精品解析：四川省江油中学2023-2024学年高二下学期入学检测数学试卷

四川省江油中学2022级高二下期入学检测 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法运算求出，再由可求出，即可得出答案. 【详解】因为，，则， 由可得：，解得：， 则. 故选：C. 2. 若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程. 【详解】由直线的一份方向向量，得的斜率， 又在轴上的截距为2，所以的方程为，即. 故选：A. 3. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长. 【详解】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为. 故选：B 4. 如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（ ）（结果精确到0.01） A. 4.96 B. 5.06 C. 4.26 D. 3.68 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案. 【详解】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米. 故选：A. 5. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题得， 所以到平面的距离为， 故选：C. 6. 已知圆：，过点作圆的切线，则切线长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到的距离与半径、切线长满足勾股定理，求出切线长即可． 【详解】圆：，即，圆心坐标，半径为3， 圆心到的距离为5，所以切线长为． 故选：B 7. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差（ ） A. 18.5 B. 19.2 C. 19.4 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可得. 【详解】总体样本平均数， . 故选：B. 8. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用三角形中位线性质，结合异面直线的定义求解即得. 【详解】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点， 而分别为的中点，则，， 因此或其补角是异面直线与所成的角， 在中，，则， 所以异面直线与所成角的大小是. 故选：C 二、多选题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，漏选得2分） 9. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得. 【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确； 对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 故选：AC. 10. 已知等差数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】代入可得；由可得. 【详解】令，则； ，公差. 故选：AD. 11. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ） A. B. C. 事件与不互斥 D. 事件与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用古典概率公式分别计算，，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 全部的基本事件有：，，，，，，，，， ，，共个， 事件发生包含的基本事件有：，有个， 事件发生包含的基本事件有：，，有3个， 所以，故A错误； 事件发生包含的基本事件：，，，有4个，， 事件发生包含的基本事件：有个，，故B正确； 事件发生包含的基本事件：，有2个，故事件与不互斥，故C正确； 事件发生包含的基本事件：有个，， 因为，所以与相互独立，故选项D正确； 故选：BCD. 12. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的面积为1 C. 直线的方程为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：根据椭圆方程求得，则离心率得解；对B：根据三角形面积公式以及点的坐标，则可求得结果；对C：利用点差法求得直线斜率，结合点坐标，即可求得直线方程；对D：联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，借助韦达定理，即可求得. 【详解】根据题意，作图如下： 对A：由题知，，则，所以离心率为，A正确； 对B：，B错误； 对C:设，， 则，，两式相减得， 因为为线段的中点，所以，，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 经检验符合题意，C正确； 对D：联立得，，； 所以，D错误. 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若直线：与直线：垂直，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于两直线垂直， 所以， 解得或. 故答案为：或 14. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解. 【详解】 过点作，且， 则四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 即为二面角的平面角，即， 在中，， 即， 又，，平面， 平面， 平面, ，， 在中，， 即， 故答案为：. 15. 如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】借助双曲线定义即可得. 【详解】由双曲线定义可得， 又为右支上一点，故， 即. 故答案为：2. 16. 已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求得，从而得解. 【详解】依题意，，设抛物线的准线为， 分别过点作，为垂足，则，如图， 则， 所以周长. 故答案为：. 四．解答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，又因为， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以． 18. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】（1），圆心坐标，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【小问1详解】 由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 【答案】（I）（II） 【解析】 【详解】试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案． 解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4）， ∴cos＜，＞== ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为=（x，y，z）， 则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，）， 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|= ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为： 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角． 20. 长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题： （1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率. 【答案】（1）平均分约为66.8；第71百分位数为75； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平均数定义计算出平均数，再判断出第71百分位数位于，设出未知数，得到方程，求出百分位数； （2）求出第5组和第6组的人数，利用列举法求解概率. 【小问1详解】 ， 所以本次考试成绩的平均分约为66.8； 因为成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 所以第71百分位数位于， 设其为，则， 解得，所以第71百分位数为75； 【小问2详解】 第5组的人数为：人，可记为，，，； 第6组的人数为：人，可记为，，； 则从中任取2人，有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，共21种情况， 其中至少有1人成绩优秀的情况有，，，，，， ，，，，，，，，共15种情况. 所以至少有1人成绩优秀的概率. 21. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码.已知他们能破译该密码的概率分别是. （1）求三人都成功破译该密码的概率； （2）求恰有一人成功破译该密码的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件独立性的概率公式进行求解； （2）分三种情况，求出概率相加即可. 【小问1详解】 三人都成功破译该密码的概率为； 【小问2详解】 只有甲成功破译该密码的概率为， 只有乙成功破译该密码的概率为， 只有丙成功破译该密码的概率为， 故恰有一人成功破译该密码的概率为. 22. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明如下： 设， 由于该直线斜率不为0，可设， 联立方程和，得， 恒成立，根据韦达定理可知， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式，即可利用待定系数法求椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示，即可求解的值. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 可得，所以， 又点在该椭圆上，所以，所以， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油中学2022级高二下期入学检测 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. 4 2. 若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（ ）（结果精确到0.01） A. 4.96 B. 5.06 C. 4.26 D. 3.68 5. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 6. 已知圆：，过点作圆的切线，则切线长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差（ ） A. 18.5 B. 19.2 C. 19.4 D. 20 8. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，漏选得2分） 9. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 11. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ） A. B. C. 事件与不互斥 D. 事件与相互独立 12. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的面积为1 C. 直线的方程为 D. 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若直线：与直线：垂直，则实数的值为______． 14. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 15. 如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为______. 16. 已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为______． 四．解答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； 18. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 20. 长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题： （1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率. 21. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码.已知他们能破译该密码的概率分别是. （1）求三人都成功破译该密码的概率； （2）求恰有一人成功破译该密码的概率. 22. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $