的解集在数轴上表示即可； （4）根据数轴即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解不等式①，去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解不等式②，去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （3）数轴表示如下： （4）由（3）可知： 不等式组的解集为：． 题型二 求一元一次不等式（组）的整数解 5．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）已知是不等式的一个解，如果m是整数，求m的最大值． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的整数解．根据不等式的解满足不等式，将代入不等式，求出的取值范围，进而求出m的最大值整数值即可． 【详解】解：把代入不等式，得：， ∴， ∴， ∴m的最大整数值为． 6．（22-23七年级下·山东烟台·期末）整式的值为 (1)当时，求的值； (2)若某个关于的不等式的解集如图所示，为该不等式的一个解，求的负整数值；    (3)关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入代数式解答即可； （2）根据题意可得不等式解不等式即可解答； （3）根据不等式组有两个整数解可知进而即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴由图可得：， ∴， ∴的负整数值为； （3）解：由题意得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组恰有两个整数解， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解分别是， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式组，一元一次不等式，熟练一元一次不等式组是解题的关键． 7．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）（1）计算： （2）解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】（1）；（2），数轴见解析，0，1，2 【分析】（1）先化简绝对值，求解立方根，再合并即可； （2）按照解不等式组的步骤，分别解出两个不等式，然后可以根据数轴得到公共解集，最后找出非负整数解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为：． 不等式组的非负整数解为0，1，2． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解；掌握相应的运算法则是解本题的关键． 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）解不等式组 (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)， 【分析】本题考查解一元一次不等式组并在数轴上表示不等式组的解集． （1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”的口诀确定不等式组的解集，再确定在解集范围内的整数解，最后在数轴上表示出不等式的解集即可 （2）根据不等组的解集写出所有整数解即可． 【详解】（1）解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集为： （2）这个不等式组的整数解为，． 题型三 解|x|≥a型不等式 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______的解集为______． (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，其中m是负整数，求m的值． 【答案】(1)；或 (2)m的值为 【分析】本题考查绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法、解一元一次不等式，（1）根据题意求解即可； （2）先将二元一次方程组的两方程求和可得，再代入，得到关于m的绝对值方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的解集为，的解集为或， 故答案为：，或； （2）解：∵， 由得，，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵m是负整数， ∴． 10．（23-24七年级下·山东威海·期末）【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，如图所示． 观察数轴发现，以点为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)请直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是______； ②的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集：______． 【答案】(1)①或；② (2)或； (3)或． 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：①根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； ②的解集是， 故答案为： （2）由得到， 根据绝对值的定义，当时，或,分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或,分界点把数轴分为三部分： 点的左边及本身的点表示的数的绝对值大于等于15； 点，之间的点表示的数的绝对值小于15； 点右边的点及本身的点表示的数的绝对值大于等于15． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案是：或．． 11．（23-24七年级下·山东滨州·期末）【阅读材料】课堂上，在学习不等式时，师生共同探究了含绝对值的不等式的解法，请仔细阅读，并解决问题． 解不等式∶ 解∶①当，即时，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得此时不等式的解集为 ②当，即时，原不等式可化为，此时不等式成立； ③当，即时，原不等式可化为，解得(依据) 此时不等式的解集为． 综上，该不等式的解集为． 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题∶ (1)上述解答过程中的“依据”是__________； (2)解不等式∶． 【答案】(1)不等式的基本性质 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，化简绝对值； （1）根据不等式的基本性质3可得答案； （2）分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去掉绝对值符号，再解不等式即可． 【详解】（1）解：上述解答过程中的“依据”是：不等式的基本性质． （2）解：①当，即时，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得； 此时不等式的解集为 ②当，即时，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得； 此时不等式的解集为， ③当，即时，原不等式可化为，此时不等式成立． 综上，不等式的解集为． 12．（21-22七年级下·山东烟台·期末）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为： 数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①可理解为___________________； ②请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是______________； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． (2)①不等式的解集是______________； ②不等式的解集是__________________； 【拓展探究】 (3)求不等式的解集． 【答案】(1)①数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；②0，1，−1 (2)①−5<x<5；②x⩾6或x⩽−6 (3)3⩽x⩽5 【分析】(1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：①由题意可知|a|>2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； ②使不等式|a|<2成立的整数a有0，1，−1， 故答案为：0，1，−1； （2）解：①根据题意可得|x|<5的解集为−5<x<5， 故答案为：−5<x<5； ②根据题意可求或， ∴x⩾6或x⩽−6， 故答案为：x⩾6或x⩽−6； （3）解：， ， 解得3⩽x⩽5， 故答案为：3⩽x⩽5． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． 题型四 与解一元一次不等式有关的新定义问题 13．（20-21七年级下·山东济南·期末）用*定义一种新运算，对于任意实数和，规定，如：． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）0；（2）． 【分析】（1）根据进行计算即可； （2）先求出，然后根据解不等式即可. 【详解】解：（1）； （2）∵ ∴ ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解题的关键在于能够读懂题意了解新定义的运算. 14．（21-22七年级下·安徽安庆·期中）在实数范围内定义一种新运算“★”其运算规则为，. (1)若，则_______． (2)求不等式的负整数解． 【答案】(1) (2)原不等式的负整数解是 【分析】（1）根据新定义可得方程再解方程可得答案； （2）根据新定义可得不等式：，再去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化“1”，解不等式即可. 【详解】（1）解： 整理得： 去括号得： 解得： 故答案为：8 （2）解：由题意得： 整理得： 去括号得： 解得： ∴原不等式的负整数解是 【点睛】本题考查的是新定义问题，同时考查一元一次方程的解法，解一元一次不等式，理解新定义列出方程与不等式是解本题的关键. 15．（21-22七年级下·山东济南·期末）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如（3，1）=1，[3，1]=3． (1)计算：； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) 【分析】（1）根据定义得出，表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据定义可得关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：根据新定义规则，，， ∴； （2）解：根据新定义规则，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则，一元一次不等式，有理数的大小比较，根据题中给出的定义理解与表示的意思是解答此题的关键． 16．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）根据公式直接解答； （2）结合公式可得，求解即可； （3）分两种情况：①，②，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：； （3）由题意可知分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得 综上，x的取值范围为或． 【点睛】此题考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是解题的关键，尤其需要注意不等式两边乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 题型五 求一元一次不等式的最值 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 18．（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 19．（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 20．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 题型六 解特殊不等式组 21．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 22．（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 24．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 题型七 由一元一次不等式组的解集求参数 25．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组只有5个整数解，求整数的值． 【答案】(1) (2)的整数解是4，5，6 【分析】（1）先求出不等式组的解集为，根据题意即可得出答案； （2）根据题意可得出不等式组的整数解是，0，1，2，3，进而得出，解得，即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组 得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得不等式组的解集为：， ∵不等式组只有5个整数解， ∴整数解是，0，1，2，3， 则， 解得：， m的整数解为4，5，6． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于m的不等式组． 26．（22-23七年级下·山东临沂·期末）若一元一次不等式（组）①的解都是一元一次不等式（组）②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，特别的，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”，不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”． 根据以上信息，解决下列问题： (1)________的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围； (3)若关于的不等式组被覆盖，试求的取值范围． 【答案】(1)是； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据“覆盖不等式”定义可得答案． （2）由是关于x的不等式的“覆盖不等式”，可得，． （3）解不等式组得，根据关于x的不等式组被覆盖，有，即可解得答案． 【详解】（1）∵满足必满足， ∴是的“覆盖不等式”， 故答案为：是． （2）∵是关于x的不等式的“覆盖不等式”，不等式的解集为， ∴， 解得． 所以m的取值范围是． （3）解：， 解不等式①，得：，. 解不等式②，得：x＞， ∵不等式组被覆盖， ∴或， 解得或， 所以a的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，涉及新定义，解题的关键是理解“覆盖不等式”的定义并能灵活运用． 27．（21-22七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于不等式组的解集为，求、的值． 【答案】 【分析】首先解不等式组利用和表示出不等式组的解集，然后根据不等是组的解集得到一个关于和的方程，解方程求解． 【详解】解:解不等式组得， 不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解定义，二元一次方程组，解此类题是要先用字母，表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组； （1）根据得，，得出，根据，即可求解； （2）先解不等式得出，根据不等式组的解集为，可得不等式的解集为．进而得出，结合（1）得结论，且为正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：． （2）解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴不等式的解集为． ∴，解得． 由（1）知， ∴，且m为正整数，故正整数m的值为1． 题型八 由不等式组解集的情况求参数 29．（23-24七年级下·山东东营·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． 【答案】5 【分析】根据解一元一次不等式组的解法和解二元一次方程组的方法，可以求的值，本题考查解一元一次不等式组、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法． 【详解】解：， ①②得，即， ①②得，即， 二元一次方程组解是正整数， ， 解得，， 或6， 时，，， 当时，不符合题意，舍去； ． 由不等式组得， 关于的不等式组有且仅有2个整数解， ， 解得，， 的值是5． 30．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键． 根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出a的取值范围，即可求解． 【详解】， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴ ∵所有整数解的和为14， ∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，， ∴或， ∴或， ∵a为整数， ∴或． 31．（2024·山东济南·模拟预测）关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，熟练掌握：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可解答． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∵恰有3个整数解， ∴， ∴． 题型九 不等式组和方程组结合的问题 32．（23-24七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的方程组 (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求的整数解； 【答案】(1) (2)1，2，3，4，5，6 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合应用； （1）利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步求解即可； （2）由，，再建立不等式组解题即可； 【详解】（1）解：， ②①得： ∴ 把代入①得： ∴解方程组为 （2）解：∵， ∴ 解得： ∴的整数解是：1，2，3，4，5，6 33．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知关于x、y的方程组 的解满足 ，，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解方程组，解不等式组，先求得方程组的解，结合已知构造不等式组，求解即可，熟练掌握解方程组，不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵， 整理得：， ②①得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由可得， 由可得， ∴． 34．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即的取值范围为． 35．（22-23七年级下·山东临沂·期末）是否存在整数m，使得方程组的解中，x为正数，y为负数？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由． 【答案】存在，m的值为3，理由见解析 【分析】先解方程组得到，再根据x为正数，y为负数求出m的取值范围，看是否有整数解即可． 【详解】解：存在，m的值为3，理由如下： ， 由①得：， 把③代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为， ∵x为正数，y为负数； ∴， 解不等式组得：． ∵m是整数， ∴m的值为3， ∴存在，m的值为3，使得方程组的解中，x为正数，y为负数． 【点睛】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，正确求出方程组的解是解题的关键． 题型十 不等式（组）与实际问题 36．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； (2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 37．（23-24七年级下·山东威海·期末）某校为增强学生体质，鼓励学生加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． (1)求购买根跳绳和个毽子需要多少元？ (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元．若要求购买跳绳的数量不多于根，通过计算说明共有哪几种购买方案． 【答案】(1)购买根跳绳和个毽子需要元 (2)共有三种购买方案，方案一：购买跳绳根，则购买毽子个；方案二：购买跳绳根，则购买毽子个；方案三：购买跳绳根，则购买毽子个 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，一元一次不等式组与实际问题，审清题意，找出数量关系和等量关系是解题的关键． （1）设购买根跳绳元，购买个毽子元，根据题意列方程解方程即可； （2）设购买跳绳根，则购买毽子个，根据题意列不等式组解不等式组即可． 【详解】（1）解：设购买根跳绳元，购买个毽子元， 由题意可得：， 解得， ∴（元）， 答：购买根跳绳和个毽子需要元； （2）解：设购买跳绳根，则购买毽子个， ∵购买的总费用不能超过元，要求购买跳绳的数量不多于根， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或， ∴共有三种购买方案， 方案一：购买跳绳根，则购买毽子个； 方案二：购买跳绳根，则购买毽子个； 方案三：购买跳绳根，则购买毽子个． 38．（22-23七年级下·山东烟台·期末）北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板．若购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；若购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元． (1)求购进A、B两种滑雪板的单价； (2)若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】(1)购进A种滑雪板的单价是100元，B种滑雪板的单价是200元； (2)该校共有5种购买方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进A种滑雪板的单价是x元，B种滑雪板的单价是y元，根据“购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购进m副A种滑雪板，则购进副B种滑雪板，根据“购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可求出m的取值范围，结合m，均为正整数，即可得出该校共有5种购买方案． 【详解】（1）设购进A种滑雪板的单价是x元，B种滑雪板的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进A种滑雪板的单价是100元，B种滑雪板的单价是200元； （2）设该校购进m副A种滑雪板，则购进副B种滑雪板， 根据题意得：， 解得：， 又∵均为正整数，且m必须为偶数， ∴m可以为， ∴该校共有5种购买方案． 39．（23-24七年级下·山东烟台·期末）为增强学生体质，丰富学生生活，学校决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． (1)若购买2个篮球和2个足球，共需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，学校有几种购买方案？ 【答案】(1)购买2个篮球和2个足球需要420元 (2)学校有4种购买方案， ①30个篮球，20个足球；②31个篮球，19个足球；③32个篮球，18个足球；④33个篮球，17个足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元”列出方程组，进一步求解即可得出答案； （2）设购买m个篮球，则购买个足球，根据“篮球不少于30个，且总费用不超过5500元”列不等式组求出m的范围，结合m为正整数可得答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 则（元）， 答：购买2个篮球和2个足球需要420元 （2）设购买m个篮球，则购买个足球， 根据题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可以为30，31，32，33， ∴学校有4种购买方案． ①30个篮球，20个足球；②31个篮球，19个足球；③32个篮球，18个足球；④33个篮球，17个足球 40．（23-24七年级下·山东德州·期末）某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ (3)若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元 (2)该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；其中方案③获利最大，最大利润是264元 (3)共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元； （2）有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；再分别求出每种方案的获利，比较即可求解； （3）设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根．根据将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，列二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元，由题意得： ，解得：， 答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元． （2）解：设购进乙种跳绳a根，则购进甲种跳绳根，根据题意得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴， 则=64，62，60， ∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 方案①：利润为（元）； 方案②：利润为（元）； 方案③：利润为（元）； ∵， 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；其中方案③获利最大，最大利润是元． （3）解：设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根． 根据题意可列方程： ∵m，n都是正整数 ∴或  ， 答：共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． $$专题02不等式与不等式组（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 解一元一次不等式（组） 题型二 求一元一次不等式（组）的整数解 题型三 解|x|≥a型不等式 题型四 与解一元一次不等式有关的新定义问题 题型五 求一元一次不等式的最值 题型六 解特殊不等式组 题型七 由一元一次不等式组的解集求参数 题型八 由不等式组解集的情况求参数 题型九 不等式组和方程组结合的问题 题型十 不等式（组）与实际问题 题型一 解一元一次不等式（组） 1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 2．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解下列不等式（组）并将其解集表示在数轴上． (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）（1）解不等式：． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 题型二 求一元一次不等式（组）的整数解 5．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）已知是不等式的一个解，如果m是整数，求m的最大值． 6．（22-23七年级下·山东烟台·期末）整式的值为 (1)当时，求的值； (2)若某个关于的不等式的解集如图所示，为该不等式的一个解，求的负整数值；    (3)关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围. 7．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）（1）计算： （2）解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）解不等式组 (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 题型三 解|x|≥a型不等式 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______的解集为______． (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，其中m是负整数，求m的值． 10．（23-24七年级下·山东威海·期末）【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，如图所示． 观察数轴发现，以点为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)请直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是______； ②的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集：______． 11．（23-24七年级下·山东滨州·期末）【阅读材料】课堂上，在学习不等式时，师生共同探究了含绝对值的不等式的解法，请仔细阅读，并解决问题． 解不等式∶ 解∶①当，即时，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得此时不等式的解集为 ②当，即时，原不等式可化为，此时不等式成立； ③当，即时，原不等式可化为，解得(依据) 此时不等式的解集为． 综上，该不等式的解集为． 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题∶ (1)上述解答过程中的“依据”是__________； (2)解不等式∶． 12．（21-22七年级下·山东烟台·期末）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为： 数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． (1)①可理解为___________________； ②请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是______________； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． (2)①不等式的解集是______________； ②不等式的解集是__________________； 【拓展探究】 (3)求不等式的解集． 题型四 与解一元一次不等式有关的新定义问题 13．（20-21七年级下·山东济南·期末）用*定义一种新运算，对于任意实数和，规定，如：． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 14．（21-22七年级下·安徽安庆·期中）在实数范围内定义一种新运算“★”其运算规则为，. (1)若，则_______． (2)求不等式的负整数解． 15．（21-22七年级下·山东济南·期末）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如（3，1）=1，[3，1]=3． (1)计算：； (2)若，求m的取值范围． 16．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 题型五 求一元一次不等式的最值 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 18．（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 19．（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 20．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 题型六 解特殊不等式组 21．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 22．（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 24．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 题型七 由一元一次不等式组的解集求参数 25．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组只有5个整数解，求整数的值． 26．（22-23七年级下·山东临沂·期末）若一元一次不等式（组）①的解都是一元一次不等式（组）②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，特别的，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”，不等式组无解，则其他任意不等式（组）都是它的“覆盖不等式”． 根据以上信息，解决下列问题： (1)________的“覆盖不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围； (3)若关于的不等式组被覆盖，试求的取值范围． 27．（21-22七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于不等式组的解集为，求、的值． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 题型八 由不等式组解集的情况求参数 29．（23-24七年级下·山东东营·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． 30．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值． 31．（2024·山东济南·模拟预测）关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围． 题型九 不等式组和方程组结合的问题 32．（23-24七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的方程组 (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求的整数解； 33．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知关于x、y的方程组 的解满足 ，，求m的取值范围． 34．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 35．（22-23七年级下·山东临沂·期末）是否存在整数m，使得方程组的解中，x为正数，y为负数？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由． 题型十 不等式（组）与实际问题 36．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 37．（23-24七年级下·山东威海·期末）某校为增强学生体质，鼓励学生加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． (1)求购买根跳绳和个毽子需要多少元？ (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元．若要求购买跳绳的数量不多于根，通过计算说明共有哪几种购买方案． 38．（22-23七年级下·山东烟台·期末）北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板．若购进A种滑雪板10副，B种滑雪板5副，需要2000元；若购进A种滑雪板5副，B种滑雪板3副，需要1100元． (1)求购进A、B两种滑雪板的单价； (2)若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进A种滑雪板的数量不少于B种滑雪板数量的6倍，且购进B种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？ 39．（23-24七年级下·山东烟台·期末）为增强学生体质，丰富学生生活，学校决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． (1)若购买2个篮球和2个足球，共需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，学校有几种购买方案？ 40．（23-24七年级下·山东德州·期末）某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ (3)若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． $$