突破解答题04 突破解答题（精选名校最新模拟基础题4组20题）-冲刺2025年高考数学提分宝典（新高考通用）

冲刺2025年高考数学分题型专项突破 突破解答题（基础回扣题） （题组1） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求． 2．（2025·江西新余·模拟预测）某生鲜超市进了一批苹果，在运输过程中避免不了颠簸磕碰，有些苹果会产生“磕伤”，该超市为了保证这些苹果短时间内不出现腐烂，将这些苹果装盒，每盒个，低于市价销售，根据以往经验，每箱含有，，个“磕伤”苹果的概率分别为，，．现有一顾客到该店来买走三盒这种苹果，回家打开包装盒将苹果分类，完好无损的放入冰箱冷藏，有“磕伤”处理后尽快食用． (1)求该顾客将个苹果放入冰箱冷藏的概率； (2)设有“磕伤”的苹果个数为，求的分布列及期望． 3．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 4．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交椭圆C于M，N两点（均异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 5．（2025·广东中山·模拟预测）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）： (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围： (3)求的最小值． （题组2） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 2．（2025·四川凉山·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气． (1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计 男性 60 40 100 女性 45 55 100 合计 105 95 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？ (2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为． （ⅰ）计算，，并求的通项公式； （ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2025·浙江温州·三模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点在边上，且，求的周长． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 5．（2025·湖北武汉·三模）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围． （题组3） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若，求函数的单调区间. 3．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 4．（2025·福建南平·三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，过的焦点且垂直于轴的弦长为2. (1)求的方程； (2)过点作斜率之积为1的两条不同的直线，若交于两点，交于两点，为的中点，直线与交于点. ①证明：为的中点； ②求面积的最大值. 5．（2025·浙江·三模）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． （题组4） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·浙江·三模）已知在中，角A，B，C所对的边记为a，b，c，设其外心为O.若. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 (1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率； (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择， 方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价/（元/件） 24 22 18 从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 3．（2025·湖北武汉·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，， (1)证明：平面； (2)求的长； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 4．（2025·河北·二模）已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质. (1)已知，，判断数列，是否具有性质； (2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数； (3)若，求具有性质的数列的个数. 5．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程. (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P. （i）证明：直线过定点. （ii）记直线过的定点为Q，过点N作直线的垂线，垂足为H，试问是否存在最小值?若存在，求最小值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冲刺2025年高考数学分题型专项突破 突破解答题（基础回扣题） （题组1） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）利用（1）中结论，得，再利用裂项相消法求和可得结果. 【详解】（1）由，得 当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即， 因为，所以， 而也满足， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故， . 2．（2025·江西新余·模拟预测）某生鲜超市进了一批苹果，在运输过程中避免不了颠簸磕碰，有些苹果会产生“磕伤”，该超市为了保证这些苹果短时间内不出现腐烂，将这些苹果装盒，每盒个，低于市价销售，根据以往经验，每箱含有，，个“磕伤”苹果的概率分别为，，．现有一顾客到该店来买走三盒这种苹果，回家打开包装盒将苹果分类，完好无损的放入冰箱冷藏，有“磕伤”处理后尽快食用． (1)求该顾客将个苹果放入冰箱冷藏的概率； (2)设有“磕伤”的苹果个数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由已知顾客将个苹果放入冰箱冷藏，即共有个“磕伤”苹果，分情况讨论个苹果是来自同一箱和不同箱的概率，根据加法公式可得解； （2）分情况讨论，根据古典概型的概率公式直接可得概率，即可得分布列与期望. 【详解】（1）设事件“将个苹果放入冰箱”，由题意该顾客恰好买到个“磕伤”的苹果， 这个苹果来自一个盒的概率为， 这2个苹果来自两个盒的概率为， 所以； （2）由题意可知：可取，，，，，，， 所以， ， ， ， ， ， 综上，的分布列如下： 所以的期望 . 3．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． (1)若，求证：； (2)若面与面的夹角余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用梯形去证明底面上的垂直关系，从而可得线面垂直，再证明线线垂直即可； （2）利用恰当建系，设两个未知点的坐标，通过模长和垂直建立相等关系，再通过二面角夹角的大小再建立一个相等关系，从而通过方程组思想来求解即可. 【详解】（1）由，知 ， 由，结合余弦定理得， 则，所以， 又因为，即，又由平面， 所以平面，又因为平面，所以， （2） 以B为原点，以平面为平面，建立如图所示得空间直角坐标系， 有，设，， 可得， 由，两式消元可得， 再由， 再由， 设面PBC法向量为， 则， 令，则，，则， 而平面BCD法向量为， 由, 整理得：， 代入可得， 再与联立解得：或， 当时，代入 当时，代入，所以此时不成立，则舍去， 综上可得. 4．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交椭圆C于M，N两点（均异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过点，得到，再由离心率为求解； （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立，由，然后根据韦达定理法求解；当直线的斜率不存在时，设直线方程为，设，由求解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，又离心率为，即，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）如图所示：    当直线的斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程，消去y得：， 设，由韦达定理得， 则， 即， 将韦达定理代入得：， 化简整理，因式分解得， 当，即，直线过定点，不符合题意； 当，即，直线方程， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得， 设， 则， 即，将代入，化简得， 解得或（舍去），所以直线过定点， 综上：直线过定点. 5．（2025·广东中山·模拟预测）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）： (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围： (3)求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)0 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在内单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出. 【详解】（1）平方关系：； 和角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系， ； ， 和角公式： 故； 导数：，； （2）构造函数，，由（1）可知， i．当时，由可知， 故，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ii．当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数a的取值范围为． （3），， 令，则， 令，则， 当时，由（2）可知，，则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0. （题组2） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 2．（2025·四川凉山·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气． (1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计 男性 60 40 100 女性 45 55 100 合计 105 95 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？ (2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为． （ⅰ）计算，，并求的通项公式； （ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)喜爱排球运动与性别无关 (2)（ⅰ），，；（ⅱ） 【分析】（1）用独立性检验的方法求解即可.（2）（ⅰ）构造是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可（ⅱ）构造是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可. 【详解】（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关． 根据列联表数据，经计算得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关. （2）（ⅰ）由题意，， 且时， 所以 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即 （ⅱ）由题意，， 且时， 所以 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 则， 即 3．（2025·浙江温州·三模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点在边上，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，再应用得出，即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． （2）在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 5．（2025·湖北武汉·三模）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是. (2) 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （2）可通过分离参数，构造新函数，利用导数研究新函数的最值来求解. 【详解】（1）已知，当时，，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，所以，则在上单调递减. 当时，，所以，则在上单调递增. 综上所得，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）当时，，即，移项可得. 当时，，此时可以取任意实数. 当时，可化为， 令，对求导，可得. 令，即，因为，，所以，解得. 当时，，所以，在上单调递减. 当时，，所以，在上单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值，. 所以，解得. 实数的取值范围是. （题组3） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)函数的单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即， 所以； （2）由于的定义域为， 当时，单调增；当单调减， 故函数的单调增区间为，单调减区间为. 3．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）连接，由已知得出四边形为梯形，则与相交，再根据点线面的关系即可证明； （2）以为原点，，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，由线面夹角的向量公式列出方程即可求解． 【详解】（1）连接，因为，所以，， 所以， 因为分别是棱上异于端点的点， 所以，故四边形为梯形，故与相交， 记， 因为平面平面，平面平面， 所以，即与的交点在直线上． （2）因为是正方体，所以以为原点，，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 所以， 设为平面的法向量， 由，可得， 令，得，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，又， 解得，故当直线与平面所成角的正弦值为时，． 4．（2025·福建南平·三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，过的焦点且垂直于轴的弦长为2. (1)求的方程； (2)过点作斜率之积为1的两条不同的直线，若交于两点，交于两点，为的中点，直线与交于点. ①证明：为的中点； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）对于椭圆方程，根据椭圆的性质和已知条件可确定、的值； （2）①在证明中点问题时，利用直线与椭圆联立方程，结合韦达定理求出中点坐标；②先表示出三角形面积的表达式，再通过换元，结合基本不等式和函数的方法求解. 【详解】（1）已知椭圆的右顶点为，根据椭圆的性质，右顶点坐标为，所以. 过椭圆的焦点且垂直于轴的弦长为，不妨设焦点为， 将代入椭圆方程，可得，即，那么弦长为. 把代入，可得. 所以椭圆的方程为. （2）①根据条件知道，两直线斜率存在且不为. 设直线方程，， 与椭圆联立，消去得到关于的一元二次方程. 根据韦达定理，可得，. 因为是AB中点，所以，，即. 同理可得CD中点. 联立直线MT与直线CD方程，解得交点坐标为，与点坐标相同，所以为CD中点.   ②已知，的面积，则. 对其化简： 先通分. 分子分母同时除以得， 因为，所以.   令，则. 根据基本不等式，对于，有，所以. 当且仅当，即，时，的面积取最大值. 5．（2025·浙江·三模）固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%；（ⅱ）不合格，理由见解析 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）由题意，，（i）根据正态分布的对称性求概率即可；（ii）算出，然后由即可判断. 【详解】（1）由题，①， ②， 由①②解得，． （2）由题，，， （ⅰ）因为 ； ， 所以一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%． （ⅱ）不合格．理由如下： 由题，， 所以， 又，， 故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格． （题组4） （限时时间：80分钟 试卷满分：77分） 1．（2025·浙江·三模）已知在中，角A，B，C所对的边记为a，b，c，设其外心为O.若. (1)求角A的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理可求解. （2）由正弦定理的意义（R为的外接圆半径），，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】（1），， 由正弦定理得，，由于A，B，， 因此（舍去）或， 即， 又，故. （2）因为O是的外心，所以（R为外接圆半径）， ， . 所以. 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 (1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率； (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择， 方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价/（元/件） 24 22 18 从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，（件） (2) (3)应该选择方案一，理由见解析 【分析】（1）先采取分层抽样确定10件产品中一等品和非一等品的数数量，再根据超几何分布求随机变量的分布列及期望即可. （2）根据题意可确定每次抽到三等品的概率为，利用二项分布计算独立重复试验的概率即可. （3）根据题意求得方案二的期望与方案一比较即可判断. 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 （件） （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到三等品的数量为，则， 所以. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， 因为， 所以从采购商小李的角度考虑，应该选择方案一. 3．（2025·湖北武汉·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，， (1)证明：平面； (2)求的长； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合题意即可得证； （2）先由余弦定理求出，取的中点，连接，，然后由已知条件结合勾股定理即可得解； （3）由（2），以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后由向量法即可得解． 【详解】（1）证明：因为，所以四边形是菱形， 所以，又，且， 所以，因为，平面，平面， 所以平面； （2）在△中，由，，， 所以， 如图，取的中点，连接，， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为，，，平面， 且，所以平面， 因为平面，所以因为的中点为， 所以，在△和△中，可知， 在△中，可知， 因为，所以， 解得：； （3）由（2），以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 4．（2025·河北·二模）已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质. (1)已知，，判断数列，是否具有性质； (2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数； (3)若，求具有性质的数列的个数. 【答案】(1)数列具有性质；数列不具有性质 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据数列具有性质的定义即可求解. （2）设数列的公差为，由题意知存在，同理存在，两式相减，根据等差数列的定义即可得证. （3）由题意结合（2）知数列的各项均为整数，所以为整数.首先证明为正整数，其次证明为的约数，从而即可得解. 【详解】（1），，即，所以数列具有性质. ，令，则，不符合，则不具有性质. （2）设数列的公差为，因为数列具有性质，所以存在， 同理存在，两式相减得， 即，因为，所以.所以的各项均为整数. （3）由（2）可知，数列的各项均为整数，所以为整数. 假设为负整数，则为递减数列，所以中各项最大值为， 由题意，中存在某项，且，所以， 而数列中存在，则，与题意相矛盾，所以不是负整数，为正整数. 由得，， 所以， 所以为整数，即为的约数. 由为正整数，所以为的正约数， ，所以的正约数共有个，则，具有性质的数列的个数为. 5．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程. (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P. （i）证明：直线过定点. （ii）记直线过的定点为Q，过点N作直线的垂线，垂足为H，试问是否存在最小值?若存在，求最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）求曲线方程：根据已知条件列出关于、的方程组，解方程组得出、的值，进而得到曲线方程. （2）（i）证明直线PM过定点：先设直线方程，与曲线方程联立，用韦达定理得到和的值.再写出直线PM方程，化简后求出的值为，从而得出直线PM过定点. （ii）求情况：利用向量关系转化，结合韦达定理化简式子，得到，分析时情况，发现此时直线斜率不存在，所以无最小值. 【详解】（1）依题意可得 解得，， 故C的方程为. （2）（i）如图： 依题意可设直线的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线的方程为， 即， . 则直线的方程为，故直线过定点. （ii）. 因为，所以， 所以 ， 当时，取得最小值，但此时的斜率不存在，故不存在最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$