专题01 平面向量（4重点+19题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

专题01 平面向量 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：平面向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 4、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量．规定：与任一向量共线． 知识点2：平面向量的运算 1、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 2、向量的数量积 （1）向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． ②范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°． ③共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． （2）向量的数量积 ①定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即． ②几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． （3）向量数量积的性质：设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 ①； ②； ③当与同向时，；当与反向时， 特别地，或； ④cos θ＝； ⑤． （4）向量数量积的运算律 ①； ②(λ为实数)； ③； ④两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． ⑤平面向量数量积运算的常用公式 知识点3：平面向量基本定理与坐标表示 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 拓展：三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 2、平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 3、向量的坐标运算 （1）向量的线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则 （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是． （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 知识点4：平面向量的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、向量在物理中的应用主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 【题型1 平面向量的概念理解】 高妙技法 在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 1．（24-25高一下·四川眉山·月考）下列物理量中，不能称为向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 2．（24-25高一下·天津武清·月考）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 4．（24-25高一下·河北石家庄·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【题型2 相等向量与共线向量】 高妙技法 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量) ． 规定：与任一向量共线． 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 5．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 6．（24-25高一下·四川南充·月考）在中，，、分别是、的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 7．（24-25高一下·河北衡水·月考）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【题型3 向量的线性运算】 高妙技法 在平面几何中，利用三角形法则和四边形法则进行向量的加减运算，需注意向量的起点． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 10．（24-25高一下·新疆喀什·期中）（多选）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）（多选）下列各式中，结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【题型4 向量的数量积的计算】 高妙技法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 13．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 14．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·天津和平·期中）已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 16．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（    ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 【题型5 向量垂直的相关问题】 高妙技法 已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算． 17．（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 18．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知向量为单位向量，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·陕西渭南·期中）若向量满足，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【题型6 向量模长的相关问题】 高妙技法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 21．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知向量满足，且，则（    ） A．3 B． C．7 D． 22．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 23．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知两个非零向量，，若，，，则 . 24．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知平面向量、满足，，且，则 ． 【题型7 向量夹角的相关问题】 高妙技法 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”． 25．（24-25高一下·浙江·期中）已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量、满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【题型8 投影向量及其应用】 高妙技法 求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数． 29．（24-25高一下·福建三明·期中）已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为 ．（用表示） 30．（24-25高一下·山东威海·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·吉林四平·期中）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型9 向量共线及其应用】 高妙技法 判断向量是否共线：直接利用向量共线的充要条件进行判断． 求解参数：通过向量共线的条件建立方程，求解参数． 证明几何性质：利用向量共线的性质，证明点的共线性或线段的平行性． 33．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 34．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．5 35．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（    ） A． B． C． D．1 36．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【题型10 基底的概念及判断】 高妙技法 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 37．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型11 用已知基底表示向量】 高妙技法 用基底表示向量的两种方法 1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止； 2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若，且则来构建方程（组），使得问题获解． 41．（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·河北·期中）如图，在中，为上靠近的三等分点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【题型12 平面向量的基本定理应用】 满分技法 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 45．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在中，，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·北京·月考）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【题型13 向量运算的坐标表示】 高妙技法 利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路： 1、向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算,另外解题过程中要注意方程思想的运用. 2、利用向量线性运算的坐标表示解题，根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解. 3、利用坐标运算求向量的基底表示，先求基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数. 49．（24-25高一下·北京·期中）已知，向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 50．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知向量，，且则的值为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一下·江苏·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【题型14 利用向量判断三角形形状】 高妙技法 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、平方等手段，可以得出数量积及向量的长度的等信息，为得到边相等、变垂直指明方向． 53．（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 54．（24-25高一下·北京朝阳·月考）若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 55．（24-25高一下·北京·期中）若P为所在平面内一点，且，则的形状为 . 56．（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【题型15 利用向量判断三角形的“四心”】 高妙技法 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心． ④若，则是的外心． 4、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心． 57．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的 .（填:重心、内心、外心或垂心） 58．（24-25高一下·广东广州·期中）已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 59．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 60．（24-25高一下·山东济宁·期中）（多选）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．，则为内心 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【题型16 奔驰定理及其应用】 高妙技法 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案． 61．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高一下·吉林通化·月考）（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 63．（22-23高一下·安徽六安·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 64．（22-23高一下·安徽·期中）（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（    ） A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有 B．若为内一点，且，则是的内心 C．若为内一点，且，则 D．若的垂心在内，是的三条高，则 【题型17 极化恒等式及其应用】 高妙技法 极化恒等式： 1、平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 2、三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 65．（23-24高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 66．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 67．（24-25高一下·山东淄博·期中）已知正六边形ABCDEF的边长为3，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的最大值是（    ） A． B．8 C． D．10 68．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【题型18 平面向量的最值范围问题】 高妙技法 1、定义法：（1）利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；（2）运用基本不等式求其最值问题；（3）得出结论． 2、坐标法：（1）根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；（2）将平面向量的运算坐标化；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：（1）利用基底转化向量；（2）根据向量运算化简目标；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法：（1）结合条件进行向量关系推导；（2）利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；（3）结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 69．（24-25高一下·上海·期中）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 70．（24-25高一下·辽宁锦州·期中）设向量满足，则的最大值为（    ） A．4 B．2 C．2 D．1 71．（24-25高一下·四川·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 72．（24-25高一下·上海·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点A） ，若，则的最小值为 【题型19 平面向量在物理中的应用】 高妙技法 向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 73．（23-24高一下·河北邢台·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 74．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 75．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 76．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北·月考）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 三、填空题 7．（24-25高一下·浙江杭州·月考）设已知A．B．C三点共线，求 8．（24-25高一下·广东东莞·期中）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则 . 9．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 四、解答题 10．（24-25高一下·天津静海·期中）已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在梯形中，已知，且，为线段上一点，记，为线段上一点，记． (1)若点为中点，求与的值； (2)若点为中点，且，求与的值； (3)若，求的取值范围． 12．（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，. (1)试用、表示； (2)求的最小值； (3)若直线交的延长线于点，并有，求的值． 真题感知 1．（23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高一下·甘肃定西·期中）如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 2．（24-25高一下·山东烟台·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．若向量满足且，则 B．对于任意向量，都有 C．对于任意向量，都有 D．若向量共线，则存在实数，使得 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且方向相同 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．对任意向量，，，都有 D．是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 6．（24-25高一下·北京·期中）已知平行四边形中，，，E为中点，则 ． 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 . 8．（24-25高一下·山东临沂·期中）在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 9．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知 (1)若，求实数m、n的值； (2)若，求的最小值. 10．（24-25高一下·山东威海·期中）已知平面向量，，. (1)求在方向上的投影向量的数量； (2)求； (3)求与夹角的余弦值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：平面向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 4、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量．规定：与任一向量共线． 知识点2：平面向量的运算 1、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 2、向量的数量积 （1）向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． ②范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°． ③共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． （2）向量的数量积 ①定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即． ②几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． （3）向量数量积的性质：设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 ①； ②； ③当与同向时，；当与反向时， 特别地，或； ④cos θ＝； ⑤． （4）向量数量积的运算律 ①； ②(λ为实数)； ③； ④两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． ⑤平面向量数量积运算的常用公式 知识点3：平面向量基本定理与坐标表示 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 拓展：三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 2、平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 3、向量的坐标运算 （1）向量的线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则 （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是． （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 知识点4：平面向量的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、向量在物理中的应用主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 【题型1 平面向量的概念理解】 高妙技法 在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 1．（24-25高一下·四川眉山·月考）下列物理量中，不能称为向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【答案】A 【解析】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量.故选：A 2．（24-25高一下·天津武清·月考）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 【答案】B 【解析】对于A，零向量的模是0，A错误； 对于B，由零向量与任意向量共线知，若与不共线，则与都是非零向量，B正确； 对于C，向量的模是非负实数，可以比较大小，而向量不能比较大小，C错误； 对于D，相等的两个向量起点是任意的，D错误.故选：B 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.故选：ABD. 4．（24-25高一下·河北石家庄·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【解析】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确；故选：ACD 【题型2 相等向量与共线向量】 高妙技法 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量) ． 规定：与任一向量共线． 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 5．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 【答案】D 【解析】当，，，四点在一条直线上时，与共线， 否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确；故选：D. 6．（24-25高一下·四川南充·月考）在中，，、分别是、的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解析】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错．故选：B. 7．（24-25高一下·河北衡水·月考）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误.故选：C. 8．（多选）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【解析】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，,,,,,,共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确.故选：BCD. 【题型3 向量的线性运算】 高妙技法 在平面几何中，利用三角形法则和四边形法则进行向量的加减运算，需注意向量的起点． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 【答案】 【解析】由题意，，， 所以. 10．（24-25高一下·新疆喀什·期中）（多选）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又，所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 11．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）（多选）下列各式中，结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于选项A：，选项A不正确： 对于选项B：，选项B正确； 对于选项C：，选项C不正确； 对于选项D：，选项D正确.故选：BD. 12．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）； （2）因为，故. 【题型4 向量的数量积的计算】 高妙技法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 13．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A中，由数量积的运算公式，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，由向量数量积的运算律，可得，所以B正确； 对于C中，，， 所以与不一定相等，所以C错误； 对于D中，由，若向量，此时， 而与不一定相等，所以D错误.故选：AB. 14．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得.故选：B． 15．（24-25高一下·天津和平·期中）已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】设，，则， 点D，E分别是边AB，BC的中点，， ，， 则， ．故选：B. 16．（24-25高一下·河北承德·期中）如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（    ） A．为定值16 B．不为定值，有最大值16 C．为定值32 D．不为定值，有最小值32 【答案】C 【解析】在等腰中，，，点是边上的动点． 如图，取的中点，连接， 由题意可知，，则，， 所以．故选：C． 【题型5 向量垂直的相关问题】 高妙技法 已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算． 17．（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为 . 【答案】 【解析】由题设，即. 18．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知向量为单位向量，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为，所以， 从而，即，与的夹角为．故选：D． 19．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，① 因为，所以，所以，② 由②①，得，则， 所以，得，所以， 因为， 是两个非零向量，所以， 因为，所以.故选：C 20．（24-25高一下·陕西渭南·期中）若向量满足，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由，得， 因此，所以.故选：B 【题型6 向量模长的相关问题】 高妙技法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 21．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知向量满足，且，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】由，， 则.故选：D. 22．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 【答案】 【解析】． 23．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知两个非零向量，，若，，，则 . 【答案】2 【解析】对进行平方，可得. 已知，， ，. 将上述值代入可得：.即. 已知，所以. 又因为，所以.可得. 因为为非零向量，所以，可得. 24．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知平面向量、满足，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为平面向量、满足，，且， 则， 故，因此. 【题型7 向量夹角的相关问题】 高妙技法 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”． 25．（24-25高一下·浙江·期中）已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为.故选：C. 26．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，解得， 所以.故选：C 27．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量、满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，可得， 又因为，所以，即与的夹角为.故选：A. 28．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【解析】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 【题型8 投影向量及其应用】 高妙技法 求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数． 29．（24-25高一下·福建三明·期中）已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为 ．（用表示） 【答案】 【解析】由题意可知，在方向上的投影向量为. 30．（24-25高一下·山东威海·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以两边平方得到：， 在方向上的投影向量为，故选：D 31．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以在方向上的投影向量为．故选：D 32．（24-25高一下·吉林四平·期中）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为且， 又， 所以是菱形，且， 则是的等腰三角形， 则向量在向量上的投影向量为．故选：D． 【题型9 向量共线及其应用】 高妙技法 判断向量是否共线：直接利用向量共线的充要条件进行判断． 求解参数：通过向量共线的条件建立方程，求解参数． 证明几何性质：利用向量共线的性质，证明点的共线性或线段的平行性． 33．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解析】对于A选项，，故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错.故选：A. 34．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：.故选：B. 35．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由，不共线，易知向量为非零向量， 由向量与方向相同， 可知存在实数，使得，即. 由，不共线，必有， 否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾. 由，解得或， 当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符. 当时，，，方向相同，符合题意. 因此，当向量与方向相同时，故选：B 36．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则，即 则，则.故选：C. 【题型10 基底的概念及判断】 高妙技法 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 37．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由已知是一组基底，则与不共线， 设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故A正确； 对于B，设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故B正确； 对于C，，即与共线， 所以不可以作为基底，故C错误； 对于D，设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故D正确；故选：ABD. 38．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，因为，所以共线， 不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解， 所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线， 不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线， 不能作为平面向量的基底，故D不合题意.故选：B. 39．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意.故选：C. 40．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行， 能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解， 能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，， 不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确；故选：D. 【题型11 用已知基底表示向量】 高妙技法 用基底表示向量的两种方法 1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止； 2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若，且则来构建方程（组），使得问题获解． 41．（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题:, 故,故选:B. 42．（24-25高一下·河北·期中）如图，在中，为上靠近的三等分点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为上靠近的三等分点， 所以，， 为的中点，所以， 所以， 又因为，，所以.故选：C. 43．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确.故选：D. 44．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由题可知，所以， 即.故选：A 【题型12 平面向量的基本定理应用】 满分技法 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 45．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在中，，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为点在上，所以设， 则 . 又，则，解得.故选：A. 46．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以， 又，、不共线， 所以，所以.故选：C 47．（24-25高一下·北京·月考）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设相交于点，为的重心， 可得为中点，， ， 所以， 所以.故选：A. 48．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】根据题意； 又因为，三点共线， 则存在，使得，即， 即， 所以，整理得，所以.故选：A. 【题型13 向量运算的坐标表示】 高妙技法 利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路： 1、向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算,另外解题过程中要注意方程思想的运用. 2、利用向量线性运算的坐标表示解题，根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解. 3、利用坐标运算求向量的基底表示，先求基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数. 49．（24-25高一下·北京·期中）已知，向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由，可得，即得， 又因，， 故，解得或（因，故舍去负值）.故选：C 50．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知向量，，且则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，所以， 又，所以，解得.故选：B 51．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，则， , 所以的坐标为．故选:B. 52．（23-24高一下·江苏·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 故， ，， ∴点的坐标为.故选：D 【题型14 利用向量判断三角形形状】 高妙技法 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、平方等手段，可以得出数量积及向量的长度的等信息，为得到边相等、变垂直指明方向． 53．（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【解析】由，可知且， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形，故选:B. 54．（24-25高一下·北京朝阳·月考）若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】B 【解析】由得，，即四边形为平行四边形， 又，所以， 整理得，即， 所以四边形为矩形，故选：B． 55．（24-25高一下·北京·期中）若P为所在平面内一点，且，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【解析】由，可得， 可得，即， 等式两边平方，化简得，， 因此，是直角三角形． 56．（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形， 故选：A． 【题型15 利用向量判断三角形的“四心”】 高妙技法 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心． ④若，则是的外心． 4、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心． 57．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的 .（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【解析】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 58．（24-25高一下·广东广州·期中）已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心.故选：A 59．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【解析】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心.故选：C. 60．（24-25高一下·山东济宁·期中）（多选）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．，则为内心 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【答案】BD 【解析】对于A，由，得为重心，A错误； 对于B，由，得， 则，整理得，又 于是，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，则， 由，同理得，则为的垂心，C错误； 对于D，令的中点为，则，由正弦定理得， 令，则， 因此，点的轨迹经过的重心，D正确.故选：BD 【题型16 奔驰定理及其应用】 高妙技法 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案． 61．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以.故选：B. 62．（23-24高一下·吉林通化·月考）（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【解析】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误.故选：ABC 63．（22-23高一下·安徽六安·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 【答案】BCD 【解析】对选项A：，则，错误； 对选项B：，， 故，，正确； 对选项C：，即，故， 同理可得，，故为的垂心，正确； 对选项D：，故，设内接圆半径为， ，，，即， 即，，正确.故选：BCD 64．（22-23高一下·安徽·期中）（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（    ） A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有 B．若为内一点，且，则是的内心 C．若为内一点，且，则 D．若的垂心在内，是的三条高，则 【答案】ACD 【解析】因为为内任意一点，所以两两不共线； 对A：是等边三角形，设其高为， 则，，， 代入奔驰定理得，， 即，故A正确； 对B：由且， 根据平面向量基本定理得，则是的重心，故B不正确； 对C：，即， 又， 由平面向量基本定理得，故C正确； 对D：由点是的垂心，则， 所以，同理可得，，， 代入， 得， 即，故D正确；故选：ACD． 【题型17 极化恒等式及其应用】 高妙技法 极化恒等式： 1、平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 2、三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 65．（23-24高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得．故选：A． 66．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】设，则由已知可得. 又， ， 所以联立得，. 所以．故选：D. 67．（24-25高一下·山东淄博·期中）已知正六边形ABCDEF的边长为3，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的最大值是（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【解析】 如图， ， 所以当最大时，的值最大， 故当点与正六边形的顶点重合时，的最大值为， 故的最大值为.故选：C 68．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. （2）如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. （3）如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 【题型18 平面向量的最值范围问题】 高妙技法 1、定义法：（1）利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；（2）运用基本不等式求其最值问题；（3）得出结论． 2、坐标法：（1）根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；（2）将平面向量的运算坐标化；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：（1）利用基底转化向量；（2）根据向量运算化简目标；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法：（1）结合条件进行向量关系推导；（2）利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；（3）结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 69．（24-25高一下·上海·期中）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 方法一：正六边形的内切圆半径为，外接圆的半径为. 因为，即，所以，可得． 方法二：连接，则由极化恒等式知， 又易知，所以，可得， 故的取值范围是． 70．（24-25高一下·辽宁锦州·期中）设向量满足，则的最大值为（    ） A．4 B．2 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为，所以. 因为向量与的夹角，所以. 设，，则. ①如图1，若点在的内部，则， 由题意与的夹角. 所以，， 由平面几何知，四点共圆. 要使最大，为圆的直径，且，， 所以有，即. ②若点在的外部，如图2所示 此时有，， 由平面几何知，C点在以A为圆心，以长为半径的圆上. 此时. 综上所述，的最大值为2.故选：C. 71．（24-25高一下·四川·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故AC错误； 当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故D错误；故选：B. 72．（24-25高一下·上海·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点A） ，若，则的最小值为 【答案】/ 【解析】如图所示，因为在线段上，可设，其中， 又因为点 为线段 的三等分点（靠近点），可得， 所以， 因为，所以，其中， 则，其中， 设，可得的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 【题型19 平面向量在物理中的应用】 高妙技法 向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 73．（23-24高一下·河北邢台·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A．－41 B．－1 C．1 D．41 【答案】A 【解析】由题意可知，， 所以对该物体所做的功为-41．故选：A． 74．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 所以.故选：D 75．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则.故选：A 76．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使船的航行距离最短，只需合成速度垂直于两岸， 所以，即.故选：C 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，则， 所以向量在向量上的投影向量为.故选：A. 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心，故选：A． 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意，， 因为是边上的中点，所以， 则， 因为， 所以， 所以， 所以.故选：A. 二、多选题 4．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】对于A：若，只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误； 对于B：若，则与是相反向量，则，故B正确； 对于C：若，，且，则，故C正确； 对于D：若，，则，即，故D正确.故选：BCD. 5．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，， 所以， 所以，故C正确； 因为， 所以，故D正确； 设，则， 又三点共线，所以， 由平面向量基本定理得，解得，所以，则， 所以，故A正确，B错误.故选：ACD. 6．（24-25高一下·河北·月考）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对.故选：ABD. 三、填空题 7．（24-25高一下·浙江杭州·月考）设已知A．B．C三点共线，求 【答案】 【解析】由题意可知，，即存在使， ， 所以，得，. 8．（24-25高一下·广东东莞·期中）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，，，则 . 【答案】 【解析】设是的夹角，因为， 又因为，故，所以， 9．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】由，是两个单位向量，且，得， ，， 因此，而， 因此，所以与的夹角为. 四、解答题 10．（24-25高一下·天津静海·期中）已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由已知可得，， 所以， 所以，. （2）易知，. 因为， 所以，，即，解得. （3）因为， 所以，，使得， 整理可得. 由的任意性可知，，解得. 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在梯形中，已知，且，为线段上一点，记，为线段上一点，记． (1)若点为中点，求与的值； (2)若点为中点，且，求与的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）∵， ∴，∴. （2）∵，∴， 又∵，∴ ……① 又∵，其中， ∴，∴……②，联立①②，解得． （3）由（2）可知，， 其中，， ∴， ∵，∴． ∴， ∴， ∵，∴在单调递减， ∴， 又∵，∴的取值范围为． 12．（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，. (1)试用、表示； (2)求的最小值； (3)若直线交的延长线于点，并有，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为是线段上一点，且满足，则， 所以，可得， 因为，故. （2）因为，，其中、， 由（1）可知， 因为、、三点共线，则存在，使得， 所以，可得， 又因为、不共线，所以，，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. （3）因为，，所以，即， 即，可得， 因为，所以，则， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，所以， 因为、不共线，所以，，则，解得， 由（2）可知，代入可得，故. 真题感知 1．（23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点， 则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．故选：D. 2．（24-25高一下·甘肃定西·期中）如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 解得 ， 因为，所以，， 结合图象可得 与 方向相同，所以， 所以.故选：C. 3．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【解析】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心，故选：D 2．（24-25高一下·山东烟台·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．若向量满足且，则 B．对于任意向量，都有 C．对于任意向量，都有 D．若向量共线，则存在实数，使得 【答案】BC 【解析】对于A，若，则， 若，则，显然，故A错误； 对于B，，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，根据向量三角不等式，，故C正确； 对于D，若，则不存在实数，使得，故D错误；故选：BC． 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且方向相同 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．对任意向量，，，都有 D．是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】ABD 【解析】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确； 对于B，依题意，， 则向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，对任意向量，，，与结果均为实数， 设为，，则，， 而与关系不明确，故得不到，即C错误； 对于D，如图，分别取，则，即得，故， 因，则， 故，即的面积是的面积的2倍，故D正确.故选：ABD. 6．（24-25高一下·北京·期中）已知平行四边形中，，，E为中点，则 ． 【答案】2 【解析】如图，平行四边形中，，，E为中点， 则，，， 所以， 故答案为：2. 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 . 【答案】1 【解析】因为，故， 设，则，故共线， 且也共线，故即为，故， 故，故，而等边中边上的高为， 故，故，故答案为：1. 8．（24-25高一下·山东临沂·期中）在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 / 【解析】如图建立平面直角坐标系，易知， 则，所以，又， 则，所以， 设，所以，又为中点，所以， 所以，则， 图象开口向上，对称轴为，又， 由二次函数的性质知，当时，最小，最小值为， 故答案为：##，. 9．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知 (1)若，求实数m、n的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由，得， 而，，则，即，所以. （2）设，则，而， 由，得，即， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 10．（24-25高一下·山东威海·期中）已知平面向量，，. (1)求在方向上的投影向量的数量； (2)求； (3)求与夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）， 所以投影向量的数量为. （2）， ， 所以. （3）， 所以. 所以与夹角的余弦值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$