专题03二次根式估值及规律问题二大类型-2024-2025学年八年级数学下册【高分必刷】专练（人教版）

专题03 二次根式估值及规律问题（解析版） （2大类型精选20题） 1．估计的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 2．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算与估算能力，关键步骤是展开表达式并估算二次根式的范围．本题需要先通过二次根式的乘法法则展开表达式，再估算结果的范围． 【详解】解：， ， ， ，即值在2和3之间． 故选：C． 3．估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键；由题意易得，然后由可进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的值应在9和10之间； 故选B． 4．估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（   ） A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小估算，先根据二次根式的混合运算得到，再估计无理数的大小即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴的运算结果在6和7两个连续自然数之间， 故选：B． 5．估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据二次根式的混合运算法则化简，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴估计的值应在5和6之间． 故选：D． 6．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算．先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：C． 7．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式估值，二次根式化简等．根据题意先将二次根式化简为最简二次根式，再进行计算，最后进行估值即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴在整数和之间， ∴的数值在5和6之间， 故选：D． 8．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．再计算出二次根式混合运算的结果，再估算出的取值范围即可． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， 故选：C 9．已知，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的运算法则．先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：C． 11．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 【答案】 【分析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 12．观察下列各式的规律：；；，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，利用根号内的分数的分母与根号外的数字之间的关系即可求得结论，找出根号内的分数的分母与根号外的数字之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 13．观察下列各式： ，即： ，即： ，即． (1)根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； (2)猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究； （1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案； （2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当为不小于2的自然数时，总有：，由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子． 【详解】（1）解：； 即； （2）解：观察、分析前面四个式子可知： 当为不小于2的自然数时：，理由如下： ． 故当为不小于2的自然数时：． 14．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【分析】激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 15．观察下列各式： ①； ②； (1)根据你发现的规律填空：______＝______； (2)猜想______（，为自然数），并通过计算证实你的猜想． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解； （2）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：；． （2）解：，证明过程如下， 证明：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及性质，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 16．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可得，第4个等式； （2）由题意知，第n个等式为； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n个等式为； （3）解： ， ∴． 17．观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）模仿题干，补充第5个等式，即可作答． （2）根据规律，即可写出第个等式； （3）根据规律将各项分母有理化即可求解； （4）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． （2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． （3）解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； （4）解：与（3）同理得，， ， ， ． 18．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第4个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的5个等式，结合规律即可写出答案； （2）找到等式的规律，写出第个等式，通过化简证明等式成立； （3）利用题中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得第4个等式为， 故答案为：； （2）解：第个等式为， 证明如下： 左式， ， 左式， 右式， 成立； （3）解：原式． 19．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当、时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当、时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当、时，． ③证明猜想： 当、时， ∵， ， ． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 _____； (2)当时，的最小值为 _____； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2． 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值． 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值． ∴， ∴， ∴的最小值为． 20．【阅读理解】 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 【解决问题】 （1）的有理化因式是___________； （2）化去分母中的根号：___________．（直接写结果） 【拓展延伸】 （3）求证：； （4）利用发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】（1） （2） （3）详见解析 （4） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式的运用，无理数比较大小．熟练掌握分母有理化，平方差公式的运用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行作答即可； （2）分母有理化即可； （3）根据，，然后比较大小即可； （4）根据原式，计算求解即可． 【详解】解：（1）由题意知，的有理化因式是， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∵， ∴， （4）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式估值及规律问题（原卷版） （2大类型精选20题） 类型一：根式的估值问题 类型二：根式的规律问题 类型一：根式的估值问题 1．估计的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 2．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 3．估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 4．估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（   ） A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 5．估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 8．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 9．已知，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 10．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 类型二：根式的规律问题 11．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ． 12．观察下列各式的规律：；；，若，则 ． 13．观察下列各式： ，即： ，即： ，即． (1)根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； (2)猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 14．【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 15．观察下列各式： ①； ②； (1)根据你发现的规律填空：______＝______； (2)猜想______（，为自然数），并通过计算证实你的猜想． 16．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 17．观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 18．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第4个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)计算：． 19．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当、时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当、时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当、时，． ③证明猜想： 当、时， ∵， ， ． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 _____； (2)当时，的最小值为 _____； (3)当时，求的最小值． 20．【阅读理解】 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 【解决问题】 （1）的有理化因式是___________； （2）化去分母中的根号：___________．（直接写结果） 【拓展延伸】 （3）求证：； （4）利用发现的规律计算下列式子的值：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$