高二数学期末模拟卷（江苏专用，苏教版2019选择性必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.60 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B． ，， C．，， D．，， 2．若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 3．先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 4．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 5．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 6．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有120种 B．甲从必须经过到达处的方法有36种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 7．已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．第二次取到3号球的概率为 B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若，若函数为偶函数，则 B．数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C．已知，，若，则，相互独立 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 10．设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A．A，B相互独立 B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值当 D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 13．已知某地居民中青少年､中年人､老年人暑期去河北秦皇岛旅游的概率分别为，且该地居民中青少年､中年人､老年人的人数比例为，若从该地居民（仅指青少年､中年人､老年人）中任选一人，则此人暑期去秦皇岛旅游的概率为 . 14．不透明的盒子中装有大小质地相同的4个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球次后游戏结束的概率记为，则 ；游戏结束后，总得分记为，则的数学期望 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． (1)求和n的值； (2)当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．（15分）光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 (1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ (2)如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取，，，．若，则，，． ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 18．（17分）正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设. (1)求证：无论取何值，与不可能垂直； (2)当时，求四棱锥的体积； (3)设二面角的大小为，当时，求的值. 19．（17分）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A B D C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．0.147 14．；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以， 2 因为二项式，展开式的通项公式为（且）， 所以第项，第项，第项的系数分别为，，， 4 由，又，所以，解得或． 6 （2）因为，所以． 7 当时，． 因为 ， 10 且恰好能被整除，所以，． 因为，所以的最小值为． 13 16．（15分） 【详解】（1）在梯形中，过点作于点． 由已知可知， ． 所以，即，① 2分 因为平面，平面，所以，② 4分 由①②及，平面，得平面． 6分 又由平面，所以平面平面． 7分 （2）因为两两垂直，所以以为原点， 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 8分    可得． 设平面的法向量为， 则，取，则，则． 10分 平面的一个法向量为， 12分 所以， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 15分 17．（15分） 【详解】（1）由题意可得：列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 3分 零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关， 可得， 5分 依据小概率值的独立性检验，可以推断成立， 即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. 7分 （2）由题意可得，物理成绩的平均分为（分）； 方差， 10分 结合题意可知：，即，则， 可得， 13分 记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，则为“人物理成绩的等第都是非优秀”， 故， 所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为. 15分 18．（17分） 【详解】（1）假设，又因为正方形的边长为， 且是线段的中点，所以，所以，又因为， 有，所以， 2分 因为，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 4分 又因为，所以，这与矛盾，所以假设不成立， 所以无论取何值，与不可能垂直. 5分 （2）过D作于点， 因为，所以平面， 又平面，所以， 7分 又面， 平面，则， 所以. 10分 （3）由题可得，分别以为轴，过点垂直平面向上为轴，建立空间直角坐标系， 11分 所以， ， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，可得， 13分 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，可得 15分 又，则，又，所以 所以， 整理得到，又，解得. 17分 19．（17分） 【详解】（1）“机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； 3分 （2）依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， 6分 “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； 8分 （3）“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 9分 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 10分 所以， 则， 12分 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 14分 所以 ， 即. 17分 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.60 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B． ，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】对于A，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B 2．若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】由题意，， 则.故选：A. 3．先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【详解】由题可知，， 先后投掷两枚质地均匀的骰子的所有结果有： ，共36种. 两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3的结果有： ，共24种. 两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数的结果有： ，共9种. 所以，. 事件包含的结果有：共4种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 所以，，，， 因为，，，． 所以与相互独立，A正确，BCD错误. 故选：A． 4．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故B正确； ，故D错误； ，故C错误. 故选：B. 5．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 【答案】D 【详解】由题意，两边取自然对数得， 令，则． ，， ∵回归直线必过样本点的中心，∴， 得，∴，则． 当时，． 故选：D. 6．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有120种 B．甲从必须经过到达处的方法有36种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 【答案】C 【详解】A项，甲从到达处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从到达处的方法有种，A项错误. B项，甲经过到达处，可分为两步：第一步，甲从经过需要走3步，其中2步向右走，1步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到处需要走3步，其中2步向上走，1步向右走，方法数为种, 故甲经过到达处的方法数为种，B项错误. C项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， 所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种， 故甲、乙两人在处相遇的概率为，C项正确. D项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在，，，处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处， 则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种； 若甲、乙两人在处相遇，由C项可知走法种数为81种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处， 前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处， 则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种. 故甲、乙两人相遇的概率为，D项错误. 故选：C. 7．已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．第二次取到3号球的概率为 B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 【答案】C 【详解】选项A： 设为“第1次在1号口袋中取号球”，为“第二次取号球” 则 ， 故A选项正确. 选项B： 设为“第二次取号球”，则 ， 故，， ， 所以则它来自1号口袋的概率最大，B选项正确. 选项C：，所以C选项错误. 选项D： 将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个， 先将个球分成组，有，，三种分法. 对于，有种方法； 对于，有种方法； 对于，有种方法. 所以不同的分配方法共有种，D选项正确. 故选：C 8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若，若函数为偶函数，则 B．数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C．已知，，若，则，相互独立 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 【答案】ACD 【详解】对A：因为为偶函数，即， 可得：，故可得，故A正确； 对B：将个数据按照从小到大的顺序排序：2，3，5，6，7，8，9，10， 故，故上四分位数为，故B错误； 对C：根据题意，，即， 即，故相互独立，C正确； 对D：，根据独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确. 故选：. 10．设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A．A，B相互独立 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，，所以，， 因为， 所以，即，所以A，B相互独立，故A正确； 所以，故B错误； 因为A，B相互独立，所以，相互独立，，B相互独立，A，相互独立， 所以 ，故C正确； 因为， ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值当 D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 【答案】AD 【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设，则点坐标为； 对A：设平面的法向量为，， 则，即，取，解得，故； 又，， 考虑到，则，故， 故一定是异面直线，A正确； 对B：，， 若，则，即， 解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误； 对C： ，取平面的法向量， 则， 设直线与平面的夹角为 则，则， ，又，故， 即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误； 对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大. 此时过的截面经过对称中心， 设截面交于中点，也为中点， 所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大， 取的中点为，连接，如下所示： 故此时截面为正六边形， 其面积，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【详解】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 13．已知某地居民中青少年､中年人､老年人暑期去河北秦皇岛旅游的概率分别为，且该地居民中青少年､中年人､老年人的人数比例为，若从该地居民（仅指青少年､中年人､老年人）中任选一人，则此人暑期去秦皇岛旅游的概率为 . 【答案】0.147/ 【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为，显然，且两两互斥， 记任选一人去桂林旅游的事件为，则， , 由全概率公式得. 故答案为：0.147 14．不透明的盒子中装有大小质地相同的4个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球次后游戏结束的概率记为，则 ；游戏结束后，总得分记为，则的数学期望 ． 【答案】 【详解】； 的可能取值为，且， 则， 则， 则， 则 ， 即， 又，故. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． (1)求和n的值； (2)当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值． 【详解】（1）因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以， 2 因为二项式，展开式的通项公式为（且）， 所以第项，第项，第项的系数分别为，，， 4 由，又，所以，解得或． 6 （2）因为，所以． 7 当时，． 因为 ， 10 且恰好能被整除，所以，． 因为，所以的最小值为． 13 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【详解】（1）在梯形中，过点作于点． 由已知可知， ． 所以，即，① 2分 因为平面，平面，所以，② 4分 由①②及，平面，得平面． 6分 又由平面，所以平面平面． 7分 （2）因为两两垂直，所以以为原点， 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 8分    可得． 设平面的法向量为， 则，取，则，则． 10分 平面的一个法向量为， 12分 所以， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 15分 17．（15分）光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 (1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ (2)如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取，，，．若，则，，． ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【详解】（1）由题意可得：列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 3分 零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关， 可得， 5分 依据小概率值的独立性检验，可以推断成立， 即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. 7分 （2）由题意可得，物理成绩的平均分为（分）； 方差， 10分 结合题意可知：，即，则， 可得， 13分 记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，则为“人物理成绩的等第都是非优秀”， 故， 所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为. 15分 18．（17分）正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设. (1)求证：无论取何值，与不可能垂直； (2)当时，求四棱锥的体积； (3)设二面角的大小为，当时，求的值. 【详解】（1）假设，又因为正方形的边长为， 且是线段的中点，所以，所以，又因为， 有，所以， 2分 因为，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 4分 又因为，所以，这与矛盾，所以假设不成立， 所以无论取何值，与不可能垂直. 5分 （2）过D作于点， 因为，所以平面， 又平面，所以， 7分 又面， 平面，则， 所以. 10分 （3）由题可得，分别以为轴，过点垂直平面向上为轴，建立空间直角坐标系， 11分 所以， ， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，可得， 13分 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，可得 15分 又，则，又，所以 所以， 整理得到，又，解得. 17分 19．（17分）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【详解】（1）“机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； 3分 （2）依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， 6分 “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； 8分 （3）“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 9分 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 10分 所以， 则， 12分 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 14分 所以 ， 即. 17分 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．_________，___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.60 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B． ，， C．，， D．，， 2．若，则（   ） A．10 B． C．5 D． 3．先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 4．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 5．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 6．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有120种 B．甲从必须经过到达处的方法有36种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 7．已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．第二次取到3号球的概率为 B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若，若函数为偶函数，则 B．数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C．已知，，若，则，相互独立 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 10．设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A．A，B相互独立 B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值当 D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 13．已知某地居民中青少年､中年人､老年人暑期去河北秦皇岛旅游的概率分别为，且该地居民中青少年､中年人､老年人的人数比例为，若从该地居民（仅指青少年､中年人､老年人）中任选一人，则此人暑期去秦皇岛旅游的概率为 . 14．不透明的盒子中装有大小质地相同的4个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球次后游戏结束的概率记为，则 ；游戏结束后，总得分记为，则的数学期望 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． (1)求和n的值； (2)当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．（15分）光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 (1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ (2)如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取，，，．若，则，，． ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 18．（17分）正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设. (1)求证：无论取何值，与不可能垂直； (2)当时，求四棱锥的体积； (3)设二面角的大小为，当时，求的值. 19．（17分）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．_________，___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$