高一数学期末模拟卷（江苏专用，苏教版2019必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A D C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．11 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）设样本的中位数为， 则， 即，解得； 2分 （2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 5分 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； 8分 （3）方案： 收益 元； 10分 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 12分 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 13分 16．（15分） 【详解】（1）点位于哨所北偏东方向n mile处， 2分 点位于哨所北偏西方向n mile处， ， ， 4分 n mile/h， 走私船的速度大小为n mile/h. 6分 （2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为， ， ， 8分 ，， 走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h， ， 10分 在中，根据余弦定理，， ， 化简得，(舍去)，或， 13分 此时，， 缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船． 15分      17．（15分） 【详解】（1）设， 2分 ，，， 是实数； 4分 （2）设，则， ，， ，① 6分 又， ②， 8分 联立①②，解得， 10分 （3），设， 则， 13分 ，， . 15分 18．（17分） 【详解】（1）（1），又，， 又，平面平面，平面， 3分 又平面，平面平面． 4分 （2）为二面角的平面角． 5分 又因为，平面，平面，所以平面， 所以点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离， 设，在中，由余弦定理可得 ， 所以， 8分 在中，作，垂足为G， 平面，平面，, ，平面，平面， 10分 由等面积法可得：， 12分 设PA与平面PCD所成的角为， 则， 14分 令， 则， 当且仅当时，即，等号成立，取最大值． 所以：PA与平面PCD所成的角最大时，二面角的平面角的余弦值为． 17分 19．（17分） 【详解】（1）因为，所以， 在中，，可得， 所以，即. 3分 （2）（i）在中，由正弦定理得， 可得，即（*）， 5分 由（1）已证：，即， 将 （*）代入得，，即， 解得或（舍去）， 因为，所以. 8分 （ii）在中，由正弦定理得， 即①， 由余弦定理得②， 因为，，,所以，所以③， 在中，由余弦定理得:， 12分 将①，②，③式依次代入即得： ， 15分 因为，所以， 结合正弦函数的图象可得，， 所以，即的取值范围为. 17分 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册。 5．难度系数：0.60 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某地区生产总值指数依次为106.2，103.8，106.9，104.4，106.4，则这组数据的分位数是（   ） A．106.9 B．106.2 C．105.3 D．105.35 2．已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（   ） A．60 B． C．30 D． 5．两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（   ） A．包含于 B． C．与互斥 D． 6．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 8．在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若复数，则 10．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线共面 B． C．点P是线段上的动点，则满足的点P有且只有一个 D．过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 11．在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径是，内切圆半径是，下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 ． 13．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率为 ． 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 16．（15分）某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）      (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 17．（15分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 18．（17分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)当直线与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角的余弦值． 19．（17分）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册。 5．难度系数：0.60 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某地区生产总值指数依次为106.2，103.8，106.9，104.4，106.4，则这组数据的分位数是（   ） A．106.9 B．106.2 C．105.3 D．105.35 2．已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（   ） A．60 B． C．30 D． 5．两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（   ） A．包含于 B． C．与互斥 D． 6．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 8．在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若复数，则 10．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线共面 B． C．点P是线段上的动点，则满足的点P有且只有一个 D．过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 11．在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径是，内切圆半径是，下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 ． 13．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率为 ． 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 16．（15分）某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）      (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 17．（15分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 18．（17分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)当直线与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角的余弦值． 19．（17分）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册。 5．难度系数：0.60 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某地区生产总值指数依次为106.2，103.8，106.9，104.4，106.4，则这组数据的分位数是（   ） A．106.9 B．106.2 C．105.3 D．105.35 【答案】C 【详解】这组数据从小到大为103.8，104.4，106.2，106.4，106.9， 因为，所以这组数据的分位数是． 故选：C 2．已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，则， 所以复数z的共轭复数为. 故选:B． 3．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设非零向量与的夹角为， 由且， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：． 4．如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（   ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【详解】依题意，， 则， ， 所以峡谷的宽度；. 故选：A 5．两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（   ） A．包含于 B． C．与互斥 D． 【答案】D 【详解】随机取出2只，所有可能结果：；；；； ；； 包含：；； ；； 包含：；； 包含：；； 对于A： 包含，故错误； 对于B：，故错误； 对于C：与可以同时发生，故错误； 对于D：，正确； 故选：D 6．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若圆台上下底面半径分别为且，则圆台轴截面腰长为， 所以，，即， 所以，可得，故， 综上，圆台的表面积为. 故选：C 7．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：A 8．在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，因为是菱形，，， 则，是等边三角形，面积固定， 当且时，和的面积最大， 即三棱锥表面积最大， 因为，则， 取的中点E，连接， 则， ， 如图，过球心作平面，则为等边三角形的中心， 则，所以， 又，所以，， 在中，，则， 由勾股定理得， 所以球的半径， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若复数，则 【答案】BCD 【详解】对于A：令，则，，显然不满足，故A错误； 对于B：设，则，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C：设，则，， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，则，故D正确. 故选：BCD 10．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线共面 B． C．点P是线段上的动点，则满足的点P有且只有一个 D．过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 【答案】ABD 【详解】 对于A项，如图①，连接，在正方体中，因为∥，， 所以四边形为平行四边形，故有∥， 又分别是棱的中点，则∥，故∥，即可确定一个平面，故A项正确； 对于B项，如图②，，故B项正确； 对于C项，当P和B重合时，显然AP⊥PC；当P为中点时，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以CP⊥平面， 因为平面，所以CP⊥AP.故满足的点P不止一个，故C错误. 对于D项，如图，延长FE和交于G点，连接交AB于M，连接EM； 同理延长EF和交于H点，连接交于N，连接FN， 则五边形为过直线EF的截面，故D正确. 故选：ABD． 11．在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径是，内切圆半径是，下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 所以，又，，所以或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若， 设，解得， 由余弦定理得， 所以，所以， 因为， 所以，所以，故C正确. 对于D，，所以，所以， 所以，若， 则，又，所以， 所以，所以为锐角三角形，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 ． 【答案】 【详解】由，得①， ②，即，， ∴， ∵，∴.故答案为：. 13．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率为 ． 【答案】/ 【详解】记事件“从甲箱中摸出的1个球是红球”，“从乙箱中摸出的1个球是红球”， “顾客抽奖1次获一等奖”，“顾客抽奖1次获二等奖”， “顾客抽奖1次能获奖”．由题意知与相互独立，与互斥， 与互斥，且， 因为，所以， ． 故所求概率为．故答案为： 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积为 . 【答案】11 【详解】 如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥. 因是上靠近点的四等分点，则， 又是的中点，故， 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的距离的， 故三棱锥的体积； 又因点是的中点，则，故， 又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的， 故四棱锥的体积， 故多面体的体积为故答案为：11. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【详解】（1）设样本的中位数为， 则， 即，解得； 2分 （2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 5分 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； 8分 （3）方案： 收益 元； 10分 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 12分 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 13分 16．（15分）某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）      (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 【详解】（1）点位于哨所北偏东方向n mile处， 2分 点位于哨所北偏西方向n mile处， ， ， 4分 n mile/h， 走私船的速度大小为n mile/h. 6分 （2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为， ， ， 8分 ，， 走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h， ， 10分 在中，根据余弦定理，， ， 化简得，(舍去)，或， 13分 此时，， 缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船． 15分      17．（15分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【详解】（1）设， 2分 ，，， 是实数； 4分 （2）设，则， ，， ，① 6分 又， ②， 8分 联立①②，解得， 10分 （3），设， 则， 13分 ，， . 15分 18．（17分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)当直线与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角的余弦值． 【详解】（1）（1），又，， 又，平面平面，平面， 3分 又平面，平面平面． 4分 （2）为二面角的平面角． 5分 又因为，平面，平面，所以平面， 所以点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离， 设，在中，由余弦定理可得 ， 所以， 8分 在中，作，垂足为G， 平面，平面，, ，平面，平面， 10分 由等面积法可得：， 12分 设PA与平面PCD所成的角为， 则， 14分 令， 则， 当且仅当时，即，等号成立，取最大值． 所以：PA与平面PCD所成的角最大时，二面角的平面角的余弦值为． 17分 19．（17分）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，可得， 所以，即. 3分 （2）（i）在中，由正弦定理得， 可得，即（*）， 5分 由（1）已证：，即， 将 （*）代入得，，即， 解得或（舍去）， 因为，所以. 8分 （ii）在中，由正弦定理得， 即①， 由余弦定理得②， 因为，，,所以，所以③， 在中，由余弦定理得:， 12分 将①，②，③式依次代入即得： ， 15分 因为，所以， 结合正弦函数的图象可得，， 所以，即的取值范围为. 17分 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$