精品解析：四川省江油中学2023-2024学年高二下学期第一学月检测（3月）数学试题

四川省江油中学2022级高二下期第一学月检测 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8个小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推公式，对依次赋值计算即得. 【详解】因，由可得，. 故选：A. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质直接计算可得结果. 【详解】根据等差数列下标和的性质可得， 又，所以， 故选：D． 3. 已知递增等比数列的前项和为，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列递增确定的定义，利用首项和公比表示和，求出首项公比，代入求出即可. 【详解】由已知，数列为等比数列， 可求出，（与数列为递增数列矛盾，舍去），故. 故选：A 4. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走508里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是（ ） A. 81里 B. 192里 C. 128里 D. 256里 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的知识列方程，求得首项，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知这个人每天走的路程成公比的等比数列， 所以（里）. 故选：D 5. 若数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由递推公式依次列举，可得数列最小正周期，即可求值. 【详解】由得，故有 . 故数列由最小正周期6，故. 故选：D 6. 已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前项和，则；④若，则数列是等差数列；其中正确的个数是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的定义即可判断①，由等比数列的通项公式代入计算，即可判断②，由与的关系，即可判断③，由等差数列的定义即可判断④. 【详解】数列是等比数列，设公比为， 对于①，可得，故数列是等比数列，①正确； 对于②，因为，即，解得，则，②错误； 对于③，因为，当时，， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时，也满足上式， 即，所以，故③正确； 对于④，若，则为常数， 所以数列是等差数列，故④正确； 故选：C 7. 已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（ ） A. 4046 B. 4045 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算. 【详解】由题可得， 又数列为等比数列，且，所以， 即， 所以， 故选：A 8. 已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出，进而确定m的最小值. 【详解】，是等差数列，又∵， ∴， 故对，， 也符合上式， ， 故，即的最小值为1． 故选：C． 二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填涂在答题卡相应的位置上. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 10. 设等差数列的前n项和是，已知，，则下列选项正确的有（ ） A. ， B. C. 与均为的最大值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，，利用等差数列前n项和公式得到，，再逐项判断. 【详解】因为，， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 所以等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数， 则，，为的最大值． 故选：ABD． 11. （多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比数列的公比，可知，A正确；由于不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系；根据题意可知等差数列的公差为负，所以可判断出C不正确，D正确． 【详解】对A，等比数列的公比，和异号， ，故A正确； 对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确； 对C D ，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确. 故选：AD. 12. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项. 【详解】由题意得，第层有个球，. 即，，，， 因为，所以，A正确； 由，当时，，故B错误，C正确； 由，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 13. 若一数列为7，14，21，…，则98是这个数列的第_____项. 【答案】14 【解析】 【分析】根据数列的特点求出通项公式，即可得到结果. 【详解】数列为7，14，21，…，可得数列是等差数列，其首项为7，公差为7， 其通项公式为， 令，解得，所以98是这个数列的第项. 故答案为：. 14. 已知等比数列共有10项，其和为80，且偶数项的和比奇数项的和大60，则公比_____. 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列偶数项的和及奇数项的和即可得解. 【详解】依题意，，解得， 所以公比. 故答案为：7 15. 已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得数列是等比数列，求得通项公式，进而可得，利用并项求和法求解即可. 【详解】因为，所以数列是等比数列，设数列的公比为， 又因为，，所以，解得，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 16. 已知数列满足，，则其通项公式为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，则可得，利用累加法求出，即得数列的通项公式. 【详解】不妨设，则， 由 ， 经检验当时满足，故，解得， 即数列的通项公式为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 17. 等比数列的各项均为正数，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等比数列通项公式的基本量计算，即可得到结果； （2）由分组求和法以及等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由可得，即，即， 解得，又，即，解得， 则其通项公式为. 【小问2详解】 因为， 则 . 18. 已知数列为等差数列，的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及求和公式代入计算，即可得到，从而得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设数列的公差为，由题得， 解得，所以. 【小问2详解】 ， 则 . 19. 数列满足，.数列满足. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由数列递推式拼凑得到等比数列，即可证明并求得通项公式； （2）利用错位相减法即可求得. 【小问1详解】 由，可得， 因，可得. 又因，则，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，满足，因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 因此①， 则②， 相减得：， 因此. 20. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数； （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 【答案】（1）（万立方米），. （2） 若存在实数，使得数列为等比数列， 则存在非零常数，使得，整理得到， 而，故即. 当，则， 而，故即， 故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列. （3）至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得及递推关系； （2）假设存在，则有，据（1）中的递推关系可求，再证明此时为等比数列； （3）令，根据题设中给出的数据可得至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【小问1详解】 （万立方米）， 又即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得是首项为，公比为的等比数列， 故即，此时为递增数列. 令，则， 当时，， 当时，， 故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 21. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由与的关系得到数列递推式，利用等比数列定义判断并求出其通项公式即得； （2）由数列递推式构造两方程，相减即可求得通项，检验首项即得； （3）根据数列为递增数列，得到对任意恒成立，化简得对任意恒成立，即，再由解得，综合即可求得参数范围. 【小问1详解】 由，，两式相减，可得， 即得，又，得，， 故数列为等比数列，且首项为2，公比为， 所以. 【小问2详解】 由（1）知. 则①，可得， 当时，②， 由①-②：可得， 故得，显然不满足此式， 故. 【小问3详解】 因为， 时，则. 因为数列递增，则对任意恒成立 由，化简得， 即对任意恒成立，故 又因为，则，解得. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油中学2022级高二下期第一学月检测 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8个小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 已知递增等比数列的前项和为，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 4. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走508里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是（ ） A. 81里 B. 192里 C. 128里 D. 256里 5. 若数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前项和，则；④若，则数列是等差数列；其中正确的个数是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 7. 已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（ ） A. 4046 B. 4045 C. 2024 D. 2023 8. 已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填涂在答题卡相应的位置上. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 10. 设等差数列的前n项和是，已知，，则下列选项正确的有（ ） A. ， B. C. 与均为的最大值 D. 11. （多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 12. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 13. 若一数列为7，14，21，…，则98是这个数列的第_____项. 14. 已知等比数列共有10项，其和为80，且偶数项的和比奇数项的和大60，则公比_____. 15. 已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和_____. 16. 已知数列满足，，则其通项公式为_____. 四、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 17. 等比数列的各项均为正数，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知数列为等差数列，的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 数列满足，.数列满足. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 20. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数； （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 21. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $