专题05 几何图形初步（考点串讲，5大考点+14大题型突破+4大易错）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024五四制）

六年级数学下学期·期末复习大串讲 专题05 几何图形初步 人教版五四制2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 十四大题型典例剖析 四大易错易混经典例题 精选4道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 题型1生活中的画面情境在建几何模型中的应用 1. 如图是一个蒙古包，构成蒙古包的近似几何体是(　B　) A. 圆锥和长方体 B. 圆锥和圆柱 C. 圆锥和正方体 D. 长方体和圆柱 B 专项突破一　几何图形初步认识的六种常见题型 题型剖析 2. 如图，是一个药瓶的示意图，它可以近似看成是两个 ⁠ (填几何体的名称)组成的. 圆 柱　 题型2图形的特征在认识平面图形、立体图形中的应用 3. 下列图形属于平面图形的是(　D　) A. 正方体 B. 球 C. 圆柱 D. 三角形 D 4. [2023巴中]下列图形中为圆柱的是(　B　) A B C D B 5. 下列几何体的表面中，不含有曲面的是(　B　) A. 圆柱 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 球体 B 6. [教材P157练习T3变式]如图，将长方形绕着它的一边所在的直线 l 旋转一周，可以得到的立体图形是(　B　) B A B C D 题型3常见立体图形的特征在分类中的应用 7. [2024烟台福山区期末]下列四个几何体中，从柱体和锥体的角度看，不同于另外三个图形的是(　A　) A B A C D 8. 下列几何体中，属于棱柱的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 9. 【新考向·数学文化】我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它从前面看是(　B　) B 题型4常见立体图形在视图中的应用 A B C D 10. 图①是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体，变成图②的几何体，则移动前后(　D　) A. 从前面看的形状图改变，从左面看的形状图改变 B. 从前面看的形状图改变，从左面看的形状图不变 C. 从前面看的形状图不变，从左面看的形状图不变 D. 从前面看的形状图不变，从左面看的形状图改变 D 11. 用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体从前面、左面和上面看到的面积分别表示为 S1， S2， S3，则 S1， S2， S3的大小关系是 ⁠ (用“＜”从小到大连接). S3＜ S2 ＜ S1　 题型5立体图形的展开与折叠在辨识相对面中的应用 12. [教材P159习题T8变式]将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是(　A　) A. 校 B. 安 C. 平 D. 园 A 13. 【新考法·空间想象法】如图，一个正方体的六个面上分别标有 A ， B ， C ， D ， E ， F ，从三个不同方向看到的情况如图所示，则 A 的对面应该是字母 (　B　) A. B B. C C. E D. F B 题型6立体图形的展开图在计算中的应用 14. [2024西安高新区期末]一个圆柱的侧面展开图如图所示。 (1)圆柱的底面半径为 ⁠； 点拨：圆柱的底面半径为6π÷π÷2＝3. 3　 (2)若圆柱的高为10，求该圆柱的体积. 解：(2)该圆柱的体积为π×32×10＝90π. 15. 【新视角·操作实践题】小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图①、图②所示.请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： (1)小明共剪开了 条棱；动手操作： 8　 (2)现在小明想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图③)，小明在图①中补全图形有 种方法，请画出其中一种； 4　 解：(2)如图，画出一种即可. 解决问题： (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体纸盒的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880 cm，求这个纸盒的体积. 解：(3)根据题意可设长方体纸盒的高为 a cm，则长与 宽均为5 a cm，因为长方体纸盒所有棱长的和是880 cm， 所以4( a ＋5 a ＋5 a )＝880， 解得 a ＝20，此时5 a ＝100. 所以这个纸盒的体积为20×100×100＝200 000(cm3). 类型1线段、角的和差关系在计算中的应用 1. 【情境题·方案策略型】如图，某公司员工住在 A ， B ， C 三个住宅区， A 区有30人， B 区有15人， C 区有10人.三个住宅区在同一条直线上，为接送员工方便，公司打算在三个住宅区的某区设一个班车停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那么停靠站的位置应设在哪个区？ 专项突破二　线段、角的计算的四种常见类型 解：当停靠站设在 A 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×0＋15×100＋10×(100＋200)＝4 500(m). 当停靠站设在 B 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×100＋15×0＋10×200＝5 000(m). 当停靠站设在 C 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×(100＋200)＋15×200＋10×0＝12 000(m). 因为4 500＜5 000＜12 000，所以停靠站的位置应设在 A 区. 2. [2024淮北第二中学月考]如图，已知∠ BOC ＝3∠ AOB ， OD 平分∠ AOC ，且∠ BOC ＝120°，求∠ BOD 的度数. 解：因为∠ BOC ＝3∠ AOB ，∠ BOC ＝120°， 所以∠ AOB ＝ ×120°＝40°. 所以∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ BOC ＝120°＋40°＝160°. 因为 OD 平分∠ AOC ， 所以∠ AOD ＝ ×∠ AOC ＝ ×160°＝80°. 因为∠ BOD ＝∠ AOD －∠ AOB ， 所以∠ BOD ＝80°－40°＝40°. 类型2线段、角的倍分关系在计算中的应用 3. 【新考法·分类讨论法】如图所示，数轴上有两点 A ， B ，动点 P 从点 O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 t 秒. (1)线段 AB 的长为 ⁠； 8　 (2)当 t ＝1时，线段 PA 的长是 ；此时线段 PA 与线段 PB 的数量关系是 ⁠； (3)当 PA ＝2 PB 时，求 t 的值. 解：(3)如图①，当点 P 在点 B 左侧时， 4　 相等　 ① 根据题意可得，2 t ＋2＝2(6－2 t )，解得 t ＝ . 如图②，当点 P 在点 B 右侧时， ② 根据题意可得，2 t ＋2＝2(2 t －6)，解得 t ＝7. 综上， t 的值为 或7. 4. [2024烟台期末]如图，将直角三角板 OMN 的直角顶点 O 放在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AON . (1)当∠ BON ＝60°时，求∠ COM 的度数； 解：(1)30°. (2)若∠ AOM ＝2∠ COM ，求∠ AON 的度数. 解：(2)135°. 类型3线段的中点在计算中的应用 5. [2024温州一模]已知点 C 为线段 AB 上一动点，点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点. (1)如图，若线段 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，求线段 DE 的长； 解：(1)因为 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm， 所以 BC ＝ AB － AC ＝6(cm). 因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点， 所以 CE ＝ CB ＝3 cm， DC ＝ AC ＝2 cm， 所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝2＋3＝5(cm). (2)若线段 AB 的长为 a ，则线段 DE 的长为 (用含 a 的代数式表示). 点拨：因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点，所以 CE ＝ CB ， DC ＝ AC . 因为 AB ＝ a ，所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝ ( AC ＋ BC ) ＝ ＝ . 　 6. [2024西安高新区一模]如图，已知线段 AB 和 CD 的公共部分为 BD ，且 BD ＝ AB ＝ CD ，线段 AB ， CD 的中点 E ， F 之间距离是20，求 AB ， CD 的长. 解：设 BD ＝ x ，则 AB ＝3 x ， CD ＝4 x ， AC ＝6 x . 因为点 E ， F 分别为 AB ， CD 的中点， 所以 AE ＝ AB ＝1.5 x ， CF ＝ CD ＝2 x .　 所以 EF ＝ AC － AE － CF ＝2.5 x .　 因为 EF ＝20，所以2.5 x ＝20，解得 x ＝8. 所以 AB ＝24， CD ＝32. 类型4角平分线在计算中的应用 7. [2024青岛市北区期末]如图，已知∠ AOB ∶∠ BOC ＝3∶2， OD 是∠ BOC 的平分线， OE 是∠ AOC 的平分线，且∠ BOE ＝12°，求∠ DOE 的度数. 解：36°. 8. 【新趋势·学科内综合】已知：∠ AOB ＝120°，∠ COD ＝90°， OE 平分∠ AOD . (1)如图①，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 内部时，若∠ COE ＝40°，求∠ BOD 的度数； 解：(1)因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝40°， 所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－40°＝50°. 因为 OE 平分∠ AOD ， 所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝100°. 因为∠ AOB ＝120°， 所以∠ BOD ＝∠ AOB －∠ AOD ＝120°－100°＝20°. (2)如图②，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 外部，且0°＜∠ BOD ＜60°时，设∠ COE ＝α，∠ BOD ＝β，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明. 解：(2)数量关系：2α＋β＝60°. 证明：因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝α， 所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－α. 因为 OE 平分∠ AOD ， 所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝2(90°－α)＝180°－2α. 因为∠ AOB ＝120°， 所以β＝∠ AOD －∠ AOB ＝180°－2α－120° ＝60°－2α，即2α＋β＝60°. 题型1分类讨论思想在线段和角的计算中的应用 1. [2024成都期末]点 O 为数轴的原点，点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，点 A 表示的数为5，线段 AB 的长为线段 OA 长的1.2倍.点 C 在数轴上， M 为线段 OC 的中点. (1)点 B 表示的数为 ⁠； (2)若线段 BM 的长为4.5，则线段 AC 的长为 ⁠； －1　 2或16　 专项突破三　数学思想在线段和角的计算中的应用 (3)若线段 AC 的长为 x ，求线段 BM 的长(用含 x 的式子表示). 解：(3)①当点 C 在点 A 的右侧(或重合)时，如图①， ① 则点 C 表示的数为5＋ x . 因为 M 为线段 OC 的中点， 所以点 M 表示的数为 . 所以 BM ＝ －(－1)＝ . ②当点 C 在点 A 的左侧时，点 C 表示的数为5－ x ， 所以点 M 表示的数为 . ⅰ)若点 M 在点 B 的右侧(或重合)，如图②，则 BM ＝ －(－1)＝ . ② ⅱ)若点 M 在点 B 的左侧，如图③，则 BM ＝－1－ ＝ . ③ 2. [2024怀化模拟]如图，已知点 O 在直线 AB 上，作射线 OC ，点 D 在平面内，∠ BOD 与∠ AOC 互余. (1)若∠ AOC ∶∠ BOD ＝4∶5，则∠ BOD ＝ ⁠； 50°　 (2)若∠ AOC ＝α(0°＜α≤45°)， ON 平分∠ COD ，补全图形，求出∠ AON 的值(用含α的式子表示). 解：(2)因为∠ BOD 与∠ AOC 互余， 所以∠ BOD ＋∠ AOC ＝90°. 当点 D 在∠ BOC 内，0°＜α≤45°时，补全图形如图①. 则易知∠ COD ＝90°. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°. 所以∠ AON ＝α＋45°. ① ② 当点 D 在∠ BOC 外，0°＜α≤45°时，补全图形如图②. 易知∠ BOD ＝90°－α. 因为∠ AOB ＝180°， 所以∠ AOD ＝180°－(90°－α)＝90°＋α. 所以∠ COD ＝90°＋2α. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°＋α. 所以∠ AON ＝∠ CON －∠ AOC ＝45°. 综上所述，∠ AON 的值为45°或α＋45°. 题型2方程思想在线段和角的计算中的应用 3. [2024北京朝阳区期末]如图，点 C 把线段 MN 分成两部分，其比为 MC ∶ CN ＝5∶4，点 P 是 MN 的中点， PC ＝2 cm，求 MN 的长. 解：因为 MC ∶ CN ＝5∶4， 所以设 MC ＝5 x cm，则 CN ＝4 x cm. 所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝5 x ＋4 x ＝9 x (cm). 因为点 P 是 MN 的中点， 所以 PN ＝ MN ＝ x (cm). 因为 PC ＝ PN － CN ， 所以 x －4 x ＝2，解得 x ＝4. 所以 MN ＝9×4＝36(cm). 4. 如图，已知 AB 为一条直线， O 是 AB 上一点， OC 平分∠ AOD ， OE 在∠ BOD 内，∠ DOE ＝ ∠ BOD ，∠ COE ＝75°.求∠ EOB 的度数. 解：设∠ AOD 的度数为 x °，则∠ BOD ＝(180－ x )°. 因为 OC 平分∠ AOD ，∠ DOE ＝ ∠ BOD ， 所以∠ COD ＝ ∠ AOD ＝ °，∠ DOE ＝ (180－x )°. 又因为∠ COE ＝∠ COD ＋∠ DOE ＝75°， 所以 ＋ ＝75，解得 x ＝90. 所以∠ BOD ＝90°.所以∠ DOE ＝30°. 所以∠ EOB ＝∠ BOD －∠ DOE ＝60°. 题型3整体思想在线段和角的计算中的应用 5. 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点. (1)如果 AB ＝10 cm， AM ＝3 cm，求 CN 的长； 解：(1)因为 M 是 AC 的中点，所以 AC ＝2 AM . 因为 AM ＝3 cm，所以 AC ＝2×3＝6(cm). 因为 AB ＝10 cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝10－6＝4(cm). 又因为 N 是 BC 的中点， 所以 CN ＝ BC ＝ ×4＝2(cm). (2)如果 MN ＝6 cm，求 AB 的长. 解：(2)因为 M 是 AC 的中点，所以 MC ＝ AC . 因为 N 是 BC 的中点，所以 CN ＝ CB . 所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝ AC ＋ CB ＝ ( AC ＋ CB )＝ AB . 又因为 MN ＝6 cm，所以 AB ＝2×6＝12(cm). 6. [2024苏州二模]已知， OM 和 ON 分别平分∠ AOC 和∠ BOC . (1)如图，若 C 为∠ AOB 内一点，探究∠ MON 与∠ AOB 的数量关系； 解：(1)∠ MON ＝ ∠ AOB . (2)若 C 为∠ AOB 外一点，且 C 不在 OA ， OB 的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠ MON 与∠ AOB 的数量关系. 解：(2)当 C 在如图①所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB . 当 C 在如图②所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB . 当 C 在如图③所示的位置时，∠ MON ＝180°－ ∠ AOB . ① ② ③ 题型4特殊到一般思想在线段和角的计算中的应用 7. [2024济宁期末]探究题：如图，已知线段 AB ＝12 cm，点 C 为 AB 上的一个动点，点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点.(1)若点 C 恰好是 AB 的中点，则 DE ＝ cm； 6　 (2)若 AC ＝4 cm，求 DE 的长； 解：(2)因为 AB ＝12 cm， AC ＝4 cm，所以 BC ＝8 cm. 因为点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点， 所以 CD ＝ AC ＝2 cm， CE ＝ BC ＝4 cm.所以 DE ＝ CD ＋ CE ＝6 cm. (3)试利用“字母代替数”的方法，设 AC ＝ a cm，请说明不论 a 取何值( a 不超过12 cm)， DE 的长不变. 解：(3)因为 AC ＝ a cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝(12－ a ) cm.因为点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点， 所以 CD ＝ AC ＝ cm， CE ＝ BC ＝ cm. 所以 DE ＝ CD ＋ CE ＝6 cm. 所以不论 a 取何值( a 不超过12 cm)， DE 的长不变. 8. 刘星对几何中的角平分线兴趣浓厚，请你和他一起探究下面的问题.已知∠ AOB ＝100°，射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线. (1)如图①，若射线 OC 在∠ AOB 的内部，且∠ AOC ＝30°，求∠ EOF 的度数； 解：(1)因为∠ AOB ＝100°，∠ AOC ＝30°， 所以∠ BOC ＝∠ AOB －∠ AOC ＝70°. 因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线， 所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ＝15°，∠ FOC ＝ ∠ BOC ＝35°. 所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝15°＋35°＝50°. (2)如图②，若射线 OC 在∠ AOB 的内部绕点 O 旋转，求∠ EOF 的度数； 解：(2)因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线， 所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ，∠ FOC ＝ ∠ BOC . 所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝ (∠ AOC ＋∠ BOC ) ＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°. (3)若射线 OC 在∠ AOB 的外部绕点 O 旋转(旋转过程中∠ AOC ，∠ BOC 均小于180°)，其余条件不变，请借助图③探究∠ EOF 的大小. 解：(3)①当射线 OE ， OF 只有1条在∠ AOB 的外部时，如图①， 则∠ EOF ＝∠ FOC －∠ COE ＝ ∠ BOC － ∠ AOC ＝ (∠ BOC －∠ AOC )＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°. ②当射线 OE ， OF 都在∠ AOB 的外部时，如图②， 则∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ COF ＝ ∠ AOC ＋ ∠ BOC ＝ (∠ AOC ＋∠ BOC ) ＝ (360°－∠ AOB )＝ ×260°＝130°. 易混易错 1. [2024·广州番禺区期末]已知∠ A ＝53°17'，则它的补角是(　D　) A. 36°43' B. 53°17' C. 127°17' D. 126°43' D 押题预测 2. [2024湖北襄阳期末]如图， OA 表示北偏东20°方向的一条射线， OB 表示南偏西50°方向的一条射线，则∠ AOB 的度数是(　D　) A. 100° B. 120° C. 140° D. 150° D 3. [新考向·地域文化 2024·保定竞秀区期末]“这么近，那么美，周末到河北.”庆都山－唐尧古镇是唐尧故里，拥有厚重的历史沉淀，携带着古韵质朴的气息，见证着时光变换的风情画卷.为了行人便利，某十字路口设俯视示意图如图.若想走近路，在从位置 A 到位置 C 的两条路径“ A → C ”和“ A → B → C ”中，你会选择路径 ⁠，选择的依据是 ⁠. A → C 　 两点之间线段最短　 4. [2024南京期末]如图，线段 BD ＝ AB ＝ CD ，点 E ， F 分别是线段 AB ， CD 的中点， EF ＝14 cm，求线段 AC 的长. 解：因为 BD ＝ AB ＝ CD ， 所以设 BD ＝ x cm， 则 AB ＝4 x cm， CD ＝5 x cm.所以易知 AC ＝8 x cm. 又因为点 E ， F 分别是线段 AB ， CD 的中点， 所以 AE ＝ AB ＝2 x cm， FC ＝ CD ＝ x cm. 又因为 EF ＝14 cm， AC － AE － FC ＝ EF ， 所以8 x －2 x － x ＝14， 解得 x ＝4. 所以 AC ＝32 cm. $$