专题01二次根式基本性质应用四大类型-2024-2025学年八年级数学下册【高分必刷】专练（人教版）

专题01 二次根式基本性质应用（原卷版） （4大类型精选40题） 类型一：二次根式定义及有意义条件 类型二：利用二次根式性质化简 类型三：复合二次根式化简 类型四：最简二次根式求值 类型一：二次根式定义及有意义条件 1．（24-25八年级下·天津南开·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ； 4．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若，则 ． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算的结果是 ． 7．（22-23八年级上·福建宁德·期中）若，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·山东威海·期中）化简： ． 9．（21-22八年级下·四川凉山·期末）已知，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则 ． 类型二：利用二次根式性质化简 11．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简： 12．（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 13．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 14．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 17．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 18．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知、、是的三边长，化简 ． 19．（2025八年级下·浙江·专题练习）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 20． （23-24七年级下·云南玉溪·期末）已知实数，满足，求的平方根 ． 类型三：复合二次根式化简 21．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 23．（18-19八年级下·上海宝山·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 24．（19-20八年级上·河南郑州·阶段练习）若，化简 ． 25．（19-20八年级上·湖南长沙·阶段练习）观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ． 26．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 27．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 28．（17-18八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简： ． 29．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 . 30．（19-20八年级上·浙江宁波·期末）化简 ． 类型四：最简二次根式求值 31．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知为实数，且，则的值为 ． 32．（24-25八年级下·河南许昌·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 33．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则 ． 34．（24-25八年级下·山东滨州·期中）若把化成最简二次根式后，可以与进行合并，则的一个值可以为 ． 35．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）已知二次根式与可以合并，请写出一个满足条件的的值： ． 36．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 37．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 38．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 . 39．（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 40．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式基本性质应用（解析版） （4大类型精选40题） 1．（24-25八年级下·天津南开·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意有：， 解得：且， 故答案为：且． 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、零指数幂、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 3．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，且当时，， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的非负性，先根据被开方数为非负数求出x的值，进而求出y的值，然后代入代数式计算解题． 【详解】解：由题可得， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，结合已知条件确定x的取值范围是解题的关键． 由式子可得，则，那么，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：已知算式为， 则， 解得：， 那么， 原式， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·福建宁德·期中）若，则的值为 ． 【答案】2025 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 8．（24-25八年级下·山东威海·期中）化简： ． 【答案】0 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简，再去绝对值，进行加减计算． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ， 故答案为：0． 9．（21-22八年级下·四川凉山·期末）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、分式的求值 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】22 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，直接利用二次根式的性质将已知式子化简，再将原式变形求出答案． 【详解】解：∵一定有意义， ∴， ∴ ∴ 整理得：， ∴， 则． 故答案为：22． 11．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，解题的关键在于正确掌握二次根式的性质． 根据数轴得到，进而得到，再结合二次根式的性质化简，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， ， ； 故答案为：． 12．（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的意义等知识，根据实数、在数轴上的位置确定，，的符号，再根据绝对值，二次根式的性质和化简方法进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ． 【答案】1 【知识点】利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查二次根式与绝对值的化简、实数与数轴，根据数轴得到，再由二次根式的性质与绝对值进行化简即可．掌握二次根式的基本性质是解题关键． 【详解】解：由图可得， ∴，， ∴． 故答案为：1 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 【答案】a 【知识点】利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 17．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、合并同类项、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a，b的取值范围是解本题的关键．由图可知，，则，根据化简绝对值和二次根式的性质化简合并同类项即可． 【详解】解：由图可知， ∴， 则 ， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知、、是的三边长，化简 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了三角形的三边关系、二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系对式子化简即可． 【详解】解：由三角形的三边关系知：，， ∴ ． 故答案为： ． 19．（2025八年级下·浙江·专题练习）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、绝对值、整式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，从而可得，，，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）已知实数，满足，求的平方根 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查非负数的性质、平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键； 先根据平方、算术平方根的非负性求出和的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ； 的平方根是, 故答案为： 21．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【知识点】复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 23．（18-19八年级下·上海宝山·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】-2≤x≤0 【知识点】复合二次根式的化简、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案． 【详解】解：， x≤0，x+2≥0， 解得-2≤x≤0， 故答案为：-2≤x≤0． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质． 24．（19-20八年级上·河南郑州·阶段练习）若，化简 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据 进行化简. 【详解】解：由 可知，a＜0，又b＜0， 【点睛】掌握，当a＜0，时，是本题的解题关键. 25．（19-20八年级上·湖南长沙·阶段练习）观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ． 【答案】﹣． 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】将12拆成，再利用完全平方差公式：即可得． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式化简二次根式，熟记公式是解题关键．另一个重要的公式是平方差公式：，这是常考知识点，需重点掌握． 26．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 27．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 28．（17-18八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简： ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 29．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 . 【答案】, 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可. 【详解】解： 【点睛】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目. 30．（19-20八年级上·浙江宁波·期末）化简 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 31．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、化为最简二次根式 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．根据算术平方根的非负性，求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·河南许昌·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 【答案】1 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 33．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】9 【知识点】化为最简二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则． 运用二次根式的加减运算法则先化简，再得出的a，b值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：9 34．（24-25八年级下·山东滨州·期中）若把化成最简二次根式后，可以与进行合并，则的一个值可以为 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 设（为正整数），则，得到，当时，此时，符合题意． 【详解】解：设（为正整数），则， ， 当时，，此时， 可以与合并， 的一个值可以为， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）已知二次根式与可以合并，请写出一个满足条件的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简，然后根据同类二次根式的定义即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵二次根式与可以合并， ∴ ∴， 故答案为：3（答案不唯一） 36．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 37．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式有意义的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由最简二次根式与可以合并，得出，又有意义，则，最后解不等式即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 38．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【答案】7 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 解得： ∴． 故答案为：7． 39．（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【答案】4 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 40．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【知识点】已知最简二次根式求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查同类二次根式，解一元二次方程，根据被开方数相同的两个最简二次根式，叫做同类二次根式，求出的值，再根据二次函数的性质，进行化简即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：，， ∴； 故答案为：1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$