专题02 实数及其运算（10大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 实数及其运算 题型概览 题型01 算术平方根、平方根、立方根 题型02 无理数 题型03 实数的性质 题型04实数的大小比较 题型05 估算无理数的大小 题型06实数的运算 题型07 实数的实际应用 题型08实数的综合题 算术平方根、平方根、立方根题型01 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）表示的意义是（    ） A．的立方根 B．的平方根 C．的算术平方根 D．4的算术平方根 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）81的平方根是（    ） A． B．9 C． D． 3．（23-24七年级下·山西运城·期末）下列说法正确的是（   ） A． B．一定没有平方根 C．的平方根是 D．一定有平方根 4．（23-24七年级下·山西长治·期末） 的立方根是（　　） A．± B． C． D． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 6．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 无理数题型02 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下面各数中，是无理数的为（   ） A．3.14 B． C．0 D． 9．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列4个数中，是无理数的是（   ） A． B．2 C． D．3.1415926 10．（23-24七年级下·山西太原·期末）在实数、、0、、、、、、中，无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 实数的性质题型03 11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）2的相反数是（   ） A．2 B．－2 C． D． 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）的相反数是（    ） A． B． C．5 D． 13．（23-24七年级下·山西忻州·期末）π的绝对值是（   ） A．π B． C． D． 14．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 实数的大小比较题型04 15．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在，1，，0这四个数中，最大的数是（    ） A． B．1 C． D．0 17．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下列数中，比大的实数是（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D． 19．（22-23七年级下·山西吕梁·期中）下列各组数大小比较正确的是（  ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·山西忻州·期末）比较大小： 6． （填“”、“”或“”） 21．（23-24七年级下·山西大同·期末）比较大小： 5（填“”，“”或“”） 估算无理数的大小题型05 22．（23-24七年级下·山西太原·期末）的运算结果应在哪两个连续的整数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 23．（24-25八年级上·山西临汾·期末）离最近的整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 24．（24-25八年级上·山西临汾·期末）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·山西晋城·期末）的小数部分可以表示为 ． 实数的运算题型06 26．（23-24七年级下·广东韶关·期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·山西太原·期末）定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ． 28．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）（1）计算：． （2）已知，求x的值． 29．（23-24七年级下·山西太原·期末）（1）计算：；   （2）化简：． 实数的实际应用题型07 30．（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，这是小美同学在校园“文化艺术节”活动中创作的一幅手工作品——我爱我的祖国，这幅作品的形状为正方形，面积为，则这幅正方形作品的边长在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 31．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ）    A． B． C． D． 32．（23-24七年级下·山西·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·山西朔州·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 实数综合题题型08 34．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 35．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 36．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 37．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日      星期二       晴 无理数与线段长今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．课本里有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则，点A对应的数为，点对应的数为．    类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想_____________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为_____________，的长为_____________；则点B表示的数为_____________，点表示的数为_____________． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）9的算术平方根是（    ） A． B．9 C． D．3 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）实数的绝对值是 ． 6．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）0.81的平方根是 ． 7．（23-24七年级下·山西太原·期末）若一个数的算术平方根是，则这个数的立方根是 ． 8．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）计算：的结果等于 ． 9（23-24七年级下·山西吕梁·期末）比较大小：3 （填“”“”或“”）． 10．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）规定用表示一个不大于实数m的最大整数，例如，．按此规定的值为 ． 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）若，则的值为 ． 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 13．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点在数轴上，且在点A的左侧，，则点表示的数是 ． 14．（23-24七年级下·山西朔州·期中）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 15．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式 如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离． 例如：若点，则． 任务： (1)若点，则A，B两点间的距离为______． (2)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数及其运算 题型概览 题型01 算术平方根、平方根、立方根 题型02 无理数 题型03 实数的性质 题型04实数的大小比较 题型05 估算无理数的大小 题型06实数的运算 题型07 实数的实际应用 题型08实数的综合题 算术平方根、平方根、立方根题型01 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）表示的意义是（    ） A．的立方根 B．的平方根 C．的算术平方根 D．4的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根．熟练掌握算术平方根是解题的关键． 根据算术平方根判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示的意义是的算术平方根， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）81的平方根是（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求一个数的平方根，根据可求出81的平方根 【详解】解： ∴81的平方根是， 故答案为：A 3．（23-24七年级下·山西运城·期末）下列说法正确的是（   ） A． B．一定没有平方根 C．的平方根是 D．一定有平方根 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义，被开方数大于等于零，逐项判断即可． 【详解】A．，故本选项不符合题意； B．当时，的平方根是0，故本选项不符合题意； C．的平方根是，故本选项不符合题意； D．，因为，所以，一定有平方根，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级下·山西长治·期末） 的立方根是（　　） A．± B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义即可得． 【详解】因为， 所以的立方根是， 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，解决本题的根据是熟记立方根的定义．根据立方根的定义，即可解答． 【详解】解：64的立方根是4， 4的立方根是：． 故选：B 6．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据算术平方根和立方根的定义即可求出的值； （）根据（）中的结果求出的值，再根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根、立方根、平方根，掌握算术平方根、立方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 无理数题型02 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A．是整数，是有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，是有理数，故本选项不符合题意； C．是整数，是有理数，故本选项不符合题意； D．开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下面各数中，是无理数的为（   ） A．3.14 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，不是无理数，该选项不合题意； 、是分数，不是无理数，该选项不合题意； 、0是整数，不是无理数，该选项不合题意； 、是无理数，该选项符合题意； 故选：． 9．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列4个数中，是无理数的是（   ） A． B．2 C． D．3.1415926 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答． 【详解】解：A、是分数，是有理数，故不符合题意； B、2是整数，是有理数，故不符合题意； C、是无理数，故符合题意； D、3.1415926是小数，是有理数，故不符合题意． 故选：C． 10．（23-24七年级下·山西太原·期末）在实数、、0、、、、、、中，无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义和立方根的计算．其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】解：，， 和是分数，是有理数，、、是整数，是有理数， ∴、、、是无理数，共4个， 故选：C． 实数的性质题型03 11．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）2的相反数是（   ） A．2 B．－2 C． D． 【答案】B 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）的相反数是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果． 【详解】解：的相反数是， 故选B． 【点睛】本题考查实数的性质．熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”，是解题的关键． 13．（23-24七年级下·山西忻州·期末）π的绝对值是（   ） A．π B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，涉及绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据一个正数的绝对值等于它本身，求解即可． 【详解】解：π的绝对值是π， 故选：A． 14．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出点表示的数在3到4之间，分别估算出、、、的大小，再逐个判断即可． 【详解】解：∵ ，，，， 根据点在数轴上的位置，可知， 四个选项中只有，即，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，能分别估算出、、、的大小是解此题的关键． 实数的大小比较题型04 15．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，是无理数的是：； 故选D． 16．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在，1，，0这四个数中，最大的数是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：， ， 最大的数是， 故选：C． 17．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键．根据正数永远大于负数，即可解决问题． 【详解】解：根据负数小于正数，这里的为唯一的负数，所以它最小． 故选：B． 18．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）下列数中，比大的实数是（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D． 【答案】C 【详解】 ，A,B,D选项都比1.732小，只有3>. 故选C. 19．（22-23七年级下·山西吕梁·期中）下列各组数大小比较正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， ， 选项C符合题意； ， ， 选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 20．（23-24七年级下·山西忻州·期末）比较大小： 6． （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用平方法比较大小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 21．（23-24七年级下·山西大同·期末）比较大小： 5（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】先把5化成，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，注意无理数和有理数比较大小，常把有理数化成根式的形式，再进行比较． 估算无理数的大小题型05 22．（23-24七年级下·山西太原·期末）的运算结果应在哪两个连续的整数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小．根据无理数的大小比较方法得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 23．（24-25八年级上·山西临汾·期末）离最近的整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算出，然后再比较与47的大小即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 则离最近的整数是7． 故选：C． 24．（24-25八年级上·山西临汾·期末）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的范围是解题的关键．因为，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：C． 25．（24-25八年级上·山西晋城·期末）的小数部分可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出的整数部分即可得到它的小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， 故答案为：． 实数的运算题型06 26．（23-24七年级下·广东韶关·期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根定义和算术平方根定义，根据算术平方根和立方根定义进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误． 故选：C． 27．（23-24七年级下·山西太原·期末）定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值，乘方运算，根据新定义先求出，代入即可，掌握新定义的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）（1）计算：． （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算及利用平方根的定义解方程，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，绝对值化简，乘方，再加减即可； （2）将原式整理后利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解： 移项，得． 两边除以36，得． 根据平方根的意义，得． ∴x的值为． 29．（23-24七年级下·山西太原·期末）（1）计算：；   （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根进行计算，然后合并即可求解； （2）根据绝对值进行化简，然后合并解题即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 实数的实际应用题型07 30．（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，这是小美同学在校园“文化艺术节”活动中创作的一幅手工作品——我爱我的祖国，这幅作品的形状为正方形，面积为，则这幅正方形作品的边长在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握估算的一般方法“夹逼法”是解题的关键． 先求得正方形的边长为，再利用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵正方形作品的面积为， ∴正方形作品的边长为， ∵， ∴ ∴正方形作品的边长在和之间， 故选：C． 31．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个方块的边长为，可得，则，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】解：设每个方块的边长为， ∴， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是立方根的实际应用，理解题意，建立方程是解本题的关键． 32．（23-24七年级下·山西·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的实际应用； 设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解． 【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a， 则，解得： ∴小康制作的正方体礼盒的体积为： ∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小 ∴小明制作的正方体礼盒的体积为 ∴小明制作的正方体礼盒的边长为 ∴小明制作的正方体礼盒的表面积为 故选：C． 33．（23-24七年级下·山西朔州·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选C． 实数综合题题型08 34．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出，，的值，进而得出代数式的值，根据算术平方根 （2）先求出a，b，c的值，再利用立方根的定义求出答案． 【详解】（1）解： ， ， 解得， 的平方根是， ， 解得， ， 的整数部分． 把，，代入得， 原式， 的算术平方根是4， 的算术平方根为4； （2）解：由（1）知：，，， ∴． 的立方根是， 的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根及估算无理数的大小等知识点，能够理解和明确已知中相关概念及其性质是解答问题的关键． 35．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 【答案】48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． 根据题意可得，从而得到是两位数．再由只有个位数是8的立方数的个位数是2，可得的个数是8．然后根据，可得的十位数是4，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴是两位数． ∵只有个位数是8的立方数的个位数是2， ∴的个数是8． ∵， ∴． ∴的十位数是4． 所以，的值是48． 36．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）仿照题干中的做法即可求解； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． 37．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日      星期二       晴 无理数与线段长今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．课本里有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则，点A对应的数为，点对应的数为．    类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想_____________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为_____________，的长为_____________；则点B表示的数为_____________，点表示的数为_____________． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1）B；（2），，，；（3）见解析 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【详解】解：（1）体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）9的算术平方根是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，利用算术平方根的定义，进行求解即可，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：9的算术平方根是； 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无理数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算判断即可． 本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选C． 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）实数的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，利用绝对值的定义计算． 【详解】解：实数的绝对值是：． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）0.81的平方根是 ． 【答案】±0.9 【详解】解： 0.81的平方根是 故答案为： 7．（23-24七年级下·山西太原·期末）若一个数的算术平方根是，则这个数的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根和算术平方根，根据算术平方根的概念求出这个数，然后求其立方根． 【详解】解：设这个数为x， 则， ∴， 则． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）计算：的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，根据立方根定义求出结果即可． 【详解】解：， 故答案为：﹣3． 9（23-24七年级下·山西吕梁·期末）比较大小：3 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）规定用表示一个不大于实数m的最大整数，例如，．按此规定的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算方法估算出的整数部分即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据算术平方根，绝对值的非负性可得到，求出的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的时，则取立方根为：， 4是有理数，取算术平方根为：， 2取立方根为：， 是无理数， 即， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点在数轴上，且在点A的左侧，，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与无理数，求一个数的算术平方根，正方形的面积，先根据正方形的面积公式求得，再根据数轴上两点距离求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∵，点A与数轴上表示数1的点重合， ∴点表示的数是， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·山西朔州·期中）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为得到，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形的宽为，则长为． 依题意，得， 整理，得，解得（负值已舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ， 正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 15．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式 如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离． 例如：若点，则． 任务： (1)若点，则A，B两点间的距离为______． (2)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或 【分析】本题考查了两点间的距离公，算术平方根的应用； （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）设点B的坐标为，再利用两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）由两点间距离公式得： ∴点，则A，B两点间的距离为 （2）设点B的坐标为 由两点间距离公式得：，解得： ∴点B的坐标为或 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$