精品解析：四川省绵阳市江油中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

四川省江油中学2023级高二上期第一次阶段考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（     ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 2. 过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A. 相交但不垂直 B. 平行 C. 重合 D. 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标可知直线斜率不存在，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意点和点， 所以直线斜率不存在，且直线的方程为， 所以直线与直线垂直 故选：D. 3. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量. 【详解】连接AE，如图所示， ∵E是CD的中点，，，∴＝＝． 在△ABE中，，又， ∴. 故选：A. 4. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 5. 在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量的坐标，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 故选：A 6. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 7. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平行六面体求出，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出即可求出. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：A. 8. 已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，最小时，有最小值，求的最小值即可. 【详解】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径， 则有，， 点在圆锥的侧面上运动， 则， 最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离， 中，，，则，点到的距离， 则的最小值为，的最小值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线m斜率为 B. 直线m横截距为1 C. 直线m纵截距为 D. 点不在直线m上 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可. 【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确； B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误； C选项，中令得，，故直线m纵截距，C正确； D选项，当时，，故点在直线m上，D错误. 故选：AC 10. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 异面直线、的夹角余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用线线角的向量求法计算判断D. 【详解】由，，得不共线，因此直线与平面不垂直，A错误； 由，，得，即，直线，B正确； 由，，得，即，则，C错误； 由，，得， 因此异面直线、的夹角余弦值为，D正确. 故选：BD 11. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则 B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面 C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为 D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别用立体几何中空间向量法判断A，B，C，求出四面体的外接球的表面积，判断D. 【详解】 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 若秒针指向了钟上数字5，则， 则，，所以，A正确. ，故是平面的一个法向量. 因为，所以， 所以与不垂直，从而与平面不平行，B不正确. 若秒针指向了钟上数字4，则， ， ，C正确. 由，得. 因为，所以外接圆的半径， 则四面体的外接球的半径，则， 故四面体的外接球的表面积为，D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点分别为，，，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先设，结合进行运算即可得解. 【详解】设，由题意得，， 因为，所以,得，即. 故答案为：. 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，数量积和模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意向量， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出点在空间中的轨迹方程，再分点在四边形内部，四边形内部和四边形内部三种情况讨论即可得解. 【详解】如图①，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 由，得， 整理得， 所以点在空间中的轨迹为以为球心，为半径的球， 若点在四边形内部时，如图②所示， 截面圆与分别交于， 所以点在四边形内部的轨迹为， 在中，，则， 所以的长度为， 所以当点在四边形内部时，点的轨迹长为； 同理当点在四边形内部时，点的轨迹长为， 当点在四边形内部时，如图③所示， 平面截球所得的截面圆是以为圆心，以为半径，， 截面圆与分别交于， 而， 所以点在四边形内部的轨迹为， 所以的长度为， 综上所述，点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求得点的轨迹，并利用平面截球，利用球心距求弧长. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中15题13分、16题、17题15分，18题、19题17分. 15. 已知，，．求： （1）； （2）． 【答案】（1）9，（2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可； （2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为， 所以， （2）因为，，， 所以 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 17. 已知的三个顶点是 （1）求边上的中线的直线方程； （2）求边上高的直线方程 （3）求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【小问1详解】 设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； 【小问2详解】 由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； 【小问3详解】 ，设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 18. 已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上. 图（1） 图（2） （1）若，求证：平面； （2）若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面角的求解方法，求出值即可. 【小问1详解】 连接，连接，由，，得， 由，得，则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由平面平面，平面平面，，得平面， 在平面内过作，显然射线两两垂直， 以点为原点，射线分别为轴的非负半轴，建立空间直角坐标系， 由，，， 得， 由，得，，， 令平面的一个法向量为，则，取，得， 令平面的一个法向量为，则，取，得， 由平面和平面夹角的余弦值为，得， 于是，解得， 所以当时，平面和平面夹角的余弦值为. 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 【答案】（1）①线性相关，②线性相关 （2）线性无关，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解； （3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证. 【小问1详解】 对于①，假设与线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，即， 可取，所以线性相关， 对于②，假设线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，得， 可取，所以线性相关. 【小问2详解】 假设线性相关， 则存在不全为零的实数， 使得， 则， 因为线性无关， 所以，得，矛盾， 所以向量线性无关. 【小问3详解】 设， 则， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当同时成立时，等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省江油中学2023级高二上期第一次阶段考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线倾斜角为，则直线的斜率为（     ） A. B. C. 1 D. 2. 过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A 相交但不垂直 B. 平行 C. 重合 D. 垂直 3. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 5. 在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知两点，，过点直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线m斜率为 B. 直线m横截距为1 C. 直线m纵截距为 D. 点不在直线m上 10. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 异面直线、的夹角余弦值为 11. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则 B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面 C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为 D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点分别为，，，则点的坐标为__________. 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 14. 已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中15题13分、16题、17题15分，18题、19题17分. 15. 已知，，．求： （1）； （2）． 16. 如图，三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 17. 已知的三个顶点是 （1）求边上的中线的直线方程； （2）求边上的高的直线方程 （3）求角A的内角平分线所在的直线方程 18. 已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上. 图（1） 图（2） （1）若，求证：平面； （2）若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为. 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中任意两个元素，均有， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$