专题02 有理数的运算（考点清单，10个考点清单+10种题型解读）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024五四制）

专题02 有理数的运算（考点清单，10个考点清单+10种题型解读） 【清单01】有理数加法运算 1.加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法运算的步骤 2. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 3. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【清单02】有理数减法运算 1.减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 【清单03】有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 【清单04】有理数乘法运算 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 a 与b 乘积的符号 a 与b 的符号 正 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 负 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 0 至少一个为0，即a=0 或b=0 3.倒数 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 a(a ≠ 0)的倒数是 若a ， b 互为倒数， 则a·b=1 若a·b=1， 则a，b 互为倒数 都成对出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 a 的相反数是－a 若a，b 互为相反数， 则a＋b=0 若a＋b=0， 则a，b 互为相反数 4.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b＋c)=ab＋ac 【清单05】有理数除法运算 1. 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法点拨：除法法则的选用原则 3.分数的化简 （1）实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. （2）分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 【清单06】有理数乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 【清单07】有理数乘方运算 1.乘方运算的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“a 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 an 中，a 叫作底数，n叫作指数 2. an，－an 和(－a)n 的联系与区别 知识拓展：(1)负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数；(2)乘方运算中, 当底数有“－”号时, 底数要加括号；(3)当底数互为相反数时, 它们的奇次幂也互为相反数, 偶次幂相等. 3.乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 【清单08】有理数混合运算 有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【清单09】科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2. 科学记数法表示数的步骤 3.还原科学记数法表示的数 4.方法点拨：比较用科学记数法表示的两个数大小的方法 【清单10】近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 【考点题型一】有理数的加法（共3题） 1．（2023秋•泸县校级期末）计算：． 2．（2023秋•合江县校级期末）计算：． 3．（2021秋•凉山州期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算：． 【考点题型二】有理数的减法（共4题） 1．（2023秋•济南期末）计算：． 2．（2023秋•太湖县期末）． 3．（2023秋•叙永县校级期末）计算：． 4．（2023秋•商南县校级期末）小虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：，，，，，，． （1）小虫离开出发点最远是 　　厘米． （2）小虫是否回到了原点？ （3）在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【考点题型三】有理数的乘除（共6题） 1．（2023秋•渌口区期末）已知，，且，求的值． 2．（2023秋•昌邑区校级期末）． 3．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 4．（2023秋•绥阳县期末）数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法：． 大白的解法：原式的倒数为第一步， 第二步， 第三步， 第四步． 所以 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： （1）两位同学的解法中，　　同学的解答正确； （2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是 　　． （3）用一种你喜欢的方法计算：． 5．（2023秋•射阳县期末）已知：，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 6．（2023秋•淮北期末）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 【考点题型四】有理数的乘方（共8题） 1．（2023秋•曲靖期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是　　 A．6 B．4 C．2 D．8 2．（2023秋•德城区期末）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 　　． 3．（2023秋•龙湖区期末）已知，都是有理数，若，则　 　． 4．（2023秋•合肥期末）计算：． 5．（2023秋•隆回县期末）计算： （1）； （2）． 6．（2023秋•凉州区校级期末）已知，满足，求的值． 7．（2023秋•射阳县期末）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： （1）　 　； （2）归纳、概括：　　； （3）如果，，运用以上的结论，计算：　　． 8．（2023秋•东城区期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入，时，求输出的值为多少？ （2）若，的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【考点题型五】科学记数法与有效数字（共5题） 1．（2023秋•长寿区期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是　　 A．0.1（精确到 B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到 2．（2023秋•蓬江区期末）用四舍五入法把数25.862精确到十分位，所得的近似数是　　 A．25.8 B．25.9 C．25.86 D．25.87 3．（2023秋•惠城区期末）是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•罗湖区期末）2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•龙华区期末）红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【考点题型六】有理数运算的实际应用（共4题） 1．（2023秋•万州区期末）张阿姨水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 （1）这20箱樱桃的总质量是多少千克？ （2）张阿姨水果店购进这批樱桃需要付运费100元，计划把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，按照全部销售完后获得的利润为成本的作为销售目标，并制定零售价为30元千克，在实际销售时，第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，把剩余的樱桃按原零售价的七折售完．（提示：成本总进价运费）计算该水果店在实际销售这批樱桃的过程中共盈利多少元？是否达成原定销售目标？ 2．（2023秋•安溪县期末）某水果店以每箱180元的价格从水果批发市场购进20箱草莓，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.25 0.3 0.5 箱数 2 3 3 5 5 2 （1）求这20箱草莓的总重量； （2）若水果店打算以每千克25元销售这批草莓，则全部售出可获利多少元？ 3．（2023秋•莲都区期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． （1）问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ （2）若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 4．（2023秋•襄城县期末）小华有5张写着不同数的卡片如图，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： （1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是 　　； （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 　　； （3）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）． 【考点题型七】有理数的新定义运算（共7题） 1．（2023秋•郏县期末）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 2．（2023秋•江州区期末）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． （1）填空：　　，　　； （2）如果，求的值； （3）若，求的值． 3．（2023秋•成都期末）【初探】 从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1）　　； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从 这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为，，． （3）若，，，且，求的值． 4．（2023秋•莲池区校级期末）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 3※， ※ ※， 3※ 3※， ※ 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 　绝对值相加　任何数同0进行“※”运算，都得 　　． 【运用】 （2）计算：※※； （3）化简：※． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算． 5．（2023秋•辉县市期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； （2）若是“共生有理数对”，则 　　“共生有理数对”（填“是”或“不是” ； （3）如果是“共生有理数对”，且，求的值． 6．（2023秋•梁山县期末）有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： （1）　　，　　； （2）已知，，，求的值； （3）当，，时，求的值． 7．（2023秋•大荔县期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”；若到、的距离之和为6，则叫做和的“幸福中心”． （1）若点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 　 　； （2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中，整数之和是多少？ 【考点题型八】与绝对值有关的动点、最值综合问题（共4题） 1．（2023秋•太和县期末）已知：是最大的负整数，且、、满足， （1）直接写出　 　，　　，　　． （2），，所对应的点分别为，，，若点以每秒个单位长度的速度运动，点和点分别以每秒3个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①当点向右运动，且时，请问：的值是否随着时间的变化而变化． ②当的值不随着时间的变化而变化，求的值． 2．（2023秋•赣州期末）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）　　； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则　　； ②若，请直接写出所有的整数：　　； ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 3．（2023秋•成都期末）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题 （1）请直接写出、、的值． 　 　，　　，　　 （2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 4．（2023秋•凤翔区期末）【数学概念】如图，、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“靠近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“靠近距离”． 【概念理解】如图①，点表示的数是，点表示的数是2． （1）若点表示的数是，则点到线段的“靠近距离”为 　　； （2）若点表示的数是，点到线段的“靠近距离”为3，则的值为 　　（写出所有结果）； 【概念应用】 （3）如图②，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为秒，当点到线段的“靠近距离”为2时，求的值． 【考点题型九】数轴上的动点综合问题（共4题） 1．（2023秋•广州期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． （1）点表示的数为 　　，点表示的数为 　　，两点之间的距离为 　　； （2）若点为数轴上一点，且，求的值； （3）若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 2．（2023秋•泰兴市期末）已知点、、、在数轴上，点和点表示的数分别为、2，点在点的右侧，点在点的右侧，且，． （1）直接写出点和点表示的数分别为：　　、　　； （2）若线段沿着数轴向右以2个单位长度秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度秒的速度运动，设运动的时间为（秒，． ①若和重合，则的值为 　　，若和重合，则的值为 　　； ②若线段和线段重叠部分为1个单位长度，求运动时间的值； ③当时，下面两个式子：①；②中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 　　（填写序号），并求这个定值． 3．（2023秋•台江区期末）数轴上两点、对应的数分别是、，、满足．若有一动点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）　　，　　，并在数轴上面标出、两点； （2）【解决问题】 ①当秒时，数轴上点所表示的数是 　　，所表示的数 　　； ②问点运动多少秒与点相距3个单位长度？ 4．（2023秋•高新区校级期末）已知数轴上的点，对应的数分别是，，且，点为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度秒． （1）求点，两点之间的距离； （2）若点向右运动，速度为10单位长度秒，点向左运动，速度为20单位长度秒，点，和三点同时开始运动，点先向右运动，遇到点后立即掉后向左运动，遇到点再立即掉头向右运动，如此往返，当，两点相距30个单位长度时，点立即停止运动，求此时点移动的路程为多少个单位长度？ （3）若点，，三个点都向右运动，点，的速度分别为10单位长度秒，20单位长度秒，点、分别是、的中点，设运动的时间为，在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【考点题型十】数轴上的中点、分点综合问题（共3题） 1．（2023秋•双流区期末）点在线段上，在线段，，中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称点为线段的“半分点”． （1）当点是线段的中点时，点 　 　线段的“半分点”（填“是”或“不是” ； （2）已知，若点为线段的“半分点”，求线段的长度； （3）已知点，，是数轴上互不重合的三个点，点为原点，点表示的数是，若存在这三个点中，一个点是另外两个点为端点的线段的“半分点”，求点表示的数的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 2．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段的中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 3．（2023秋•市北区期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 定义：在数轴上，如果线段间从左往右的点，，，，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，，是靠近的第2个等分点，则记为，，是靠近的第个等分点，则记为，． 探究一： 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段的二等分点，表示的数为． 探究二： 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段上靠近点的第2个五等分点，表示的数为 　 　． 应用一： 如图3，在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 　　； 数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 　　； 若线段上靠近的四等分点，与线段上靠近的十等分点，重合，请求出的值． 应用二： 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点，与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算（考点清单，10个考点清单+10种题型解读） 【清单01】有理数加法运算 1.加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法运算的步骤 2. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 3. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 【清单02】有理数减法运算 1.减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 【清单03】有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 【清单04】有理数乘法运算 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 a 与b 乘积的符号 a 与b 的符号 正 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 负 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0 0 至少一个为0，即a=0 或b=0 3.倒数 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 a(a ≠ 0)的倒数是 若a ， b 互为倒数， 则a·b=1 若a·b=1， 则a，b 互为倒数 都成对出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 a 的相反数是－a 若a，b 互为相反数， 则a＋b=0 若a＋b=0， 则a，b 互为相反数 4.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b＋c)=ab＋ac 【清单05】有理数除法运算 1. 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法点拨：除法法则的选用原则 3.分数的化简 （1）实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. （2）分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 【清单06】有理数乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 【清单07】有理数乘方运算 1.乘方运算的意义 概念 示例 乘方 求n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 读作“a 的n 次方” 幂 乘方的结果叫作幂 底数和指数 an 中，a 叫作底数，n叫作指数 2. an，－an 和(－a)n 的联系与区别 知识拓展：(1)负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数；(2)乘方运算中, 当底数有“－”号时, 底数要加括号；(3)当底数互为相反数时, 它们的奇次幂也互为相反数, 偶次幂相等. 3.乘方的运算法则 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数； (3)0 的任何正整数次幂都是0 . 【清单08】有理数混合运算 有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【清单09】科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2. 科学记数法表示数的步骤 3.还原科学记数法表示的数 4.方法点拨：比较用科学记数法表示的两个数大小的方法 【清单10】近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数. 3. 近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数的精确度的表述方法： (1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等； (2)用小数表示，如精确到0 .1，精确到0 .0 1 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到1 kg，精确到1 m等. 4. 取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法. 【考点题型一】有理数的加法（共3题） 1．（2023秋•泸县校级期末）计算：． 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 2．（2023秋•合江县校级期末）计算：． 【分析】先把加法写成省略加号、括号和的形式，再利用加法的交换律、结合律求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握加法的运算法则、运算律是解决本题的关键． 3．（2021秋•凉山州期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算：． 【分析】根据题目所提供的计算方法，写成几个整数的和以及几个分数的和即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的关键． 【考点题型二】有理数的减法（共4题） 1．（2023秋•济南期末）计算：． 【分析】根据有理数的运算法则进行计算，即可求解． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 2．（2023秋•太湖县期末）． 【分析】根据有理数的加减法混合运算的法则：在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式计算即可． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了有理数的加减法混合运算的法则，解题时牢记法则是关键． 3．（2023秋•叙永县校级期末）计算：． 【分析】先根据有理数的减法法则把减法化成加法，小数化成分数，写成省略加号和的形式，再进行简便计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． 4．（2023秋•商南县校级期末）小虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：，，，，，，． （1）小虫离开出发点最远是 　　厘米． （2）小虫是否回到了原点？ （3）在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【分析】（1）分别计算每次距地的距离，进行比较即可； （2）直接将所有数据相加得出答案； （3）所有记录数的绝对值的和，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，第一次距点；第二次距点； 第三次距点；第四次距点； 第五次距点；第六次距点； 第七次距点； 所以在第三次小虫距点最远，为； 故答案为：12； （2）， 故小虫最后回到出发点； （3）由题意可得：， （粒， 则小虫一共可以得到54粒芝麻． 【点评】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【考点题型三】有理数的乘除（共6题） 1．（2023秋•渌口区期末）已知，，且，求的值． 【分析】先根据绝对值的性质求出、的值，然后根据进一步确定、的值，从而求出的值． 【解答】解：， ， ， ， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为40或． 【点评】本题考查了有理数的乘法、加法，绝对值，得出，或，是解题的关键． 2．（2023秋•昌邑区校级期末）． 【分析】根据有理数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，可得计算结果． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的除法，先把除法变成乘法，再根据乘法分配律相乘，把所得的积相加，注意运算符号． 3．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 【分析】（1）根据计算，小杨利用了乘法分配律计算更简便； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算更加简便． 【解答】解：（1）小杨的解法较好； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，主要训练了利用运算定律简便运算，读懂题目信息是解题的关键． 4．（2023秋•绥阳县期末）数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法：． 大白的解法：原式的倒数为第一步， 第二步， 第三步， 第四步． 所以 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： （1）两位同学的解法中，　　同学的解答正确； （2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是 　　． （3）用一种你喜欢的方法计算：． 【分析】（1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确； （2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值， 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知： 两位同学的解法中，大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）因为原式的倒数为： ， 所以． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． 5．（2023秋•射阳县期末）已知：，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据绝对值的性质求出、的值，然后确定出、的对应情况，再相乘即可得解； （2）根据绝对值的性质求出、的值，然后根据异号得负确定出、的对应情况，再代入解答即可． 【解答】解：（1），， ，， ， 时，，， 时，，， 综上所述，的值是； （2），， ，， ， 时，，， 时，，， 综上所述，的值为． 【点评】本题主要考查有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，有理数的减法，解答的关键是理解清楚题意，找到符合题意的相应的，的值． 6．（2023秋•淮北期末）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 【分析】（1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【解答】解：（1）设为，为， 原式； （2）设为，为， 原式． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． 【考点题型四】有理数的乘方（共8题） 1．（2023秋•曲靖期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是　　 A．6 B．4 C．2 D．8 【分析】根据尾数的循环性得出结论即可． 【解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ， 的个位数字与相同，为6， 故选：． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环得出结论是解题的关键． 2．（2023秋•德城区期末）观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 　　． 【分析】先根据题目中所给运算结果归纳出尾数的出现规律，再运用该规律进行求解． 【解答】解：，，，，，，， 尾数按1，7，9，3，四次一循环周期的规律出现， 且， ， ， 即的结果的个位数字是0， 故答案为：0． 【点评】此题考查了算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 3．（2023秋•龙湖区期末）已知，都是有理数，若，则　 　． 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质，进而得出，的值，即可得出答案． 【解答】解：， ，， 解得：，， 故． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键． 4．（2023秋•合肥期末）计算：． 【分析】根据混合运算法则，先算乘方，再算绝对值符号里面的，最后算乘除即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握实数混合运算法则． 5．（2023秋•隆回县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，继而计算减法即可； （2）先计算括号内的运算和乘方，再计算乘法，最后计算加法即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 6．（2023秋•凉州区校级期末）已知，满足，求的值． 【分析】根据绝对值、偶次方的非负性求出、，再根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记绝对值、偶次方具有非负性是解题的关键． 7．（2023秋•射阳县期末）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： （1）　 　； （2）归纳、概括：　　； （3）如果，，运用以上的结论，计算：　　． 【分析】①直接利用已知计算得出答案； ②利用①中所求进而得出答案； ③利用②中所求，将原式变形进而得出答案． 【解答】解：①； ②归纳、概括：； ③如果，，运用以上的结论，计算：． 故答案为：，，100． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键． 8．（2023秋•东城区期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入，时，求输出的值为多少？ （2）若，的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【分析】（1）根据题目中的数值转换程序，可以计算出，时，对应的的值； （2）根据图形中的信息和题意，可以列出相应的不等式，然后即可写出一个符合要求的的值． 【解答】解：（1），，， ； （2）当时， 令， 得或， ， 此种情况不符合实际； 当时， 令，得， ， 可以为． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【考点题型五】科学记数法与有效数字（共5题） 1．（2023秋•长寿区期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是　　 A．0.1（精确到 B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到 【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【解答】解：、（精确到，所以此选项正确，故不符合题意； 、（精确到百分位），所以此选项正确，故不符合题意； 、（精确到千分位），所以此选项错误，故符合题意； 、（精确到，所以此选项正确，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•蓬江区期末）用四舍五入法把数25.862精确到十分位，所得的近似数是　　 A．25.8 B．25.9 C．25.86 D．25.87 【分析】根据一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位，进行解答即可． 【解答】解：用四舍五入法把数25.862精确到十分位，所得的近似数是25.9． 故选：． 【点评】本题考查近似数，掌握一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位是关键． 3．（2023秋•惠城区期末）是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：， 故选：． 【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4．（2023秋•罗湖区期末）2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5．（2023秋•龙华区期末）红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【考点题型六】有理数运算的实际应用（共4题） 1．（2023秋•万州区期末）张阿姨水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 （1）这20箱樱桃的总质量是多少千克？ （2）张阿姨水果店购进这批樱桃需要付运费100元，计划把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，按照全部销售完后获得的利润为成本的作为销售目标，并制定零售价为30元千克，在实际销售时，第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，把剩余的樱桃按原零售价的七折售完．（提示：成本总进价运费）计算该水果店在实际销售这批樱桃的过程中共盈利多少元？是否达成原定销售目标？ 【分析】（1）用标准质量的差值之和加上标准质量即可求出答案； （2）根据题意分别求出第一天和第二天的销售额，再计算出总销售额，根据利润总销售额成本即可求出答案． 【解答】解：（1）根据题意，（千克）， 20箱樱桃的总质量是（千克）． 答：这20箱樱桃的总质量是205千克； （2）第一天水果店以该零售价售出了总质量的，销售额为（元， 第二天按原零售价的七折出售，则每千克的售价为（元， 第二天销售额为（元， 这批樱桃的总销售额为（元， 实际利润为（元， 所以，该水果店在实际销售这批樱桃的过程中共盈利1312元． 【点评】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则是关键． 2．（2023秋•安溪县期末）某水果店以每箱180元的价格从水果批发市场购进20箱草莓，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.25 0.3 0.5 箱数 2 3 3 5 5 2 （1）求这20箱草莓的总重量； （2）若水果店打算以每千克25元销售这批草莓，则全部售出可获利多少元？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【解答】解：（1） （千克）， 即这20箱草莓的总重量为202千克； （2） （元， 即全部售出可获利1450元． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 3．（2023秋•莲都区期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． （1）问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ （2）若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 【分析】（1）根据图1中的数据求出两个叠的纸杯放在一起的高度即可； （2）根据总高度求出纸杯的个数即可． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 则2个叠放在一起的纸杯的高是； （2）根据题意得： （个， 则纸杯个数为101个． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 4．（2023秋•襄城县期末）小华有5张写着不同数的卡片如图，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： （1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是 　　； （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 　　； （3）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）． 【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数，所以选和； （2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝对值越小大越好，所以就要选和3，且为分子； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为30，方法不唯一，用加减乘除只要结果是30即可，如：抽取、、0、，则；再如：抽取、、、，则． 【解答】解：（1）， 故答案为：24； （2）， 故答案为：； （3）方法不唯一，如：抽取、、0、，则， 如：抽取、、、，则． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 【考点题型七】有理数的新定义运算（共7题） 1．（2023秋•郏县期末）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 【分析】（1）把所给定义式中的换成7、换成代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※与※7的值，然后比较计算结果即可． 【解答】解：（1）7※ （2）不相等．理由是： ※，※， 即： ※与※7的值不相等． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． 2．（2023秋•江州区期末）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． （1）填空：　　，　　； （2）如果，求的值； （3）若，求的值． 【分析】（1）根据“如果，，，则”进行解答即可； （2）根据新定义的运算，得出，再根据绝对值的定义求出答案即可； （3）根据新定义的运算求出，，进而得到，再根据新定义运算求出结果即可． 【解答】解：（1）， ， 又，而， ， 故答案为：1，4； （2）， ， 解得或， 答：的值为29或； （3）， ，， ，即， ， 当时，． 【点评】本题考查绝对值，有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 3．（2023秋•成都期末）【初探】 从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1）　　； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从 这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为，，． （3）若，，，且，求的值． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，直接列出算式，求出的值即可； （2）根据已知条件中的新定义，列出算式，进行化简即可； （3）根据定义，列出代数式，进行化简，求出，，的值，再根据题意，列出方程，进行代换即可． 【解答】解：（1） ， 故答案为：9； （2）一定是整数，理由如下： 由题意得： ， ，都是整数， 也是整数， 一定是整数； （3）由题意得： ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查新定义的应用，解题关键是弄清题意，根据题意．列出算式． 4．（2023秋•莲池区校级期末）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 3※， ※ ※， 3※ 3※， ※ 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 　绝对值相加　任何数同0进行“※”运算，都得 　　． 【运用】 （2）计算：※※； （3）化简：※． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算． 【分析】（1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2）※※ ※4 ； （3）当时，※； 当时，※； 当时，※． 【点评】本题考查有理数混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义． 5．（2023秋•辉县市期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； （2）若是“共生有理数对”，则 　　“共生有理数对”（填“是”或“不是” ； （3）如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义，进行求解即可； （2）根据“共生有理数对”的定义，进行判断即可； （3）根据“共生有理数对”的定义求出的值，代入求解即可． 【解答】解：（1），， ， 数对不是“共生有理数对”； （2）是“共生有理数对”， ， ， 是“共生有理数对”， 故答案为：是； （3）是“共生有理数对”， ， ， ， ． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是理解并掌握“共生有理数对”的定义． 6．（2023秋•梁山县期末）有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： （1）　　，　　； （2）已知，，，求的值； （3）当，，时，求的值． 【分析】（1）根据的定义，的定义即可求解； （2）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解； （3）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解． 【解答】解：（1），． 故答案为：3，2； （2），，， ， 解得， 则，，； （3），，， ， 解得或8， 当时，； 当时，． 故的值为或． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握的定义，的定义是解题关键． 7．（2023秋•大荔县期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”；若到、的距离之和为6，则叫做和的“幸福中心”． （1）若点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 　 　； （2）如图，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中，整数之和是多少？ 【分析】（1）根据“幸福点”定义可得的幸福点所表示的数即可； （2）根据题意列出绝对值方程，分类讨论符合条件的值，最后相加即可． 【解答】解：（1）根据幸福点的定义可知：的幸福点所表示的数应该是：和1； 故答案为：和1． （2）设点表示的数为，由题意得：丨丨丨丨， 丨丨丨丨， 当时，丨丨丨丨，不符合题意； 当时，丨丨丨丨，符合题意； 当时，丨丨丨丨，不符合题意； 当时，丨丨丨丨，若点就是和的幸福中心，则所表示的所有数中整数有：，，0，1，2，3，4． 满足条件的整数之和为：． 【点评】本题考查了有理数的加法，分类讨论是解答本题的关键． 【考点题型八】与绝对值有关的动点、最值综合问题（共4题） 1．（2023秋•太和县期末）已知：是最大的负整数，且、、满足， （1）直接写出　 　，　　，　　． （2），，所对应的点分别为，，，若点以每秒个单位长度的速度运动，点和点分别以每秒3个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①当点向右运动，且时，请问：的值是否随着时间的变化而变化． ②当的值不随着时间的变化而变化，求的值． 【分析】（1）根据是最大的负整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得，，的值； （2）①表示出秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，得出，，求出的值即可； ②分两种情况：当点向右运动时，点表示的数为，当点向左运动时，点表示的数为，分别求出的值即可． 【解答】解：（1）是最大的负整数， ， ， ，， 解得：，， 故答案为：；1；6． （2）①的值不变；理由如下： 秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 的值保持不变； ②当点向右运动时，点表示的数为， ， ， ， 的值不随着时间的变化而变化， ， 解得：， ， 不符合题意舍去； 当点向左运动时，点表示的数为， ， ， 的值不随着时间的变化而变化， ， 解得：； 综上分析可知，当的值不随着时间的变化而变化时，的值为． 【点评】本题考查了整式加减的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2．（2023秋•赣州期末）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）　　； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则　　； ②若，请直接写出所有的整数：　　； ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题； （2）①根据绝对值的定义可以解答本题； ②根据绝对值的定义可以解答本题； ③根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：（1）， 故答案为：4； （2）①， 或， 解得：或， 故答案为：2或； ②， 当时，， 解得：（舍去）， 当时，， 当时，， 解得（舍去）， 由上可得符合要求的整数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3． ③存在， 要使有最大值，则可知为与3之间的距离， 即最大值为，此时的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）． 【点评】本题考查数轴、绝对值，有理数及有理数的加法，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答． 3．（2023秋•成都期末）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题 （1）请直接写出、、的值． 　 　，　　，　　 （2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据是最小的正整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得，，的值； （2）根据的范围，确定，，的符号，然后根据绝对值的意义即可化简； （3）先求出，，从而得出． 【解答】解：（1）是最小的正整数，． 根据题意得：且， ，，． 故答案为：；1；5； （2）当时，，，， 则： ； 当时，，，． ； （3）不变．理由如下： 秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为． ，， ， 即的值不随着时间的变化而改变． （另解）点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动， 、之间的距离每秒钟增加3个单位长度； 点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， 、之间的距离每秒钟增加3个单位长度． 又， 的值不随着时间的变化而改变． 【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 4．（2023秋•凤翔区期末）【数学概念】如图，、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“靠近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“靠近距离”． 【概念理解】如图①，点表示的数是，点表示的数是2． （1）若点表示的数是，则点到线段的“靠近距离”为 　　； （2）若点表示的数是，点到线段的“靠近距离”为3，则的值为 　　（写出所有结果）； 【概念应用】 （3）如图②，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为秒，当点到线段的“靠近距离”为2时，求的值． 【分析】（1）由“靠近距离”的定义，可得答案； （2）点到线段的“靠近距离”为3时，分情况列出方程即可； （3）按照和分类讨论计算即可． 【解答】解：（1）点表示的数是，点表示的数是2，若点表示的数是， ，， 则点到线段的“靠近距离”为2， 故答案为：2； （2）根据两点间的距离可得， ，， 当时，解得或， 当时，解得或， 故的值为或或5； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ，， 当时，解得或0.5， 当时，解得或6， 综上，的值为2.5或0.5或10或6． 【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，数形结合并分类讨论，是解题的关键． 【考点题型九】数轴上的动点综合问题（共4题） 1．（2023秋•广州期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． （1）点表示的数为 　　，点表示的数为 　　，两点之间的距离为 　　； （2）若点为数轴上一点，且，求的值； （3）若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【分析】（1）先由点在原点的左边，距离原点12个单位长度确定点对应的数是，同理可得点表示的数，根据右边的数左边的数两点的距离可得，两点的距离； （2）分点在点的左边和右边，根据线段的和差可得的长； （3）设移动的时间为秒，分别表示三个动点，，表示的数，分四种情况讨论，列等式可解答． 【解答】解：（1）点在原点的左边，距离原点12个单位长度， 点对应的数是， 同理可得点表示的数为2， ，两点之间的距离为：， 故答案为：，2，14； （2）分两种情况： ①当点在点的右边时，； ②当点在点的左边时，； 综上，的值是16或12； （3）设移动的时间为秒，则动点，，对应的数分别为，，， 分三种情况： ①点是的中点时，， ， ， 此时，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：． ②点是的中点时，， ， （舍， ③点是的中点时，因为点的速度小，所以此种情况不存在． ④与重合时，， ， ； 这时三个点表示的数各是：，，． 【点评】此题重点考查解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示移动过程中的点对应的数是解题的关键． 2．（2023秋•泰兴市期末）已知点、、、在数轴上，点和点表示的数分别为、2，点在点的右侧，点在点的右侧，且，． （1）直接写出点和点表示的数分别为：　　、　　； （2）若线段沿着数轴向右以2个单位长度秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度秒的速度运动，设运动的时间为（秒，． ①若和重合，则的值为 　　，若和重合，则的值为 　　； ②若线段和线段重叠部分为1个单位长度，求运动时间的值； ③当时，下面两个式子：①；②中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 　　（填写序号），并求这个定值． 【分析】（1）点表示的数为，且，得到点表示的数；点表示的数为2，，得到点表示的数． （2）①由和重合，得，可求，由和重合，得，可求． ②当点超过点1个单位长度时，可得，可求，当点超过点3个单位长度时，可得，可求． ③根据和时，求出点和点表示的数的范围，同理求出点和点表示的数的范围，再判断定值即可． 【解答】解：（1）点表示的数为，点在点的右侧，且， 点表示的数为， 点表示的数为2，点在点的右侧，， 点表示的数为， 故答案为：，4． （2）①若和重合，则， ； 若和重合，则， ； 故答案为：，． ②当点超过点1个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度， ， ； 当点超过点3个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度， ， ； 故答案为：分钟或分钟； ③答：①是定值，定值是6． 解：当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间， ； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间， ； ， 故答案为：①，6． 【点评】本题考查了数轴的知识，根据题意列出方程是解题关键． 3．（2023秋•台江区期末）数轴上两点、对应的数分别是、，、满足．若有一动点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）　　，　　，并在数轴上面标出、两点； （2）【解决问题】 ①当秒时，数轴上点所表示的数是 　　，所表示的数 　　； ②问点运动多少秒与点相距3个单位长度？ 【分析】（1）根据非负性的性质列等式，进而求出，的值，再在数轴上标出，两点即可； （2）【解决问题】①当秒时，根据，和点和的运动方式即可求出点，的值； ②根据点和点的运动，先表示出和，分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别计算即可． 【解答】解：（1）， ，， ，， 故答案为：8，， 在数轴上面标出、两点，如图： ； （2）①当秒时， 点在点的右侧，点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动， 点表示的数是， 点在点的左侧，动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动， 点表示的数是， 故答案为：5，； ②运动时间为秒，根据，的运动，则，，， 分两种情况： 当点在点的右侧时，， ， 当点在点的左侧时，， ， 点运动秒或3秒时与点相距3个单位长度． 【点评】本题考查数轴和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分情况讨论． 4．（2023秋•高新区校级期末）已知数轴上的点，对应的数分别是，，且，点为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度秒． （1）求点，两点之间的距离； （2）若点向右运动，速度为10单位长度秒，点向左运动，速度为20单位长度秒，点，和三点同时开始运动，点先向右运动，遇到点后立即掉后向左运动，遇到点再立即掉头向右运动，如此往返，当，两点相距30个单位长度时，点立即停止运动，求此时点移动的路程为多少个单位长度？ （3）若点，，三个点都向右运动，点，的速度分别为10单位长度秒，20单位长度秒，点、分别是、的中点，设运动的时间为，在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的值，利用两点间的距离公式即可求出点，两点之间的距离； （2）设点运动时间为秒时，，两点相距30个单位长度，依此列出方程，解方程求出的值，再根据路程速度时间即可求解； （3）先求出运动秒后、、三点所表示的数为，，，再利用利用中点的定义得出表示的数为，表示的数为，进而求解即可． 【解答】解：（1）、 、 （2）设点运动时间为秒时，，两点相距30个单位长度． 由题意得， 解得， 则此时点移动的路程为． 答：走的路程为270； （3）运动秒后、、三点所表示的数为，，， ， ，， ，， 为中点，为中点， 表示的数为，表示的数为， ，， ． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【考点题型十】数轴上的中点、分点综合问题（共3题） 1．（2023秋•双流区期末）点在线段上，在线段，，中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称点为线段的“半分点”． （1）当点是线段的中点时，点 　 　线段的“半分点”（填“是”或“不是” ； （2）已知，若点为线段的“半分点”，求线段的长度； （3）已知点，，是数轴上互不重合的三个点，点为原点，点表示的数是，若存在这三个点中，一个点是另外两个点为端点的线段的“半分点”，求点表示的数的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 【分析】（1）根据“半分点”的定义即可解答； （2）分三种情况：①，②，③，分别列式计算即可解答； （3）当点在点右侧，且时取最大值，当点在点左侧时，且时取最小值，以此列出代数式求解即可． 【解答】解：（1）当点是线段的中点， ， 根据“半分点”的定义，点为线段的“半分点”， 故答案为：是； （2）①当时，点为线段的“半分点”， ， ， ②当时，点为线段的“半分点”，则， ， ． ③当时，点为线段的“半分点”，则， ， ． 综上，的长为或或； （3）点表示的数的最大值与最小值的差为， 理由如下：当点在点的右侧，且时取最大值， 点表示的数是， ，即点表示的数为， 当点在点的左侧，且时取最小值， 点表示的数是， ，即点表示的数为， 点表示的数的最大值与最小值的差为． 【点评】本题主要考查数轴、列代数式，解题的关键是理解“半分点”的定义，利用分类讨论的思想答题． 2．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段的中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【分析】（1）利用含的代数式表示出点，运动秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用线段中点的关系式求得点表示的数，列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）用线段中点的关系式求得点，表示的数，利用题干中的方法求得的长度，化简即可得出结论． 【解答】解：（1）当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， ； 又且， ， 解得：或． 当为或秒时，． （2）当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 由题意得：， ． 当为12秒时，线段的中点与表示的点重合． （3）点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长为5．理由： 当点运动秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为8， 的中点表示的数为，的中点表示的数为， ． 点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长为5． 【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 3．（2023秋•市北区期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 定义：在数轴上，如果线段间从左往右的点，，，，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，，是靠近的第2个等分点，则记为，，是靠近的第个等分点，则记为，． 探究一： 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段的二等分点，表示的数为． 探究二： 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为、，若，则线段上靠近点的第2个五等分点，表示的数为 　 　． 应用一： 如图3，在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 　　； 数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 　　； 若线段上靠近的四等分点，与线段上靠近的十等分点，重合，请求出的值． 应用二： 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点，与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 　　． 【分析】探究二：根据两点间的距离公式，结合五等分点的定义求解即可； 应用一：直接利用两点间的距离公式即可得出线段的距离和线段的距离，再根据等分点的定义，列方程求解即可； 应用二：分点在点左侧以及点在点右侧两种情况，再分，和，重合、，和，重合两种情况，分别列方程求解即可． 【解答】解：探究二：由题意，得，表示的数为． 故答案为：． 应用一：在数轴上两点、表示的数分别为、， 则线段的距离为； 数轴上两点、表示的数分别为、4， 则线段的距离为； 线段上靠近的四等分点，表示的数为， 段上靠近的十等分点，表示的数为， 线段上靠近的四等分点，与线段上靠近的十等分点，重合， ， 解得：． 故答案为：8；10． 应用二：在数轴上两点、表示的数分别为和， 则线段的距离为， ，表示的数为， 由题意得，点表示的为，点表示的数为． 若点在点左侧，则， ，表示的数为，，表示的数为， 当，和，重合时， 所以， 解得：； 当，和，重合时， ， 解得：（不合题意，舍去）． 若点在点右侧，则， ，表示的数为，，表示的数为， 当，和，重合时， 所以， 解得：（不合题意，舍去）； 当，和，重合时， ， 解得：． 综上，或7． 故答案为：或7． 【点评】本题主要考查数轴上两点间的距离公式、列代数式、一元一次方程的应用，仔细阅读题干，理解等分点的定义，根据题意正确列出方程是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$