期末复习专题8——三角形的中位线 提升练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册期末 复习专题8——三角形的中位线 （提升练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    ) A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 2.如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3.在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．14 D．16 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE=2，则菱形的周长为 （     ） A．10 B．12 C．16 D．20 6.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（  ） A．50° B．40° C．30° D．20° 7.如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8.如图，是线段边上的一动点，，，，，，、分别是、的中点，随着点 的运动，线段 长（ ） A. 随着点 P的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.顺次连接四边形各边、、、中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： _______． 10.如图，矩形中，点、点分别是和的中点，连接，若，则______． 11.如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________． 12.如图，在中，，分别为的中点．若，则的长度为 _____． 13.如图，在中，平分，，E是的中点．若，，则__________． 14.如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是__． 15.如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 16.如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD=90°；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 18.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．求证：EF＝CD． 19.如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为． (1)求证． (2)若，，求的长度． 20.如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点，若，．   （1）求证：为的角平分线； （2）求的长． 21.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，． （1）求证：； （2）写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）写出x为何值时，？ 22.如图所示，菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A、B重合），线段的垂直平分线分别交于点F，G；的中点分别为点M，N． （1）求证：； （2）求的最小值； （3）在点E的运动过程中，的大小是否变化?若没有变化，请求出的度数；若有变化，请说明变化情况． 23.如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、． （1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 24.问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路： 反思交流： （1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据　 ； 依据　 　； ②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由； 创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究： （2）如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由； （3）若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    ) A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】C 2.如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 3.在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．14 D．16 【答案】A 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE=2，则菱形的周长为 （     ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】C 6.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（  ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 7.如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 8.如图，是线段边上的一动点，，，，，，、分别是、的中点，随着点 的运动，线段 长（ ） A. 随着点 P的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.顺次连接四边形各边、、、中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： _______． 【答案】垂直 10.如图，矩形中，点、点分别是和的中点，连接，若，则______． 【答案】2 11.如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________． 【答案】 12.如图，在中，，分别为的中点．若，则的长度为 _____． 【答案】 13.如图，在中，平分，，E是的中点．若，，则__________． 【答案】7 14.如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是__． 【答案】27 15.如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 16.如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD=90°；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 【答案】 6 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 【答案】∵，于点D， ∴．                     ∵， ∴．                             ∵于点D， ∴， ∴在中，．     ∵， ∴，         ∵E为AB的中点， ∴． 18.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．求证：EF＝CD． 【答案】证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点， 则CD＝AB， ∵E，F分别是边AC，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝AB， ∴EF＝CD． 19.如图，线段是的角平分线，取中点，连接，过点作的垂线段垂足为． (1)求证． (2)若，，求的长度． 【答案】（1）证明：延长CE交AB于F， ∵AM是∠CAB的角平分线， ∴∠CAM=∠BAM， 在△CAE和△FAE中，， ∴△CAE≌△FAE（ASA）， ∴CE=EF， ∵CN=NB， ∴EN是△CFB的中位线， ∴； （2）解：由（1）可知，△CAE≌△FAE， ∴AF=AC=13， ∴BF=AB-AF=24， ∵EN是△CFB的中位线， ∴EN=BF=． 20.如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点，若，．   （1）求证：为的角平分线； （2）求的长． 【答案】（1）证明：， ， 为斜边的中点，F为中点， 是的中位线， ， ， ， 为的角平分线． （2）解：为斜边的中点，F为中点，， ， ， ， 在中，D为斜边的中点， ． 21.如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，． （1）求证：； （2）写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）写出x为何值时，？ 【答案】（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接 ∵，点D是边的中点， ∴都是三角形中位线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ 即 ∵E是边上的一个动点（不与A、B重合）， ∴； （3）解：连接，当E与H重合时，， ∵此时， ∴当时，． 22.如图所示，菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A、B重合），线段的垂直平分线分别交于点F，G；的中点分别为点M，N． （1）求证：； （2）求的最小值； （3）在点E的运动过程中，的大小是否变化?若没有变化，请求出的度数；若有变化，请说明变化情况． 【答案】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是线段的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：不变，为； 如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是定值，为． 23.如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、． （1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 【答案】（1）证明：、分别是边、的中点． ∴，． 同理，，． ∴，． 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上． 理由：由（1）得出四边形是平行四边形， 点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上时， 可得，， ， 平行四边形是菱形． 24.问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路： 反思交流： （1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据　 ；依据　 　； ②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由； 创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究： （2）如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由； （3）若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　． 【答案】（1）解：①依据1：三角形的中位线定理； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②菱形；理由如下： 如图1中， 根据题意可知，四边形为平行四边形， ，， ， ∵，， ， ∵， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：结论：四边形是菱形． 理由：如图，连接，， ， ， 即：， ，， ∴， ， ， 由问题情境可知：四边形是平行四边形 四边形是菱形． 【小问3详解】 解：结论：正方形． 理由：如图，连接，，交于点O，交于点K，交于点J． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$