高二数学期末模拟卷（苏教版2019，选择性必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 2．对于变量，其部分成对的观测值如下表所示： 1 2 3 4 5 2 6 7 8 12 已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2 3．从这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 4．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 5．随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 10．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（    ） A．当时， B． C．随机变量，当，都减小时，概率增大 D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面 B．若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为 C．若动点满足，则的最小值是 D．若动点在上，点在上，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为 ． 13．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： (1)a的值; (2)展开式中的系数（用数字作答）： (3)从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取800个样本，一级品有600个，其余均为二级品．在乙生产线生产的保温杯中抽取2000个样本，一级品有1600个，其余均为二级品． (1)根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异？ 一级品 二级品 合计 甲生产线 乙生产线 合计 (2)现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取8个保温杯，再从这8个保温杯中随机抽取3个保温杯，记抽取的3个保温杯中一级品的个数为，求的分布列和数学期望． (3)用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，记其中一级品的保温杯个数为，求使事件“”的概率最大时r的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18．（17分） 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； (3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 19．（17分） 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C B D B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．15 13．； 14． 或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）根据展开式的通项可得， 令，解得， 即时，常数项， 解得；（4分） （2）由（1）知， 令，解得， 故展开式中的系数为；（8分） （3）令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项， 取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量，（2分） 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故，， 又平面，所以平面；（5分） （2）因为，设平面的法向量为， 则，令得，取，（8分） 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（11分） （3）又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为（15分） 17．（15分） 【解析】（1）依题意，列联表如下： 一级品 二级品 合计 甲生产线 600 200 800 乙生产线 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 零假设：甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率无差异，（2分） 根据列联表中数据，经计算得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01. （5分） （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个保温杯中，一级品保温杯有个，二级品有2个， 随机变量的可能值为1，2，3， ，（7分） 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望为.（10分） （3）依题意，乙生产线的一级品率为， 从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，一级品的保温杯个数， 则，（12分） 当时，， 由，解得，而，则当时，递增； 由，解得，而，则当时，递减，（14分） 所以使事件“”的概率最大时r的值为80. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为， 设抽取的三人中满分人数为，则， 则，， ，，（4分） 则的分布列为： （2）用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”， 则，， 用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”， 则，且， 又因为 所以，（6分） 故， 所以.（8分） （3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”， 设次传球后球在乙手中的概率为，， 则有，所以，（9分） 所以 ， 即，，（13分） 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即第次传球后球在乙手中的概率.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点（3分） （2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即（6分） 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即．（9分） ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为．（10分） 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差．（12分）     I．：当时，有 即． II．     当n足够大时，有 当时，（16分） 当时， 故． 综上所述，可以认为．（17分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．__________，___________ 14．__________，___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 2．对于变量，其部分成对的观测值如下表所示： 1 2 3 4 5 2 6 7 8 12 已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2 3．从这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 4．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 5．随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 10．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（    ） A．当时， B． C．随机变量，当，都减小时，概率增大 D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面 B．若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为 C．若动点满足，则的最小值是 D．若动点在上，点在上，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为 ． 13．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： (1)a的值; (2)展开式中的系数（用数字作答）： (3)从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取800个样本，一级品有600个，其余均为二级品．在乙生产线生产的保温杯中抽取2000个样本，一级品有1600个，其余均为二级品． (1)根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异？ 一级品 二级品 合计 甲生产线 乙生产线 合计 (2)现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取8个保温杯，再从这8个保温杯中随机抽取3个保温杯，记抽取的3个保温杯中一级品的个数为，求的分布列和数学期望． (3)用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，记其中一级品的保温杯个数为，求使事件“”的概率最大时r的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18．（17分） 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； (3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 19．（17分） 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【解析】对于A，在的投影向量与共线，则投影向量的横坐标为0，A错误； 对于B，当夹角为0时，也满足，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，在中，，则P，A，B，C四点共面，D正确. 故选：D 2．对于变量，其部分成对的观测值如下表所示： 1 2 3 4 5 2 6 7 8 12 已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2 【答案】B 【解析】由条件可知，，， 线性回归方程必过点，所以，所以. 故选：B 3．从这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【解析】因为百位数字不能为0，所以百位数有种排法； 十位，个位无条件限制，可从剩余的4个数字（包含0）中任选2个进行排列，有种排法. 这是组成一个三位数的两个步骤，由分步乘法计数原理可得，所有满足条件的三位数的个数为：. 故选：C 4．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为可看成个相乘， 由多项式的乘法及组合，得展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为， 故选：B. 5．随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 因为，解得， 因为，， 所以，， 故. 故选：D. 6．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组， 所以，， 所以. 故选：B. 7．在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】经过点的直线的方程为，即， 则直线的一个方向向量为. 又经过点的平面的方程为， 即，所以的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为，则. 故选：A 8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（    ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A．若，则认为“毛色”和“角”无关 B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若，则认为“毛色”和“角”无关 D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【答案】BC 【解析】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. 10．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（    ） A．当时， B． C．随机变量，当，都减小时，概率增大 D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 【答案】BD 【解析】对于A：当时，，故A错误； 对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确； 对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴， 根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误． 故选：BD. 11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面 B．若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为 C．若动点满足，则的最小值是 D．若动点在上，点在上，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于选项A，当运动到点时，易知不垂直于， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于选项B，如图，设， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形即截面， 由题意得为等腰直角三角形，则， 由，得，则，， 所以，， 同理可得，， 因为分别为的中点， 所以，则截面周长为，故B正确； 对于选项C，由，得平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆， 空间中点的轨迹是球面，球心在直线上， 由得；得， 则半径，， 则， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设且， 因， 则， 则，令，则， 所以异面直线AC和的距离为， 因的最小值即异面直线和的距离， 故的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为， 令可得， 令可得， 所以. 故答案为： 13．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【答案】 【解析】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【答案】 或 【解析】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： (1)a的值; (2)展开式中的系数（用数字作答）： (3)从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 【解析】（1）根据展开式的通项可得， 令，解得， 即时，常数项， 解得；（4分） （2）由（1）知， 令，解得， 故展开式中的系数为；（8分） （3）令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项， 取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. （13分） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，⊥，，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量，（2分） 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故，， 又平面，所以平面；（5分） （2）因为，设平面的法向量为， 则，令得，取，（8分） 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（11分） （3）又平面的法向量， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为（15分） 17．（15分） 某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取800个样本，一级品有600个，其余均为二级品．在乙生产线生产的保温杯中抽取2000个样本，一级品有1600个，其余均为二级品． (1)根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异？ 一级品 二级品 合计 甲生产线 乙生产线 合计 (2)现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取8个保温杯，再从这8个保温杯中随机抽取3个保温杯，记抽取的3个保温杯中一级品的个数为，求的分布列和数学期望． (3)用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，记其中一级品的保温杯个数为，求使事件“”的概率最大时r的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）依题意，列联表如下： 一级品 二级品 合计 甲生产线 600 200 800 乙生产线 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 零假设：甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率无差异，（2分） 根据列联表中数据，经计算得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01. （5分） （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个保温杯中，一级品保温杯有个，二级品有2个， 随机变量的可能值为1，2，3， ，（7分） 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望为.（10分） （3）依题意，乙生产线的一级品率为， 从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，一级品的保温杯个数， 则，（12分） 当时，， 由，解得，而，则当时，递增； 由，解得，而，则当时，递减，（14分） 所以使事件“”的概率最大时r的值为80. （15分） 18．（17分） 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； (3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 【解析】（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为， 设抽取的三人中满分人数为，则， 则，， ，，（4分） 则的分布列为： （2）用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”， 则，， 用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”， 则，且， 又因为 所以，（6分） 故， 所以.（8分） （3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”， 设次传球后球在乙手中的概率为，， 则有，所以，（9分） 所以 ， 即，，（13分） 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即第次传球后球在乙手中的概率.（17分） 19．（17分） 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【解析】（1）对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点（3分） （2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即（6分） 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即．（9分） ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为．（10分） 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差．（12分）     I．：当时，有 即． II．     当n足够大时，有 当时，（16分） 当时， 故． 综上所述，可以认为．（17分） 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．__________，___________ 14．__________，___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$