专题10 全等三角形判定的常考模型（5大基本题型） 期末专项训练2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题10】 全等三角形判定的常考模型（5大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 平移模型 （1） 特征：两个三角形通过平移重合，对应边平行且相等，对应角相等 （2） 判定方法：通过平行线性质转移角度，结合SSS、SAS、ASA等判定全等 （3） 常见场景：线段平移后形成的全等图形，如平行四边形中的对角线分割全等三角形 2. 对称模型 （1） 轴对称：沿对称轴折叠后重合，公共边或角为对称元素，常用SSS、SAS、ASA判定 （2） 中心对称：绕中心点旋转180°后重合，对应边反向平行且相等，常用SAS、AAS判定 3. “手拉手”模型 （1） 特征：两个共顶点的等边三角形或等腰三角形，通过旋转构造全等 （2） 判定方法：共顶点且两边相等（如），利用SAS或SSS证明全等。旋转角度为两三角形顶角之和（如60°、90°） 4. 一线三等角模型 （1） 三垂直（弦图、K字型）：三个直角沿直线排列，结合垂直关系与边相等（AAS） （2） 一般一线三等角：三个相等角沿直线排列，通过ASA或AAS判定，常见于动态几何问题 5. 半角模型 （1） 特征：一个大角被分割为两个小角（如45°分割为22.5°），通过截长补短或旋转构造全等 （2） 判定方法： a. 截取线段使小角对应相等，结合SAS或ASA b. 旋转部分图形使半角对齐，利用旋转全等性质 【技巧总结】 1. 平移模型： （1） 利用平行线性质找同位角或内错角相等，结合公共边构造全等 （2） 典型技巧：延长线段形成平行关系，如平移后的对应边重合 2. 对称模型： （1） 轴对称问题优先找公共边/角；中心对称问题关注对应点连线过对称中心 （2） 示例：正方形对角线分割的三角形全等，利用对称轴性质简化证明 3. “手拉手”模型： （1） 构造共顶点的等边三角形，利用旋转角相等证明对应边重合 （2） 关键点：共顶点、等边、旋转角度一致 4. 一线三等角： （1） 三垂直模型优先用AAS判定；非直角一线三等角需找夹边或对边相等 （2） 动态问题中固定一条边，通过角度关系推导其他边角条件 5. 半角模型： （1） 截长补短法：在长边上截取短边长度，构造全等三角形 （2） 旋转法：将含半角的三角形旋转，使半角对齐，结合SAS证明 【易错点】 1. 平移模型： （1） 误判对应边：忽略平移方向导致边对应错误 （2） 未利用平行线性质：漏掉同位角或内错角相等条件 2. 对称模型： （1） 混淆轴对称与中心对称：如将中心对称图形的对应边误认为轴对称边 （2） 公共边标记不清：未明确标注对称轴或公共边，导致证明混乱 3. “手拉手”模型： （1） 旋转方向错误：未按固定角度旋转导致对应边不重合 （2） 忽略共顶点条件：误将非共顶点的等边三角形纳入模型 4. 一线三等角：角度位置错误：未确保三个角在同一直线上，导致判定失效 5. 半角模型： （1） 截取线段长度不当：未严格满足半角条件，导致构造失败 （2） 旋转后对应边未重合：旋转角度或方向错误，无法形成全等 【例1】平移模型 【典例】如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据“”判定即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【变式1】如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 【变式2】如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由全等三角形的判定方法可证明即可解答问题． 【详解】证明：点为的中点， 在和中， ， ， ， ． 【变式3】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定三角形全等的方法是解题关键； 先由得到，再证明，进而得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴． ∴． 【例2】对称模型 【典例】如图，已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在与中， ∴ ∴ 【变式1】如图，点D，E分别在，上，连接，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键； （1）由全等三角形的判定方法角边角得出即可； （2）根据可得，然后即可求解； 【详解】（1）证：（1）∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ； 【变式2】如图，、是上两点，且，点、、在同一直线上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质与判定；根据，得出，根据，得出，即可根据证明，得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． 结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明，结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图 是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； ， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 【例3】“手拉手”模型 【典例】如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题得，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论． 【详解】证明：， ． ． ， ． 平分， ． ． 在和中，， ． 【变式1】综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据全等三角形的判定即可求解； （）由全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，可证，可得，，再证明，得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的理由是， 故选：； （）∵， ∴， ∵， ∴， 即； （）延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【变式2】如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 分类讨论，当时或时，延长到点，使，连接、，先证，再证，最后证，得，即可得解． 【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、， ， ， 在△和△中， ， ， ，， 是中点， ， 在△和△中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式3】（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定得，，由此可得出、、的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定，则，，同理可证明得，，再证明得，再根据可得结论． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【例4】一线三等角 【典例】如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及互余定义、直角三角形两锐角互余、垂直定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 【变式2】（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可； （2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可； （3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：对图标注如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：对图中的角进行标注， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之和是6，的面积是15， ∴，， ∵与等高，， ∴底边之比3：5， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 【变式3】综合与实践： 【问题情境】(1)七下课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】(2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】(3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【例5】半角模型 【典例】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式1】（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式3】问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题10】 全等三角形判定的常考模型（5大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 平移模型 （1） 特征：两个三角形通过平移重合，对应边平行且相等，对应角相等 （2） 判定方法：通过平行线性质转移角度，结合SSS、SAS、ASA等判定全等 （3） 常见场景：线段平移后形成的全等图形，如平行四边形中的对角线分割全等三角形 2. 对称模型 （1） 轴对称：沿对称轴折叠后重合，公共边或角为对称元素，常用SSS、SAS、ASA判定 （2） 中心对称：绕中心点旋转180°后重合，对应边反向平行且相等，常用SAS、AAS判定 3. “手拉手”模型 （1） 特征：两个共顶点的等边三角形或等腰三角形，通过旋转构造全等 （2） 判定方法：共顶点且两边相等（如），利用SAS或SSS证明全等。旋转角度为两三角形顶角之和（如60°、90°） 4. 一线三等角模型 （1） 三垂直（弦图、K字型）：三个直角沿直线排列，结合垂直关系与边相等（AAS） （2） 一般一线三等角：三个相等角沿直线排列，通过ASA或AAS判定，常见于动态几何问题 5. 半角模型 （1） 特征：一个大角被分割为两个小角（如45°分割为22.5°），通过截长补短或旋转构造全等 （2） 判定方法： a. 截取线段使小角对应相等，结合SAS或ASA b. 旋转部分图形使半角对齐，利用旋转全等性质 【技巧总结】 1. 平移模型： （1） 利用平行线性质找同位角或内错角相等，结合公共边构造全等 （2） 典型技巧：延长线段形成平行关系，如平移后的对应边重合 2. 对称模型： （1） 轴对称问题优先找公共边/角；中心对称问题关注对应点连线过对称中心 （2） 示例：正方形对角线分割的三角形全等，利用对称轴性质简化证明 3. “手拉手”模型： （1） 构造共顶点的等边三角形，利用旋转角相等证明对应边重合 （2） 关键点：共顶点、等边、旋转角度一致 4. 一线三等角： （1） 三垂直模型优先用AAS判定；非直角一线三等角需找夹边或对边相等 （2） 动态问题中固定一条边，通过角度关系推导其他边角条件 5. 半角模型： （1） 截长补短法：在长边上截取短边长度，构造全等三角形 （2） 旋转法：将含半角的三角形旋转，使半角对齐，结合SAS证明 【易错点】 1. 平移模型： （1） 误判对应边：忽略平移方向导致边对应错误 （2） 未利用平行线性质：漏掉同位角或内错角相等条件 2. 对称模型： （1） 混淆轴对称与中心对称：如将中心对称图形的对应边误认为轴对称边 （2） 公共边标记不清：未明确标注对称轴或公共边，导致证明混乱 3. “手拉手”模型： （1） 旋转方向错误：未按固定角度旋转导致对应边不重合 （2） 忽略共顶点条件：误将非共顶点的等边三角形纳入模型 4. 一线三等角：角度位置错误：未确保三个角在同一直线上，导致判定失效 5. 半角模型： （1） 截取线段长度不当：未严格满足半角条件，导致构造失败 （2） 旋转后对应边未重合：旋转角度或方向错误，无法形成全等 【例1】平移模型 【典例】如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 【变式1】如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【变式2】如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，．求证：． 【变式3】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【例2】对称模型 【典例】如图，已知，，求证：． 【变式1】如图，点D，E分别在，上，连接，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式2】如图，、是上两点，且，点、、在同一直线上，且，．求证：． 【变式3】如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 【例3】“手拉手”模型 【典例】如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【变式1】综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 【变式2】如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【变式3】（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【例4】一线三等角 【典例】如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 【变式2】（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【变式3】综合与实践： 【问题情境】(1)七下课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】(2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】(3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【例5】半角模型 【典例】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式1】（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【变式2】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【变式3】问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$