精品解析：四川省江油中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

四川省江油中学2023级高二下期第一次阶段考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 若数列的前5项为，则它的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的每一项与项数之间的关系即可推出数列的通项，再代值检验排除其他选项即得. 【详解】因， 故数列的一个通项公式为， 将代入A，C都不符合，把代入D，不符合. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接求解. 【详解】依题意，. 故选：C 3. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，无解，所以， 所以， 两式相除得， 则， 所以. 故选：B 4. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（ ）． A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 【答案】B 【解析】 【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列，利用等差数列通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长． 【详解】由题意知： 从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为， 冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸， ，解得，， 芒种日影长为（寸）尺5寸． 故选：B 5. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的性质分析运算即可得解. 【详解】解：∵数列是等差数列，且， ∴，可得，则. ∵数列是等比数列，∴，又由题意， ∴，∴， ∴， ∴. 故选：D． 7. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因为，所以或5时，取得最大值. 故选：C 8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（ ） A. 1 B. 0 C. 1007 D. ﹣1006 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用数列的关系式的应用归纳关系式所表现的规律，进一步求出结果． 【详解】由于， 所以. 故选：A． 【点睛】本题考查了数列求值，归纳推理，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定数列规律是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和运算法则逐一求解即可. 【详解】对于A，因为为常函数，则，故A正确； 对于B，若，所以，故B错误； 对于C，若，所以，故C正确； 对于D，若，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 记是等差数列的前项和，且，则（ ） A. B. 为递增数列 C. 的最小值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据等差数列的性质得到，结合，得到A正确；B选项，由公差得到B正确；C选项，，，故最小；D选项，根据等差数列的性质得到. 【详解】A选项，由等差数列性质可得，故， 即，又，故，A正确； B选项，的公差，故为递增数列，B正确； C选项，因为，，，故最小，C错误； D选项，，D正确. 故选：ABD 11. 已知均为递增等比数列，且.设分别为数列的前项积，若，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和小于 【答案】BCD 【解析】 【分析】先构造，前项和为，，前项和为，根据两边取对数构造数列，设首项为，再根据等差数列的性质可得，，，.对A，两边取对数后根据，判断即可；对B，两边取对数后根据通项公式判断即可；对C，根据，判断即可；对D，代入通项公式根据裂项相消求和判断即可. 【详解】因为均为递增等比数列，且，设公比分别为，则. 则当时，为定值，且，， 设，则是首项为，公差为的等差数列，设其前项和为， 同理设，则是首项为，公差为的等差数列，设其前项和为， 则，同理， 由可得，即. 当时，则设首项为，公差为，则首项为，公差为， 又，则， 即，化简得， 故，，则，. 故，. ，. 综上有，，，. 对A，若则，即，但，，即，故A错误； 对B，若，则，即， 又，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D， ，故其前项和，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系求解即可. 【详解】当时，， 当时，不满足上式， 则. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】判断出是周期为4的数列可得答案. 【详解】由题设，则，而， 所以， 故是周期为4的数列，且， 所以． 故答案为：． 14. 如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两正半轴上运动，第一秒运动到，而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过秒时移动的位置设为，那么经过2025秒时，这个粒子所处的位置的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设粒子运动到，，…，（其中表示横坐标，纵坐标一样时的粒子坐标）时所用的时间分别为，，…，，根据题设得到，应用累加法得，根据粒子运动规律得1980秒时它到点，进而确定经过2025秒时粒子对应坐标. 【详解】设粒子运动到，，…，（其中表示横坐标，纵坐标一样时的粒子坐标）时所用的时间分别为，，…，， 则，，，，…，即且， 所以，，，…，， 相加得，所以，显然满足， 又，故1980秒时它到点， 又由运动规律知，，…，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， 故到达时向左运动44秒到达，即运动2024秒时，这个粒子所处的位置的坐标，再向上一秒即. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，其中15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合前项和公式求解即可； （2）利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以. 根据公式，可得. （2）设等比数列的首项为，公比为，因为，， 由等比数列的性质可得，，又， ，， ，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以， 所以或. 16. 已知函数的导函数为，且. （1）求的值； （2）求在处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由求的值； （2）求出切线的斜率及切点坐标，从而求出曲线在处的切线的方程. 【小问1详解】 由已知得， 又，故； 【小问2详解】 由（1），则曲线在处切线的斜率为，切点坐标为， 曲线在处切线的方程为， 即. 17. 等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且． （1）求与； （2）证明：． 【答案】（1）; （2）证明： 由（1）得， 则， 则， 则 . 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项列出方程组，解出公差和公比，从而求得数列的通项公式； （2）先求出等差数列求和公式求得，再利用裂项相消法求和，从而证得结果． 【小问1详解】 设公差为，公比为， 则， 解得或（舍去）， 则； 【小问2详解】 略. 18. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为万元． （1）求；写出{}的递推公式； （2）设， 证明数列{}为等比数列； （3）求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）. 【答案】（1），， （2）证明：由于，则，即 ， 且， 故{}为等比数列，且公比为，首项为； （3）至少需经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列关系求解， （2）根据，结合等比数列的定义即可求证， （3）根据，即可取对数求解不等式得解. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，因此， 令，则， 取对数可得， 故， 故至少需经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标. 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和. （3）已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 【答案】（1） 由题意知：，， 又，，即， 所以是数列的生成函数； （2）. （3） 由题意知：，， ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 又，，， 则当时，， 即，. 【解析】 【分析】（1）由数列新定义求解即可； （2）由等差数列的基本量法求出数列的通项，再由错位相减法求和即可； （3）先由数列新定义证明数列是以为首项，为公比的等比数列，得到通项，然后表达出再结合所给不等式变形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 所以 ， 两式相减得：， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油中学2023级高二下期第一次阶段考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 若数列的前5项为，则它的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 3. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 4. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（ ）． A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 5. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（ ） A. 1 B. 0 C. 1007 D. ﹣1006 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 记是等差数列的前项和，且，则（ ） A. B. 为递增数列 C. 的最小值为 D. 11. 已知均为递增等比数列，且.设分别为数列的前项积，若，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和小于 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，则_________. 13. 已知数列满足，则_________． 14. 如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两正半轴上运动，第一秒运动到，而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过秒时移动的位置设为，那么经过2025秒时，这个粒子所处的位置的坐标是_________. 四、解答题：（本题共5小题，其中15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 16. 已知函数的导函数为，且. （1）求的值； （2）求在处的切线方程. 17. 等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且． （1）求与； （2）证明：． 18. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为万元． （1）求；写出{}的递推公式； （2）设， 证明数列{}为等比数列； （3）求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）. 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和. （3）已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $