天津市燕京高级中学2024-2025学年高三下学期高考热身练数学试题（一）

2024-2025学年高三下学期高考热身练数学试题（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则“是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列说法正确的是（ ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值， 的部分临界值如下表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系 4．下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知a，b是空间两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的为（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．是的一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．当时，的取值范围为 8．双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 9．如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形.若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10．是虚数单位，复数满足，则 . 11．在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 12．过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 13．二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为 ；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为 .（“立春”是春季的六个节气之一.） 14．在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 15．若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为 . 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16． （本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 17．（本小题满分15分）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，.   (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 18．（本小题满分15分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 19．（本小题满分15分）在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. (1)若数列的前4项分别为，求数列的前4项； (2)若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年高三下学期高考热身练数学试题（一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A B D B D B A 10． 11． 12． 13． 14． / 15． 16．【详解】（1）中，， 由正弦定理有①，-----------------------------------------------------------1 因为，所以， 代入①式整理得，-----------------------------------------------------------------2 又，所以， 因为，所以.--------------------------------------4 （2）（ⅰ）由已知，，代入，解得，.-----------7 （ⅱ）由正弦定理，有，-----------------------------------------------------8 又因为，故为锐角，故，--------------------------------------------9 所以，，由，，--------12 故.--------------------------------------------------14 17．【详解】（1）由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，，即直线，，两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系-------------------------1 则，，，，，， ，，.  -----------2 设平面的法向量为 则，令，得，----------------------------3 设直线与平面所成的角为 则.-----------------------------------------5 所以直线与平面所成角的正弦值为.------------------------------------------6 （2）， 设平面的法向量为 则，令，得，-------------------------------------------8 设平面与平面的夹角为 则---------------------------------------------------10 所以平面与平面的夹角的余弦值为.-------------------------------------------11 （3）由（1）（2）可知，平面的法向量为， 所以.------------------------------------------------------------------14 所以点到平面的距离为-------------------------------------------------------15 18．【详解】（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则， 所以椭圆的方程为，----------------------------------------------------------------1 由消去，得，-----------------------------------------3 因为椭圆与直线相切， 所以令，解得，所以，-----------------------4 所以椭圆的标准方程为.------------------------------------------------------------5 （2）设直线的方程为，设点、，的中点为， 联立消去，得， ，由韦达定理得，， 所以，代入，解得， 故，------------------------------------------------------------------------------7 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，解得，即，--------------------------------------------9 因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形， 要使四边形为正方形，需满足，---------------------------------------------11 ,----------------------------------------13 即，解得，则的值为.---------------------------------------15 19．【详解】（1）因为数列的前4项分别为， 则， 所以的前4项分别为------------------------------------------------------------------3 （2） 因为，即，且， 可知数列是以首项和公比均为的等比数列，则， 所以.----------------------------------------------------------------------------------5 ①当为奇数时，；---------------------------------------------------------6 当为偶数时，，可知数列为递增数列，可知， 所以；-------------------------------------------------------7 ②当时，； 当时，，-------------------------------------9 （i）当为奇数时， ， 令， 作差得 ， 所以；----------------------------------------------------------------------------12 经检验也满足上式，所以；-----------------------------13 （ii）当为偶数时，；-----------14 综上所述：.----------------------------------------------------------------------15 20．【详解】（1）当时，，， 当时，，，切线方程为， 所以曲线在处的切线方程为.-----------------------------------------3 （2）函数的定义域为，，---------------------4 对于关于的方程，有， 当时，，则恒成立，在上递减；---------------------5 当时，方程有两根，， 若，则，，当时，，所以在上递增；时，，所以在上递减；---------7 若，则，当和时，，当时，；即在与上递减，在上递增；-----------------------------------------8 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在与上单调递减， 在上单调递增.-----------------------------------------10 （3）要证，即证， 因为，，所以， 当时，不等式显然成立； 当时，因为，则， 所以只需证，即证，-----------------------------------------11 令，，则，-----------------------------------------12 由得；由，得， 则在上为单调递增，在上单调递减，故；-----------13 令，，则，-----------------------------------------14 所以当时，，当时，， 所以在上为单调递减，在上为单调递增， 所以，----------------------------------------------------------------------------------15 所以恒成立，即.-----------------------------------------------16 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$