期末复习押题汇编-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

期末复习押题汇编 一、单选题 1．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定方法是解题的关键； 根据三角形的中位线定理可得，进而可得，即可得出四边形是平行四边形，结合可得，得到四边形是菱形，即得答案． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形边、、、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形； 故选：B． 2．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象写出不等式的解集，能够根据图象找出函数的交点坐标并选取正确的部分是解题的关键．先求得结合两函数图象，在点P的右边的图象都低于的图象，故应选择点P左边的部分，即可写出解集． 【详解】解：将 得 解得：， ∴ 根据函数图象可得：不等式的解集是, 故选：C． 3．如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据矩形的性质可得，根据，可得，进而根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将沿所在直线折叠， ∴， 故选：A． 4．如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的意义；设，根据题意以及勾股定理可得，，根据完全平方公式变形可得，代入数据求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设 依题意，， ∴ ∴ ∴ 直角的面积为， 故选：A． 5．2024年9月5日－6日，“行走大运河”中国辉煌足迹大运河龙舟系列活动（河南郑州站）暨郑州市第十二届运动会全民健身组龙舟比赛在郑州市郑东新区北龙湖举行，其中甲、乙两队在500米的赛道上划行的路程与时间之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（    ） ①甲队比乙队晚到达终点； ②当乙队划行时，仍在甲队后面； ③当乙队划行时，已经超过甲队； ④后，甲队比乙队每分钟慢． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了从函数图象获取信息，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义逐项分析即可． 【详解】解：①由横坐标看出乙队比甲队提前到达终点，此结论正确； ②由图象可得，当划行的路程为时，乙用的时间较多，所以当乙队划行时，仍在甲队后面，此结论正确； ③因为函数图象交于点，所以两队在时划行的路程都是，即当乙队划行时，此时正好追上甲队，此结论错误； ④后，乙的速度是；甲的速度是，所以甲队比乙队每分钟慢，此结论错误； 故选：B． 6．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为 ， ∴两直线与轴交点间的距离 ． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故选D． 7．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第2个数是第30个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第2个数是， 故选：D． 8．图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图像， 分和两种情况分别确定函数图像所在象限，再判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一，二，三象限，正比例函数经过第二，四象限； 当时，一次函数的图像经过第二，三，四象限，正比例函数经过第一，三象限， 所以C符合题意． 故选：C． 9．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（   ） ①两城相距600千米； ②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时； ③乙车出发后5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． A．3个 B．4个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标． 由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得可得出答案． 【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为10小时，而乙是在甲出发2小时后出发的，且用时6小时， 即比甲早到2小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把)代入可求得， ∴， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得 ， 解得， ∴， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误； 由题意可知，乙出发前甲、乙两地相距50千米时， 则， 解得， 当乙追上甲后，令，， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或或，故④错误． 综上可知正确的有①②，共2个． 故选：C． 10．如图是第九届亚冬会期间热销的一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带A总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．对该单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度为，单层部分的长度为，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 … 单层部分长度 116 108 100 92 … 则与之间的关系式为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了表格表示函数关系式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，由表格数据可知，y与x成一次函数关系，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：由表格数据可知，双层部分的长度每增加，单层部分的长度就减少，因此y与x成一次函数关系， 设，把，，把，代入得： ， 解得： ∴y与x的函数表达式为． 故选：C． 11．如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在直线的上方，即， 所以不等式的解集为． 故选：A． 12．如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作 ，从而可得 ，进而可得的面积的面积，然后再根据作 ，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．根据菱形的性质得出，，，求出，根据求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故选：B． 14．如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，分别为的中点，连接，则长度的最大值为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．5 【答案】D 【分析】连接，证明是的中位线，则，根据题意得到当点M与点B重合时，最大，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点，分别在边，上， ∴当点M与点B重合时，最大， ∵ ∴此时， ∴长度的最大值为， 故选：D． 15．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 16．如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，找出边长的规律是关键． 根据题意，正方形的边长为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵点是正方形边的中点， ∴，， 同理，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则 ∴正方形的边长为， 同理，是等腰直角三角形， ∴，则， ∴正方形的边长为， ， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 故选：B ． 17．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出①正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出②正确；当为等腰直角三角形时，，但不一定等于，∴平行四边形不一定是正方形，③不正确． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， 又∵； ∴， 平行四边形为矩形，选项①正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项②正确； 当为等腰直角三角形时， ∴平行四边形为矩形，但平行四边形不一定是正方形，选项③错误， 则其中正确的是①②． 故选：A． 18．如图，一次函数均为常数，且与的图象相交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．把代入求出m的值即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴ ， ∴， ∵次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． 故选|D． 19．两条直线 与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题.本题考查是两条直线相交问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：A、当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、四象限，故该选项不符合题意； B、当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、三象限，故该选项不符合题意； C、当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、四象限，故该选项符合题意； D、当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第二、三、四象限，故该选项不符合题意； 故选：C 二、填空题 20．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 21．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图，菱形的边长为5，点是对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，两点间线段最短等知识，利用菱形的对称性是解题的关键；取的中点E，连接，由菱形的对称性知，；由，当点P在线段上时，的值最小，最小值为线段的长，利用平行四边形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接； 由菱形的对称性知，； ∵， ∴当点P在线段上时，的值最小，最小值为线段的长； ∵E、N分别为的中点， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即的最小值为5； 故答案为：5． 23．已知A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（h）的关系，结合图象信息，当甲到达终点时乙距离终点还有 ．         【答案】45 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握函数图象信息，待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质． 根据题意和的图象求得乙对应的函数解析式，求出当时间时的路程s的值，即得乙距终点的路程． 【详解】解：设乙对应的函数解析式为， 把，代入， 得， 解得， 即乙对应的函数解析式为， 当时， ， ∴（）， 即当甲到达终点时乙距离终点还有． 故答案为：45． 24．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为20，且．则小正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可得．本题考查了勾股定理的几何应用，完全平方公式，直角三角形的面积公式等知识点，利用勾股定理求出大正方形的边长是解题关键． 【详解】解：由题意得，四个直角三角形的面积为， 由勾股定理得，大正方形的边长为， 则有，即， ， ，即， 解得， 则小正方形的面积为， 故答案为：8 25．如图，在菱形中，，，，分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 连接，过点作于点，根据菱形的性质，利用证明，得出，判断①，得出，根据 ，判断②，根据随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，判断③，根据含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出的最小值，等于当时，的值，结合勾股定理计算，得出的最小值，判断④． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，，， 和是等边三角形，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ，，②正确； 随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于， 错误，即③错误； ，， 点到的距离， 的最小值，等于当时，的值， 当时，， 此时，， 的最小值，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④． 26．如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点三点共线时，最小．由勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将△沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、A三点共线时，最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 27．如图，正方形的边长为12，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长．连结，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连结，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为12，且， ，，， ， 的最小值为15． 故答案为：15． 三、解答题 28．大理旅游热度持续攀升，为进一步打造宜居大理，某部门准备在海边种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元． (1)求与之间的函数关系式； (2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于240平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)甲种植面积为400平方米，乙种植面积为200平方米时，总费用最低，最低为58000元． 【分析】（1）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可． （2）设乙种植面积为平方米，甲的种植面积为平方米，根据题意，得，设总费用为w元，根据题意，得计算即可． 【详解】（1）解：当时，是正比例函数， 设解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， 故解析式为； 当时，是一次函数， 设解析式为， 把点，代入解析式， 得， 解得， 故解析式为． （2）解：设乙种植面积为平方米，甲的种植面积为平方米， 根据题意，得， 解得， 设总费用为w元，根据题意，得， 由一次函数y随x的增大而增大， 故当时，总费用最少， 最少为（元）， 故甲种植面积为400平方米，乙种植面积为200平方米时，总费用最低，最低为58000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，一次函数的性质，不等式组的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 29．为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． (1)求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； (2)便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； (2)甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程组是解题关键． （1）设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个，根据题意列出不等式求解得出，设利润为w元，根据题意列出一次函数解析式，然后求解即可． 【详解】（1）解：设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； （2）解：设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个， 由题意得：， 解得， 设利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵a为整数， ∴a最大为16，， ∴元， ∴甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，直线交x轴于点B，两直线交于点． (1)求点C的坐标． (2)在y轴右侧是否存在一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，点的坐标，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两直线交于点，则，即可作答． （2）先求出，结合以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，根据对角线互相平分进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， ∴， （2）解：存在， 依题意，交x轴于点B， ∴， 解得， ∴， 由（1）得， ∵，且以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， 整理得， ∴， ∴； ∴当为对角线时， 则， 整理得， ∴， ∴； ∵点P在y轴右侧， ∴不符合题意，舍去； ∴当为对角线时， 则， 整理得， ∴， ∴； 综上：或． 31．某实验基地装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点的距离为，记；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时（含停顿时间），关于的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题： (1)轨道的长度为______，的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 ． (2)滑块从点A到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，请直接写出的值． 【答案】(1)91，19.5，6 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解函数图象； （1）结合图2所给数据分析即可得解； （2）设解析式，代入点坐标即可得解； （3）先求出滑块从点到点A的滑动过程中，和的关系式，再结合（2）中关系式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，,， ； 根据图2可知：当时，是滑块右端与重合后，再次从右向左滑动，距离的时候， 可知返回时间为， 一半的时间为， 此时； 滑块从右向左匀速滑动的速度为； 故答案为：91，19.5，6； （2）解：当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 综上，； （3）解：同（2）方法可得滑块从点到点A的滑动过程中， 与的函数关系式为， ①当时，令，解得； ②当时，令，解得； ③当时，令，解得； ④当时，令，解得； 综上，或或或． 32．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图①）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数关系如图②所示． (1)军车的速度为________，的值为________； (2)求大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； (3)部队官兵在仓库领取物资期间，直接写出大巴车离仓库的路程的取值范围． 【答案】(1)60，2 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）结合函数图象可求出军车和大巴车的速度，再根据时间路程速度可求的值； （2）根据大巴车的速度为，结合函数图象可得大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； （3）分别求出部队官兵在仓库领取物资的开始时间和结束时间，进而得对应的的取值，再结合函数图象可得路程的取值范围． 【详解】（1）解：军车的速度为， 大巴车的速度为， ∴， 故答案为：60，2； （2）解：由（1）知大巴车的速度为， 结合图象，得大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； （3）解：部队官兵在仓库领取物资的开始时间为：， 此时， ∵部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地， ∴， 解得， 即部队官兵在仓库领取物资的结束时间为， 此时， 结合图象可知，． 33．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用三角形的内角和定理和垂直定义求得，，则，，根据已知可得，然后利用平行四边形的判定可得结论； （2）分当时和当时两种情况，结合矩形的判定与性质，一元一次方程的解法分别求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，，， 则，， ∵，，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，当时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴，解得：； 如图2，当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：； 综上，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论求解是解答的关键． 34．五一假期，唐老师一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．唐老师在满电状态下出发，汽车的剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为___________； (2)若行驶一段时间后，唐老师发现电量还有，离景区有，唐老师能到达景区吗？请说明理由． (3)已知汽车快速充电功率为．唐老师驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量充电功率 充电时间】 【答案】(1) (2)唐老师不能到达景区，理由见解析 (3)在充电站充电的时长为 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值，即可求解； （2）先计算出剩余电量相当于，令求出的值，加上还要行驶的路程，然后与充满电的状态下能行驶的路程比较即可； （3）根据行程需要的电量求出需要停车充电的电量，再根据快速充电功率计算充电的时长即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为：， 将，代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：， 当时，， 解得：， 当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为， 故答案为：； （2）唐老师不能到达景区，理由如下： 剩余电量，相当于， 在中，令，则， 解得：， ， 唐老师不能到达景区； （3）当时，， 唐老师驾驶满电汽车前往距离的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为， 充电电量为， 充电时间为， 答：在充电站充电的时长为． 35．电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ； (2)根据以上判断，当时，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m． 【答案】(1)一次 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据表格中的数据，可以得到R与m符合一次函数关系． （2）根据（1）中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到关于m的函数关系式； （3）将代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示： 由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系， 故答案为∶一次； （2）解：设R关于m的函数关系式为， 将代入， 得， 解得， 即R关于m的函数关系式为 （3）解：当时，， 解得，， 即当可变电阻R为时，人的质量m应为． 36．如图，在中，，是的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是20，两条对角线的和等于14，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积公式，利用完全平方式解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用直角三角形的性质得出，判定出是的垂直平分线，然后利用等角对等边证出相等的边，利用四条边相等的四边形为菱形即可求解； （2）根据菱形的性质得出，然后利用利用勾股定理得出，借助于完全平方式即可求解． 【详解】（1）证明：，是的中线， ． 又于点， ， 是的垂直平分线， ． ， ． ， ， ． 于点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：由（1）知四边形是菱形，周长为20，则． 两条对角线的和等于14， ． ，， ， ，① 在中， 由勾股定理得， 将①式两边同时平方得， ， ， 菱形的面积为． 37． 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设A车的行驶费用为元，B车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，B车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，A车的行驶费用更低． 38．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： (1)上述证明过程中的横线上填的内容是：______． (2)如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论． (3)已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 【答案】(1)（三角形的中位线定理） (2)见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形． 故答案为：（三角形的中位线定理）． （2）证明：分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为： ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 39．如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到； （3）取的中点，连接，同理（1）（2）得，，，，推出，易证是等边三角形，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ， ， 同理，， 由（1）可知， ， ∵， ∴； （3）如图，取的中点，连接， 同理（1）（2）得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 40．（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长BC到点H，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3． 【分析】（1）由正方形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，然后根据即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】证明：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 41．如图，已知四边形为正方形，，点为平面内一动点（不与点重合），连接，以为边作正方形，连接． 如图1，当点在对角线上移动时： (1)求证：； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)如图2，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值， (3) 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识． （1）利用正方形的性质找条件即可证明； （2）证明，勾股定理求出，即可得到结论； （3）连接，，证明，则，得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：四边形和四边形都是正方形, , , 即, 在和中, , ； （2）的值为定值． ， ， ， 正方形中，， ， ； （3）如图，连接，， 四边形和四边形都是正方形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 当在线段上时，取最小值，最小值为的长，即为． 42．【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （2）在上截取，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，证明，得出，即可得解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，从而可得，，求出，证明，得出，最后由勾股定理即可得解． 【详解】证明：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．【综合与实践】 【问题背景】 如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间． 如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】 上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.9 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值． 【答案】(1) (2)10∶30 (3)0.02 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求解析式，求出t的值即可求解； （3）分别计算，，，，时，函数值与对应h的观察值之差的平方，然后求和即可． 【详解】（1）解：设， 则， 解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 150分钟=2小时30分钟， ∴甲容器中的水面高度为时是10∶30； （3）解：由（1）知，；，满足h与t的函数关系式， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 44．花漾南阳，醉美月季．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种月季花的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种月季花分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B两种月季花的生长高度，与药物施用量的关系数据统计如表： x/ 0 4 6 8 10 15 18 21 / 25 21 19 17 15 10 7 4 / 10 18 22 26 30 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B两种月季花的生长高度，与药物施用量x的函数图象； 任务2：①猜想A，B两种月季花的生长高度，与药物施用量x是________（填“一次函数”或“反比例函数”）关系； ②直接写出，与x的函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种月季花高度差距不超过时，两种月季花的生长会处于一种良好的平衡状态，请直接写出满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围． 【答案】任务一：见解析；任务2：①一次函数；②，；任务三： 【分析】本题考查了一次函数的应用、描点法画函数图象、求一次函数解析式，利用描点法正确画出函数图象是解题的关键． （1）利用描点法画函数图象即可； （2）①观察函数图象可知图象是直线，即可得出结论；②利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）先求出两种月季花高度差距等于时x的取值，再结合图象即可求解． 【详解】解：任务一： 如图所示，函数图象即为所求： 任务二： ①由图象得，A，B两种月季花的生长高度，与药物施用量x是一次函数关系； 故答案为：一次函数； ②设， 代入和，得， 解得：， ， 同理可得：． 任务三： 令，则， 解得：， 令，则， 解得：， 结合图象可得，满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围为． 45．在一条笔直的公路上依次有三地．甲、乙两车同时出发，甲车从地匀速行驶到地，1小时后按原路原速返回到地；乙车从地匀速行驶到地．在行驶的过程中，甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，请结数量合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度为___________千米/时，乙车的速度为___________千米/时； (2)求甲车从地行驶到地的过程中，距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数解析式； (3)请直接写出两车出发多少小时相距30千米． 【答案】(1)120，60 (2) (3)小时，小时，小时 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙车的速度； （2）设甲车从地到地过程中与的函数解析式为，将点，代入求解，可得出解析式，并写出自变量的取值范围； （3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 甲车的速度为：（千米时）， 甲车从开始到地所需的时间为：（时）， 乙车的速度为：（千米时）， 故答案为：120，60； （2）解：由题意可得，甲车从第4小时从地返回地，且第7小时到达地，， 设甲车从地到地过程中与的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即甲车从地到地过程中与的函数解析式为； （3）解：两车出发后经过小时相距30千米， 当时， 或， 解得或； 当时， 两车的距离大于30千米； 当时， 两车的距离大于30千米； 当时， ， 解得； 由上可得，两车出发后经过小时或小时或小时时相距30千米． 46．如图，在同一条高速公路上，客车从嘉兴J地出发经杭州H地匀速驶向台州T地，同时轿车从台州T地出发匀速驶向杭州H地．它们离杭州H地的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题： (1)客车的速度为每小时______千米，图中点的坐标为_____，点的坐标表示的实际意义是_____； (2)求所在直线的函数解析式； (3)当轿车到杭州H地时，求客车离杭州H地的路程． 【答案】(1)80，，客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处 (2)所在直线的函数解析式为 (3)客车离杭州H地路程为108千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间，进行求解作答即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出轿车到杭州H地的时间，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】（1）解：千米/小时； ， ∴点的坐标为； 由题意和图象可知：点的坐标表示的实际意义是客车行驶2小时后与轿车都在距离杭州60千米处； （2）设所在直线的函数解析式为， 由图象可知，直线经过，， ∴， 解得：， ∴； （3）由（2）知：， 当时，则：，解得：， 千米； 答：客车离杭州H地路程为108千米． 47．探究的图象及性质： (1)绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整； … … … … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； (2)探究函数性质： 当________时，函数有最大值是________； (3)运用函数图象及性质： 根据函数图象，不等式的解集是________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． （1）①将分别代入求出对应函数值即可；②描出①中所求的点；③用曲线连接格点，即可画出函数图象． （2）根据函数图象即可解答； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：①当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 补充表格如下： … … … … ②补充描出其他点如图所示： ③函数图象如图所示： （2）解：由函数图象知：当时，函数有最大值是； （3）解：由函数图象知：不等式的解集是． 48．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)直接写出当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)当时，四边形能够成为菱形．理由见解答过程 (3)或 2 【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别分析得出即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 又 ∵， ； （2）解：四边形能够成为菱形．理由如下： ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； （3）解：根据（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， 分情况讨论： ①当时，， ∴，即， ∴； ②时，， ∴，即， ∴； ③时，此种情况不存在．故当或2时，为直角三角形， 故答案为：或 2 ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键要掌握：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习押题汇编 一、单选题 1．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．当时则四边形是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 5．2024年9月5日－6日，“行走大运河”中国辉煌足迹大运河龙舟系列活动（河南郑州站）暨郑州市第十二届运动会全民健身组龙舟比赛在郑州市郑东新区北龙湖举行，其中甲、乙两队在500米的赛道上划行的路程与时间之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（    ） ①甲队比乙队晚到达终点； ②当乙队划行时，仍在甲队后面； ③当乙队划行时，已经超过甲队； ④后，甲队比乙队每分钟慢． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 7．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 8．图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（   ） ①两城相距600千米； ②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时； ③乙车出发后5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． A．3个 B．4个 C．2个 D．1个 10．如图是第九届亚冬会期间热销的一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带A总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．对该单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度为，单层部分的长度为，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 … 单层部分长度 116 108 100 92 … 则与之间的关系式为（　　）． A． B． C． D． 11．如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 12．如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 13．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 14．如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，分别为的中点，连接，则长度的最大值为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．5 15．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 16．如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 18．如图，一次函数均为常数，且与的图象相交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 19．两条直线 与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 20．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 21．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则 ． 22．如图，菱形的边长为5，点是对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是 ． 23．已知A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（h）的关系，结合图象信息，当甲到达终点时乙距离终点还有 ．         24．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为20，且．则小正方形的面积为 ． 25．如图，在菱形中，，，，分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号） 26．如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．则的最小值是 ． 27．如图，正方形的边长为12，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题 28．大理旅游热度持续攀升，为进一步打造宜居大理，某部门准备在海边种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元． (1)求与之间的函数关系式； (2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于240平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 29．为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． (1)求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； (2)便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，直线交x轴于点B，两直线交于点． (1)求点C的坐标． (2)在y轴右侧是否存在一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31．某实验基地装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点的距离为，记；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时（含停顿时间），关于的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题： (1)轨道的长度为______，的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 ． (2)滑块从点A到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，请直接写出的值． 32．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图①）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数关系如图②所示． (1)军车的速度为________，的值为________； (2)求大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； (3)部队官兵在仓库领取物资期间，直接写出大巴车离仓库的路程的取值范围． 33．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 34．五一假期，唐老师一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．唐老师在满电状态下出发，汽车的剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为___________； (2)若行驶一段时间后，唐老师发现电量还有，离景区有，唐老师能到达景区吗？请说明理由． (3)已知汽车快速充电功率为．唐老师驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量充电功率 充电时间】 35．电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ； (2)根据以上判断，当时，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m． 36．如图，在中，，是的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是20，两条对角线的和等于14，求四边形的面积． 37． 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 38．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： (1)上述证明过程中的横线上填的内容是：______． (2)如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论． (3)已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 39．如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 40．（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长BC到点H，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长． 41．如图，已知四边形为正方形，，点为平面内一动点（不与点重合），连接，以为边作正方形，连接． 如图1，当点在对角线上移动时： (1)求证：； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)如图2，连接，求的最小值． 42．【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 43．【综合与实践】 【问题背景】 如图1，刻漏，中国古代汉族科学家发明的计时器．漏是指带孔的壶，刻是指附有刻度的浮箭．中国最早的漏刻出现在夏朝时期．随着时间的推移，漏刻在历朝历代得到了广泛的应用和改进，成为了重要的计时工具．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间． 如图2，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀(控制水的流速)的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】 上午8：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：20 8：30 8：40 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.9 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为s；s越小，偏差越小．请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析式的s值． 44．花漾南阳，醉美月季．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种月季花的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种月季花分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B两种月季花的生长高度，与药物施用量的关系数据统计如表： x/ 0 4 6 8 10 15 18 21 / 25 21 19 17 15 10 7 4 / 10 18 22 26 30 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B两种月季花的生长高度，与药物施用量x的函数图象； 任务2：①猜想A，B两种月季花的生长高度，与药物施用量x是________（填“一次函数”或“反比例函数”）关系； ②直接写出，与x的函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种月季花高度差距不超过时，两种月季花的生长会处于一种良好的平衡状态，请直接写出满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围． 45．在一条笔直的公路上依次有三地．甲、乙两车同时出发，甲车从地匀速行驶到地，1小时后按原路原速返回到地；乙车从地匀速行驶到地．在行驶的过程中，甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，请结数量合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度为___________千米/时，乙车的速度为___________千米/时； (2)求甲车从地行驶到地的过程中，距地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数解析式； (3)请直接写出两车出发多少小时相距30千米． 46．如图，在同一条高速公路上，客车从嘉兴J地出发经杭州H地匀速驶向台州T地，同时轿车从台州T地出发匀速驶向杭州H地．它们离杭州H地的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题： (1)客车的速度为每小时______千米，图中点的坐标为_____，点的坐标表示的实际意义是_____； (2)求所在直线的函数解析式； (3)当轿车到杭州H地时，求客车离杭州H地的路程． 47．探究的图象及性质： (1)绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整； … … … … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； (2)探究函数性质： 当________时，函数有最大值是________； (3)运用函数图象及性质： 根据函数图象，不等式的解集是________． 48．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)直接写出当t为何值时，为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$