小升初复习专题讲义：立体图形的体积（六大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

小升初复习专题讲义：立体图形的体积（六大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 题型预览 考点一、计算长方体的体积 考点二、计算正方体的体积 考点三、计算圆柱的体积 考点四、计算圆锥的体积 考点五、计算组合图形的体积 考点六、排水法求不规则体积 考点梳理 考点一、计算长方体的体积 1.公式： 2.关键点：单位统一；实际问题如纸箱容积、土方量计算。 考点二、计算正方体的体积 1.公式： 2.关键点：棱长相等的性质；与长方体的区别。 考点三、计算圆柱的体积 1.公式： 2.关键点：区分半径 和直径 （）；应用题如水桶装水量、油桶容积。 考点四、计算圆锥的体积 1.公式： 2.关键点：必须乘以 ；与等底等高圆柱体积的关系。 考点五、排水法求不规则体积 1.原理：物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度。 考点六、易错点提醒 1.单位换算：1立方米=1000立方分米，1升=1立方分米，注意换算陷阱。 2.圆锥勿漏乘 ：直接使用圆柱公式导致错误。 3.区分半径与直径：题目若给直径，需先除以2再代入公式。 4.组合图形：明确相加或相减关系（如中空物体体积=外体积－内体积）。 例题讲解 例题：一、计算长方体的体积 【例题1】如下图中的三个长方形分别是同一个长方体的上面、前面和右面，已知它们的面积，那么这个长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．12 B．36 C．48 D．54 【答案】B 【详解】【解答】解：因为，18=9×2，18=6×3，12=6×2，12=4×3，所以长是6厘米，宽是3厘米，高是2厘米； 6×3×2 =18×2 =36（立方厘米） 故答案为：B。 【分析】根据长方体的上面面积=长×宽，前面面积=长×高，右面面积=宽×高，把三个面积分别拆成两个数的积：18=长×宽=9×2，18=长×宽=6×3，长有可能是9厘米和6厘米，宽有可能是2厘米和3厘米，再根据12=长×高=6×2，12=长×高=4×3，长有可能是6厘米和4厘米，高有可能是2厘米和3厘米，因为同一个长方体中所有长相等，所以长是6厘米，那么宽就是3厘米，则高就只能是2厘米；最后根据长方体的体积=长×宽×高，计算即可。 【例题2】用铁丝焊接一个长12厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝　 　厘米，这个长方体的体积是　 　立方厘米。 【答案】108；600 【详解】【解答】解：（12+10+5）×4 =27×4 =108（厘米） 12×10×5 =120×5 =600（立方厘米） 故答案为：108；600。 【分析】根据长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4，代入数据，求出这个长方体的棱长总和；再根据长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【例题3】求下面图形的表面积和体积。(单位：cm) 【答案】解：长方体的表面积： （10×2+10×5+5×2）×2 =（20+50+10）×2 =80×2 =160（cm2） 长方体的体积： 10×5×2 =50×2 =100（cm3） 【详解】【分析】已知长方体的长、宽、高，求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2；求长方体的体积，用公式：长方体的体积=长×宽×高，据此列式解答。 【例题4】一块长方体方钢，长3米，宽9厘米，厚3厘米。如果每立方厘米重0.25kg，这块方钢重多少kg？ 【答案】解：3m =300cm 300ｘ9ｘ3ｘ0.25 =8100×0.25 =2025（kg） 答：这块方钢重2025kg。 【详解】【分析】长方体体积=长×宽×高，再用体积乘 每立方厘米的重量即可。 例题：二、计算正方体的体积 【例题1】一个正方体的底面周长是12cm，它的体积是（　　）cm3． A．9 B．27 C．36 D．72 【答案】B 【详解】【解答】解：正方体的棱长是：12÷4=3（厘米）， 正方体的体积是：3×3×3=27（立方厘米）， 故选：B． 【分析】正方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长=边长×4，即可求出这个正方体的棱长是12÷4=3厘米，再利用正方体的体积公式即可解答． 【例题2】一个正方体的棱长总和是60cm，它的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 【答案】150；125 【详解】【解答】解：棱长：60÷12=5(cm)，表面积：5×5×6=150(cm²)，体积：5×5×5=125(cm³)。 故答案为：150；125。 【分析】用棱长总和除以12即可求出棱长，用棱长乘棱长乘6即可求出表面积，用棱长乘棱长乘棱长即可求出体积。 【例题3】宗塘豆腐是义乌的特产美食之一。一块正方体豆腐的棱长总和为144cm，它的体积是多少立方厘米? 【答案】解： 144÷12=12(cm) 12×12×12=1728(cm3) 答： 它的体积是1728立方厘米。 【详解】【分析】 正方体有 12 条棱且每条棱长度相等，先通过棱长总和求出每条棱的长度，再根据正方体体积公式求出体积。 例题：三、计算圆柱的体积 【例题1】一个圆柱的侧面展开图是一个长为31.4dm、宽为6.28dm的长方形，这个圆柱的体积最大是(　　)。 A．98.596dm3 B．492.98dm3 C．1971.92dm3 D．628dm3 【答案】B 【详解】【解答】解： 2 π r = 31.4 r == 5 h = 6.28 d m V = π × 5 2 × 6.28 = 3.14 × 25 × 6.28 = 492.98 故答案为：B 【分析】 首先，题目给出的是一个圆柱的侧面展开图的信息，即一个长方形，其长宽分别为31.4dm和6.28dm。根据圆柱的几何性质，侧面展开图的长即是圆柱底面的周长，宽即是圆柱的高。所以可以通过长方形的长求出圆柱底面半径，再结合宽求出圆柱的高，最后利用圆柱体积公式计算体积。 【例题2】一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的侧面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 【答案】251.2；502.4 【详解】【解答】解：2×3.14×4×10 =25.12×10 ＝251.2（cm2） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（cm3）。 故答案为：251.2；502.4。 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，其中，底面周长=π×半径×2，圆柱的体积＝底面积×高，其中，底面积=π×半径×半径。 【例题3】求下面圆柱的体积。(单位：厘米) 【答案】解：18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3(厘米)， 3.14×32×12 =3.14×9×12 =339.12(立方厘米)； 答：圆柱的体积为339.12立方厘米。 【详解】【分析】平行四边形的底即为圆柱底面周长，根据圆的周长公式C=2πr，据此求出圆柱底面半径，再根据圆柱体积公式V=πr2h，据此求解即可。 【例题4】学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径是6米，高是0.8米。如果在里面填土的高度是0.5米，这两个花坛一共需要填土多少立方米？ 【答案】解：6÷2＝3（米） 3.14××0.5×2 ＝3.14×9×0.5×2 ＝28.26×0.5×2 ＝14.13×2 ＝28.26（立方米） 答：这两个花坛一共需要填土28.26立方米。 【详解】【分析】先根据花坛的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据填土的高度求出每个花坛的土的体积，最后乘2即可。 例题：四、计算圆锥的体积 【例题1】一个圆锥的体积是 12.56 cm3，如果将它的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么现在的圆锥的体积是(　　)cm3。 A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 【答案】D 【详解】【解答】解：12.56×22 =12.56×4 =50.24（cm3） 故答案为：D。 【分析】已知圆锥的体积公式：V=13πr2h，当半径扩大2倍且高度不变时，体积的变化仅由半径的平方倍数决定，因此新体积应为原体积的4倍，据此解答即可。 【例题2】一个底面积是5dm3，高是3dm的圆柱形铁块可以熔铸成　 　个和它等底等高的圆锥，每个圆锥的体积是　 　dm3。 【答案】3；15.7 【详解】【解答】解：×3.14×5×3 =3.14×5 =15.7（dm3） 故答案为：3，15.7。 【分析】已知等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，所以一个底面积是5dm3，高是3dm的圆柱形铁块可以熔铸成3个和它等底等高的圆锥。由题干可知，圆锥的底面积是5dm3，高是3dm，根据圆锥的体积公式：V=Sh，计算即可。 【例题3】计算下面圆锥的体积。 （1） （2） 【答案】（1）解： 答：圆锥的体积是10.8m3。 （2）解： 答：圆锥的体积是200.96m3。 【详解】【分析】（1）已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式：V=Sh，代入数据计算即可； （2）已知圆锥的底面直径和高，首先将底面直径除以2得到该圆锥的底面半径，然后根据圆锥的体积公式：V=πr2h，代入数据计算即可。 【例题4】一个圆锥形沙堆，底面直径是8m，高是1.5m，这个沙堆的体积是多少立方米? 【答案】解：V=×3.14×（8÷2）2×1.5 =×3.14×16×1.5 =×50.24×1.5 =×75.36 =25.12（立方米） 答：这个沙堆的体积是25.12立方米。 【详解】【分析】已知圆锥的体积公式：V=πr2h，首先根据直径=半径×2，计算得到圆锥形沙堆的底面半径，再将底面半径和高代入圆锥的体积公式，即可得到这个沙堆的体积。 例题：五、计算组合图形的体积 【例题1】计算图形的体积。 【答案】解：10×5×3+5×5×（8-3） =150+75 =225 【详解】【分析】可以把图形分成上下两个长方体计算体积。下面长方体长10、宽5、高3；上面长方体长5、宽5、高（8-3）。 【例题2】求这个几何体的体积。(单位：dm) 【答案】解： =3.14×40×+120 =3.14×30+120 =94.2+120 =214.2（dm3）； 答：这个几何体的体积是214.2dm3。 【详解】【分析】该几何体的体积=长方体体积+圆柱的体积，长方形体积=长×宽×高，圆柱的体积=πr2h，据此代入数据求解。 【例题3】计算如图组合图形的体积。（单位：m） 【答案】解：3.14×（8÷2）2×5+3.14×（8÷2）2×3× =3.14×80+3.14×16 =251.2+50.24 =301.44（m3） 【详解】【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×，由此用圆柱的体积加上圆锥的体积即可求出总体积。 例题：六、排水法求不规则体积 【例题1】实验课上，小华在一个底面积为48cm2的长方体水槽中放入了一块石头(完全浸没，水未溢出)，水面上升了2cm，这块石头的体积是 (　　)cm3。 A．24 B．50 C．96 D．192 【答案】C 【详解】【解答】 首先，明确水槽底面积为48平方厘米，水面上升的高度为2厘米。 石头的体积=水槽底面积×水面上升的高度 =48平方厘米×2厘米 =96立方厘米 因此，这块石头的体积是96立方厘米。故正确答案是：C 。 【分析】 本题涉及的是物体完全浸入水中，造成水面升高的情况。根据体积守恒的原则，石头的体积应该等于因石头放入而使水面上升所增加的水的体积。而水的体积可以通过水槽底面积乘以水面上升的高度来计算。 【例题2】数学活动课上，501班四名同学打算测量一块鹅卵石的体积，操作步骤如下： ①小花准备了长方体塑料杯，从里面测，底面是边长为10cm 的正方形，高20cm。 ②小华往杯里慢慢地倒入一些水，量得水面到杯口的距离是5cm 。 ③小红把鹅卵石慢慢放进杯中，使得杯中的水完全浸没鹅卵石，水溢出杯口一部分。 ④小刚取出鹅卵石，量得水面到杯口的距离变为8cm。 小华往杯里倒入一些水的体积是　 　cm3，这块鹅卵石的体积是　 　cm3。 【答案】1500；800 【详解】【解答】解：20－5=15（cm） 10×10×15 =100×15 =1500（cm3） 10×10×8 =100×8 =800（cm3） 故答案为：1500；800。 【分析】根据题意可知：倒入水的高度=杯子的高度－水面到杯口的距离，倒入水的体积=底面边长×边长×倒入水的高度；通过实际操作可知水完全浸没鹅卵石再取出鹅卵石，则下降部分水的体积就是鹅卵石的体积，因为“水溢出杯口一部分”，所以取出鹅卵石前水面的高度等于杯子的高度，则下降部分水的高等于取出鹅卵石后水面到杯口的距离，因此，鹅卵石的体积=边长×边长×取出鹅卵石后水面到杯口的距离。 考点练习 考点一、计算长方体的体积 1．一根方木的体积是80dm3，长是2m，它的横截面的面积是(　　)。 A．4dm B．4dm2 C．40dm2 D．160dm2 2．如图，将一根长1.5m的长方体木料截成3段，表面积比原来增加了24 dm2。原来这根木料的体积是(　　)dm3。 A．36 B．90 C．180 D．360 3．新买了一盒牙膏，包装盒长15cm，宽是长的 ，高比宽长1cm，这个牙膏盒的体积（　　）cm3。 A．375 B．400 C．450 D．475 4．一个长方体长8cm、宽6cm、高5cm，它的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 5．如下图，下侧是一个长方体的平面展开图，它少了一个面，少了的这个面和　 　号面大小一样，这个长方体的体积是　 　立方厘米。 6．一根长方体柱子，占地面积是0.24m2，柱子高是4m，这根柱子的体积是　 　m3。 7．一个长方体的茶叶盒，高为15cm，底面为正方形。在它的四周贴满包装纸(上下底面除外)，如果包装纸的面积是 600cm2，这个茶叶盒的体积是　 　cm3。 8．计算下面图形的体积。 （单位：cm） 9．一个长方体鱼缸，从里面量长40厘米，宽25 厘米。倒入30L 的水后，水深多少厘米？ 10．如图，用铁皮制作一个油箱。要使这个油箱能装油60升，则至少需要铁皮多少平方分米？（铁皮厚度忽略不计） 11．方方家有一透明的长方体容器，里面装了一部分水。方方想知道里面水的体积，一时找不到尺子。他通过尝试，发现当如图摆放时，水没有溢出。长方体容器中的水有多少升？ 考点二、计算正方体的体积 1．有一个长方体，如果它的高增加2厘米就可以变成一个正方体。它的底面周长是24cm，它的体积是（　　）cm3。 A．24 B．216 C．8 D．144 2．在一个长13cm、宽9cm、高6cm的长方体盒子里，最多能放(　　)个棱长为3cm的正方体木块。 A．36 B．24 C．12 D．6 3．将一个长、宽、高分别为9cm、7cm、5cm的长方体木块削成一个最大的正方体木块，削去部分的体积是(　　)cm3。 A．315 B．125 C．160 D．190 4．棱长6厘米的正方体，它的表面积与体积相等。(　　) 5．正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的9倍。（　　） 6．林老师用一根长84cm的铁丝做成了一个正方体教具，这个正方体的教具所占空间是　 　cm3，如果在它的表面积贴上一层纸，纸的面积至少是　 　cm2。 7．小新将一块橡皮泥先捏成了一个棱长是4 cm的实心正方体，然后又把它改捏成一个长是8cm、宽是4cm的实心长方体，这个长方体的高是　 　cm。 8．求如图所示图形的表面积和体积。 （1） （2） 9．小冬有一根长方体木料，沿着长截去3dm后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60dm2。剩下的正方体木料的体积是多少？ 10．在一个装满水的棱长为20cm的正方体水缸里，有一块长 16cm、宽10cm的长方体铁块浸没在水中，当把这块铁块取出后，带出了160mL的水，最后水缸里的水与原来相比下降了2cm。这块铁块的高是多少厘米？ 考点三、计算圆柱的体积 1．一个圆柱形零件的体积是251.2 cm3，高是20cm，零件的底面半径是(　　) cm。 A．12.56 B．4 C．2 D．1 2．一个长方形的长是6厘米，宽是2厘米。以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱体的体积是(　　)立方厘米。 A．75.36 B．150.72 C．56.52 D．226.08 3．有一块正方体木料，它的棱长是2分米，将它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是(　　)立方分米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．100.48 4．两个圆柱的侧面积相等，体积也一定相等。(　　) 5．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的 ，它的体积不变。（　　） 6．把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是　 　cm，它的体积是　 　cm3。 7．如下图所示，将圆柱切拼成一个近似的长方体。长方体的长约为15.7厘米，宽是5厘米，高是8厘米。那么圆柱的底面积等于　 　平方厘米；圆柱的体积等于　 　立方厘米。 8．一根长2米的圆柱形木料，截成同样长的4段小圆柱，它的表面积就增加18.84平方分米，原来这根木料的体积是　 　立方分米。 9．将一个圆柱的高增加2cm后，体积变为原来的1.5倍，表面积增加了25.12cm2。这个圆柱原来的体积是　 　cm3，表面积是　 　cm2。 10．一瓶水750mL，如下图，小刚喝了一些后，把瓶盖拧紧后倒置放平，小刚喝了　 　mL。 ​​ 11．帽筒瓷器兴起于清朝，用来置放帽子，后来发展为家居摆设，帽筒以制作工艺、制式、绘画等，饱含了我国一个半世纪的民风民俗，成为雅俗共赏的古董瓷器之一。一种帽简呈圆柱状，底面直径约为12cm，高约为30cm，它的体积约为　 　cm3。 12．计算下面各圆柱的体积。 （1） （2） （3） 13．图中阴影部分正好可以围成一个圆柱，求围成的圆柱的体积。 14．一口底面周长是6.28米的圆柱形水井深10米，平时蓄水深度是井深的 ，这口井平时的蓄水量是多少升？ 15．一个圆柱形的粮囤，从里面量得底面周长是9.42米，高是2米，每立方米稻谷约重545千克，这个粮囤约装稻谷多少千克？(得数保留整千克数) 16．一家果汁生产商生产一种果汁，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的外面量，底面半径是3cm，高是12 cm。易拉罐侧面下方印有“净含量340 mL”字样，这家果汁生产商是否欺骗了消费者？ 考点四、计算圆锥的体积 1．一个圆锥的体积是24cm3，底面积是8cm2，高是（　　）cm。 A．3 B．6 C．9 D．5 2．奇思想把一个底面半径为2分米、高为6分米的圆柱形木棒削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是 (　　)立方分米。 A．25.12 B．200.96 C．100.48 D．50.24 3．一个用金属铸造成的圆锥形铅锤，底面直径是4cm，高是3cm，这种金属每立方厘米大约重8g，这个铅锤大约重(　　)g。 A．1205.76 B．301.44 C．100.48 D．37.68 4．如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块削成两个顶点相连完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥形木块的体积是(　　) A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．36dm3 5．一个圆锥形容器，从里面量得它的底面半径为10cm，高为6cm，这个容器能装下1000 mL的水。(　　) 6．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18m3，圆锥的体积是9m3。（　　） 7．把一个体积18.84立方分米的圆柱体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是　 　，削去部分的体积是　 　。 8．一个圆锥形沙堆，底面半径是10m，高是6m，用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺　 　m。 9．计算下面各圆锥的体积。 （1） （2） （3） 10．求下面图形的体积。 11．一个圆锥形小麦堆的底面周长为12.56米，高为1.5米。如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量约为多少千克？ 12．一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是6米，每立方米沙重2吨，如果用一辆载重量为4吨的汽车运，多少次可以运完这堆沙子？ 13．龙卷风是一种强烈的涡旋现象，常发生于夏季的雷雨天气，在下午至傍晚最为常见，影响范围虽小，但破坏力极大。某次龙卷风的高度约为120米，顶部直径约为100米，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为多少立方米？ 14．如图，一块高是6 cm的圆锥形橡皮泥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原来增加了48cm2。这个圆锥形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 考点五、计算组合图形的体积 1．计算下面图形的体积。 2．求如图形的表面积和体积。 3．计算下图的表面积和体积。 4．求下面空心钢管的体积。(单位：dm) 5．求下图的体积。 6．下图是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，计算它的体积。（单位：cm） 7．求下图形的体积。(单位：cm) 考点六、排水法求不规则体积 1．把一个铁块浸没在一个内底面半径是2分米的圆柱形水槽中，水面上升了5厘米但没溢出，这个铁块的体积是(　　)立方分米。 A．62.8 B．6.28 C．628 D．0.628 2．有一个长方体水箱，从里面量底面积是24分米2，水面高度是5分米。将一个西瓜放入水箱，完全浸没在水中，水面高度上升到5.4分米。这个西瓜的体积是　 　分米3。 3．计算西红柿的体积。 4．如下图得长方体水槽，水深5分米，放进一块铁块，铁块全没入水中，现在水面高为7分米，这铁块的体积是多少？ 5．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6cm，高为12cm。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5cm，铅锤的高为2cm，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 小升初复习专题讲义：立体图形的体积（六大考点，考点梳理+例题讲解+考点练习）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 题型预览 考点一、计算长方体的体积 考点二、计算正方体的体积 考点三、计算圆柱的体积 考点四、计算圆锥的体积 考点五、计算组合图形的体积 考点六、排水法求不规则体积 考点梳理 考点一、计算长方体的体积 1.公式： 2.关键点：单位统一；实际问题如纸箱容积、土方量计算。 考点二、计算正方体的体积 1.公式： 2.关键点：棱长相等的性质；与长方体的区别。 考点三、计算圆柱的体积 1.公式： 2.关键点：区分半径 和直径 （）；应用题如水桶装水量、油桶容积。 考点四、计算圆锥的体积 1.公式： 2.关键点：必须乘以 ；与等底等高圆柱体积的关系。 考点五、排水法求不规则体积 1.原理：物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度。 考点六、易错点提醒 1.单位换算：1立方米=1000立方分米，1升=1立方分米，注意换算陷阱。 2.圆锥勿漏乘 ：直接使用圆柱公式导致错误。 3.区分半径与直径：题目若给直径，需先除以2再代入公式。 4.组合图形：明确相加或相减关系（如中空物体体积=外体积－内体积）。 例题讲解 例题：一、计算长方体的体积 【例题1】如下图中的三个长方形分别是同一个长方体的上面、前面和右面，已知它们的面积，那么这个长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．12 B．36 C．48 D．54 【答案】B 【详解】【解答】解：因为，18=9×2，18=6×3，12=6×2，12=4×3，所以长是6厘米，宽是3厘米，高是2厘米； 6×3×2 =18×2 =36（立方厘米） 故答案为：B。 【分析】根据长方体的上面面积=长×宽，前面面积=长×高，右面面积=宽×高，把三个面积分别拆成两个数的积：18=长×宽=9×2，18=长×宽=6×3，长有可能是9厘米和6厘米，宽有可能是2厘米和3厘米，再根据12=长×高=6×2，12=长×高=4×3，长有可能是6厘米和4厘米，高有可能是2厘米和3厘米，因为同一个长方体中所有长相等，所以长是6厘米，那么宽就是3厘米，则高就只能是2厘米；最后根据长方体的体积=长×宽×高，计算即可。 【例题2】用铁丝焊接一个长12厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝　 　厘米，这个长方体的体积是　 　立方厘米。 【答案】108；600 【详解】【解答】解：（12+10+5）×4 =27×4 =108（厘米） 12×10×5 =120×5 =600（立方厘米） 故答案为：108；600。 【分析】根据长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4，代入数据，求出这个长方体的棱长总和；再根据长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【例题3】求下面图形的表面积和体积。(单位：cm) 【答案】解：长方体的表面积： （10×2+10×5+5×2）×2 =（20+50+10）×2 =80×2 =160（cm2） 长方体的体积： 10×5×2 =50×2 =100（cm3） 【详解】【分析】已知长方体的长、宽、高，求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2；求长方体的体积，用公式：长方体的体积=长×宽×高，据此列式解答。 【例题4】一块长方体方钢，长3米，宽9厘米，厚3厘米。如果每立方厘米重0.25kg，这块方钢重多少kg？ 【答案】解：3m =300cm 300ｘ9ｘ3ｘ0.25 =8100×0.25 =2025（kg） 答：这块方钢重2025kg。 【详解】【分析】长方体体积=长×宽×高，再用体积乘 每立方厘米的重量即可。 例题：二、计算正方体的体积 【例题1】一个正方体的底面周长是12cm，它的体积是（　　）cm3． A．9 B．27 C．36 D．72 【答案】B 【详解】【解答】解：正方体的棱长是：12÷4=3（厘米）， 正方体的体积是：3×3×3=27（立方厘米）， 故选：B． 【分析】正方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长=边长×4，即可求出这个正方体的棱长是12÷4=3厘米，再利用正方体的体积公式即可解答． 【例题2】一个正方体的棱长总和是60cm，它的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 【答案】150；125 【详解】【解答】解：棱长：60÷12=5(cm)，表面积：5×5×6=150(cm²)，体积：5×5×5=125(cm³)。 故答案为：150；125。 【分析】用棱长总和除以12即可求出棱长，用棱长乘棱长乘6即可求出表面积，用棱长乘棱长乘棱长即可求出体积。 【例题3】宗塘豆腐是义乌的特产美食之一。一块正方体豆腐的棱长总和为144cm，它的体积是多少立方厘米? 【答案】解： 144÷12=12(cm) 12×12×12=1728(cm3) 答： 它的体积是1728立方厘米。 【详解】【分析】 正方体有 12 条棱且每条棱长度相等，先通过棱长总和求出每条棱的长度，再根据正方体体积公式求出体积。 例题：三、计算圆柱的体积 【例题1】一个圆柱的侧面展开图是一个长为31.4dm、宽为6.28dm的长方形，这个圆柱的体积最大是(　　)。 A．98.596dm3 B．492.98dm3 C．1971.92dm3 D．628dm3 【答案】B 【详解】【解答】解： 2 π r = 31.4 r == 5 h = 6.28 d m V = π × 5 2 × 6.28 = 3.14 × 25 × 6.28 = 492.98 故答案为：B 【分析】 首先，题目给出的是一个圆柱的侧面展开图的信息，即一个长方形，其长宽分别为31.4dm和6.28dm。根据圆柱的几何性质，侧面展开图的长即是圆柱底面的周长，宽即是圆柱的高。所以可以通过长方形的长求出圆柱底面半径，再结合宽求出圆柱的高，最后利用圆柱体积公式计算体积。 【例题2】一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的侧面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 【答案】251.2；502.4 【详解】【解答】解：2×3.14×4×10 =25.12×10 ＝251.2（cm2） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（cm3）。 故答案为：251.2；502.4。 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，其中，底面周长=π×半径×2，圆柱的体积＝底面积×高，其中，底面积=π×半径×半径。 【例题3】求下面圆柱的体积。(单位：厘米) 【答案】解：18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3(厘米)， 3.14×32×12 =3.14×9×12 =339.12(立方厘米)； 答：圆柱的体积为339.12立方厘米。 【详解】【分析】平行四边形的底即为圆柱底面周长，根据圆的周长公式C=2πr，据此求出圆柱底面半径，再根据圆柱体积公式V=πr2h，据此求解即可。 【例题4】学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径是6米，高是0.8米。如果在里面填土的高度是0.5米，这两个花坛一共需要填土多少立方米？ 【答案】解：6÷2＝3（米） 3.14××0.5×2 ＝3.14×9×0.5×2 ＝28.26×0.5×2 ＝14.13×2 ＝28.26（立方米） 答：这两个花坛一共需要填土28.26立方米。 【详解】【分析】先根据花坛的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据填土的高度求出每个花坛的土的体积，最后乘2即可。 例题：四、计算圆锥的体积 【例题1】一个圆锥的体积是 12.56 cm3，如果将它的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么现在的圆锥的体积是(　　)cm3。 A．12.56 B．25.12 C．37.68 D．50.24 【答案】D 【详解】【解答】解：12.56×22 =12.56×4 =50.24（cm3） 故答案为：D。 【分析】已知圆锥的体积公式：V=13πr2h，当半径扩大2倍且高度不变时，体积的变化仅由半径的平方倍数决定，因此新体积应为原体积的4倍，据此解答即可。 【例题2】一个底面积是5dm3，高是3dm的圆柱形铁块可以熔铸成　 　个和它等底等高的圆锥，每个圆锥的体积是　 　dm3。 【答案】3；15.7 【详解】【解答】解：×3.14×5×3 =3.14×5 =15.7（dm3） 故答案为：3，15.7。 【分析】已知等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，所以一个底面积是5dm3，高是3dm的圆柱形铁块可以熔铸成3个和它等底等高的圆锥。由题干可知，圆锥的底面积是5dm3，高是3dm，根据圆锥的体积公式：V=Sh，计算即可。 【例题3】计算下面圆锥的体积。 （1） （2） 【答案】（1）解： 答：圆锥的体积是10.8m3。 （2）解： 答：圆锥的体积是200.96m3。 【详解】【分析】（1）已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式：V=Sh，代入数据计算即可； （2）已知圆锥的底面直径和高，首先将底面直径除以2得到该圆锥的底面半径，然后根据圆锥的体积公式：V=πr2h，代入数据计算即可。 【例题4】一个圆锥形沙堆，底面直径是8m，高是1.5m，这个沙堆的体积是多少立方米? 【答案】解：V=×3.14×（8÷2）2×1.5 =×3.14×16×1.5 =×50.24×1.5 =×75.36 =25.12（立方米） 答：这个沙堆的体积是25.12立方米。 【详解】【分析】已知圆锥的体积公式：V=πr2h，首先根据直径=半径×2，计算得到圆锥形沙堆的底面半径，再将底面半径和高代入圆锥的体积公式，即可得到这个沙堆的体积。 例题：五、计算组合图形的体积 【例题1】计算图形的体积。 【答案】解：10×5×3+5×5×（8-3） =150+75 =225 【详解】【分析】可以把图形分成上下两个长方体计算体积。下面长方体长10、宽5、高3；上面长方体长5、宽5、高（8-3）。 【例题2】求这个几何体的体积。(单位：dm) 【答案】解： =3.14×40×+120 =3.14×30+120 =94.2+120 =214.2（dm3）； 答：这个几何体的体积是214.2dm3。 【详解】【分析】该几何体的体积=长方体体积+圆柱的体积，长方形体积=长×宽×高，圆柱的体积=πr2h，据此代入数据求解。 【例题3】计算如图组合图形的体积。（单位：m） 【答案】解：3.14×（8÷2）2×5+3.14×（8÷2）2×3× =3.14×80+3.14×16 =251.2+50.24 =301.44（m3） 【详解】【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×，由此用圆柱的体积加上圆锥的体积即可求出总体积。 例题：六、排水法求不规则体积 【例题1】实验课上，小华在一个底面积为48cm2的长方体水槽中放入了一块石头(完全浸没，水未溢出)，水面上升了2cm，这块石头的体积是 (　　)cm3。 A．24 B．50 C．96 D．192 【答案】C 【详解】【解答】 首先，明确水槽底面积为48平方厘米，水面上升的高度为2厘米。 石头的体积=水槽底面积×水面上升的高度 =48平方厘米×2厘米 =96立方厘米 因此，这块石头的体积是96立方厘米。故正确答案是：C 。 【分析】 本题涉及的是物体完全浸入水中，造成水面升高的情况。根据体积守恒的原则，石头的体积应该等于因石头放入而使水面上升所增加的水的体积。而水的体积可以通过水槽底面积乘以水面上升的高度来计算。 【例题2】数学活动课上，501班四名同学打算测量一块鹅卵石的体积，操作步骤如下： ①小花准备了长方体塑料杯，从里面测，底面是边长为10cm 的正方形，高20cm。 ②小华往杯里慢慢地倒入一些水，量得水面到杯口的距离是5cm 。 ③小红把鹅卵石慢慢放进杯中，使得杯中的水完全浸没鹅卵石，水溢出杯口一部分。 ④小刚取出鹅卵石，量得水面到杯口的距离变为8cm。 小华往杯里倒入一些水的体积是　 　cm3，这块鹅卵石的体积是　 　cm3。 【答案】1500；800 【详解】【解答】解：20－5=15（cm） 10×10×15 =100×15 =1500（cm3） 10×10×8 =100×8 =800（cm3） 故答案为：1500；800。 【分析】根据题意可知：倒入水的高度=杯子的高度－水面到杯口的距离，倒入水的体积=底面边长×边长×倒入水的高度；通过实际操作可知水完全浸没鹅卵石再取出鹅卵石，则下降部分水的体积就是鹅卵石的体积，因为“水溢出杯口一部分”，所以取出鹅卵石前水面的高度等于杯子的高度，则下降部分水的高等于取出鹅卵石后水面到杯口的距离，因此，鹅卵石的体积=边长×边长×取出鹅卵石后水面到杯口的距离。 考点练习 考点一、计算长方体的体积 1．一根方木的体积是80dm3，长是2m，它的横截面的面积是(　　)。 A．4dm B．4dm2 C．40dm2 D．160dm2 【答案】B 【详解】【解答】解：2m=20dm V=Sh得S=V÷h，即80÷20 = 4dm2 故答案为：B。 【分析】先统一单位，把长2m换算成20dm。因为长方体体积V=Sh(方木类似长方体)，已知体积80dm3和长20dm，求横截面面积S，就用体积除以长，即80÷20=4dm2。 2．如图，将一根长1.5m的长方体木料截成3段，表面积比原来增加了24 dm2。原来这根木料的体积是(　　)dm3。 A．36 B．90 C．180 D．360 【答案】B 【详解】【解答】解：24÷4=6（dm2） 1.5m=15dm V=6×15=90（dm3） 故答案为：B。 【分析】观察图形，将一根长1.5m的长方体木料截成3段，表面积比原来增加了4个截面面积，共24dm2；然后根据除法计算出一个截面面积为24÷4=6（dm2）；最后根据长方体木料体积=截面面积×长度，代入数据计算即可。 3．新买了一盒牙膏，包装盒长15cm，宽是长的 ，高比宽长1cm，这个牙膏盒的体积（　　）cm3。 A．375 B．400 C．450 D．475 【答案】C 【详解】【解答】解：宽：15×=5（cm）； 高：5+1=6（cm）； 长方体的体积：15×5×6 =75×6 =450（cm3） 故答案为：C。 【分析】此题主要考查了长方体体积的计算，先求出长方体的宽和高，要求长方体的体积，应用公式：长方体的体积=长×宽×高，据此列式解答。 4．一个长方体长8cm、宽6cm、高5cm，它的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 【答案】236；240 【详解】【解答】（8×6＋8×5＋6×5）×2 ＝（48＋40＋30）×2 ＝118×2 ＝236（cm2） 8×6×5＝240（cm3）。 故答案为：236；240。 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。 5．如下图，下侧是一个长方体的平面展开图，它少了一个面，少了的这个面和　 　号面大小一样，这个长方体的体积是　 　立方厘米。 【答案】⑤；640 【详解】【解答】解：少了的这个面和⑤号面大小一样。体积：（21-5）×8×5=16×40=640（立方厘米）。 故答案为：⑤；640。 【分析】看图可知，①和③是相对的面，②和④是相对的面，所以缺少的面是和⑤相对的面。长和高的和是21厘米，高是5厘米，宽是8厘米，先求出长，然后用长乘宽再乘高求出体积。 6．一根长方体柱子，占地面积是0.24m2，柱子高是4m，这根柱子的体积是　 　m3。 【答案】0.96 【详解】【解答】解：0.24×4=0.96（m3） 故答案为：0.96。 【分析】根据题意可知占地面积0.24m2就是柱子的底面积，高是4m，因此：占地面积×高=这根柱子的体积，据此解答即可。 7．一个长方体的茶叶盒，高为15cm，底面为正方形。在它的四周贴满包装纸(上下底面除外)，如果包装纸的面积是 600cm2，这个茶叶盒的体积是　 　cm3。 【答案】1500 【详解】【解答】解：600÷4÷15 =150÷15 =10（厘米） 体积：10×10×15=1500（cm3） 故答案为：1500。 【分析】因为底面是正方形，所以四周的四个面是完全相同的长方形。用贴包装纸的面积除以4求出四周1个面的面积，用1个面的面积除以长方体的高就是底面的边长，然后用底面积乘高求出长方体的体积即可。 8．计算下面图形的体积。 （单位：cm） 【答案】解：20×5×5 =100×5 =500（cm3） 【详解】【分析】长方体体积=长×宽×高，根据公式计算体积即可。 9．一个长方体鱼缸，从里面量长40厘米，宽25 厘米。倒入30L 的水后，水深多少厘米？ 【答案】解：30L=30000cm3 30000÷（40×25） =30000÷1000 =30（cm） 答：水深30厘米。 【详解】【分析】将30升转换为立方厘米，鱼缸底面积为长乘以宽，长方体体积=底面积×高，高=体积÷底面积，据此求解。 10．如图，用铁皮制作一个油箱。要使这个油箱能装油60升，则至少需要铁皮多少平方分米？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】解：60升=60立方分米 高：60÷5÷4=3（分米） （5×3+4×3+5×4）×2 =47×2 =94（平方分米） 答： 至少需要铁皮 94平方分米。 【详解】【分析】长方体的体积=长×宽×高 ，所以 高=体积÷(长×宽)，据此求出油箱的高，再根据 长方体表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高) 计算即可。 11．方方家有一透明的长方体容器，里面装了一部分水。方方想知道里面水的体积，一时找不到尺子。他通过尝试，发现当如图摆放时，水没有溢出。长方体容器中的水有多少升？ 【答案】解：50×20×20÷2 =20000÷2 =10000（立方厘米） 10000立方厘米=10升 答：长方体容器中的水有10升。 【详解】【分析】这样放置可以看出，水的体积刚好是容器容积的一半，由此计算处容器的容积，再除以2即可求出水的体积。长方体体积=长×宽×高。 考点二、计算正方体的体积 1．有一个长方体，如果它的高增加2厘米就可以变成一个正方体。它的底面周长是24cm，它的体积是（　　）cm3。 A．24 B．216 C．8 D．144 【答案】B 【详解】【解答】解：24÷4=6（厘米） 6×6×6 =36×6 =216（立方厘米）。 故答案为：B。 【分析】这个正方体的体积=棱长×棱长×棱长，其中，棱长=底面周长÷4。 2．在一个长13cm、宽9cm、高6cm的长方体盒子里，最多能放(　　)个棱长为3cm的正方体木块。 A．36 B．24 C．12 D．6 【答案】B 【详解】【解答】解： 13÷3=4⋯⋯1 ； 9÷3=3 ； 6÷3=2 ； 4×3×2=24个。 故答案为：B。 【分析】 长13cm，棱长3cm ， 最多放4个。 宽9cm ， 放3个。 高6cm ， 放2层。 三个方向数量相乘即可。 3．将一个长、宽、高分别为9cm、7cm、5cm的长方体木块削成一个最大的正方体木块，削去部分的体积是(　　)cm3。 A．315 B．125 C．160 D．190 【答案】D 【详解】【解答】解：9×7×5 =63×5 =315（立方厘米） 315－5×5×5 =315－125 =190（立方厘米） 故答案为：D。 【分析】根据正方体的特征12条棱一样长可知把一个长方体削成一个最大的正方体，则正方体的棱长只能是长方体中最短的那条棱即5cm，因此，长×宽×高=长方体的体积，棱长×棱长×棱长=正方体的体积，长方体的体积－棱长×棱长×棱长=削去部分的体积。 4．棱长6厘米的正方体，它的表面积与体积相等。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：正方体的表面积和体积不能比较大小，所以原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】表面积是指物体表面的大小，而体积是指物体所占空间的大小，它们描述、测量的对象不同，所以不能比较大小。 5．正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的9倍。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】解：正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的33=27倍。 故答案为：错误。 【分析】正方体的棱长扩大到原来的几倍，相应地体积扩大到原来的几倍。 6．林老师用一根长84cm的铁丝做成了一个正方体教具，这个正方体的教具所占空间是　 　cm3，如果在它的表面积贴上一层纸，纸的面积至少是　 　cm2。 【答案】343；294 【详解】【解答】解：84÷12=7（cm） 7×7×7 =49×7 =343（cm3） 7×7×6 =49×6 =294（cm2） 故答案为：343；294。 【分析】根据题意可知铁丝长度就是正方体的棱长总和，教具所占空间的大小即正方体的体积，纸的面积即正方体的表面积，因此，铁丝长度÷12=正方体的棱长，正方体的棱长×棱长×棱长=正方体的体积，正方体的棱长×棱长×6=纸的面积。 7．小新将一块橡皮泥先捏成了一个棱长是4 cm的实心正方体，然后又把它改捏成一个长是8cm、宽是4cm的实心长方体，这个长方体的高是　 　cm。 【答案】2 【详解】【解答】解：4×4×4÷（8×4） =64÷32 =2（cm） 故答案为：2。 【分析】根据题意可知长方体的体积等于正方体的体积，因此，棱长×棱长×棱长=正方体的体积，长×宽=长方体的底面积，棱长×棱长×棱长÷（长×宽）=长方体的高。 8．求如图所示图形的表面积和体积。 （1） （2） 【答案】（1）（6×5+6×4+5×4）×2 ＝（30+24+20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方厘米） 答：长方体的表面积是148平方厘米，体积是120立方厘米。 （2）解：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 答：正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米。 【详解】【分析】（1）长×宽+长×高+宽×高）×2=长方体的表面积；长×宽×高=长方体的体积； （2）正方体的棱长×棱长×6=正方体的表面积；正方体的棱长×棱长×棱长=正方体的体积。 9．小冬有一根长方体木料，沿着长截去3dm后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60dm2。剩下的正方体木料的体积是多少？ 【答案】解：60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 答：剩下的正方体木料的体积是125立方分米。 【详解】【分析】减少的表面积÷4=减少的一个面的面积，减少的一个面的面积÷3分米=正方体的棱长，正方体的体积=正方体棱长×棱长×棱长。 10．在一个装满水的棱长为20cm的正方体水缸里，有一块长 16cm、宽10cm的长方体铁块浸没在水中，当把这块铁块取出后，带出了160mL的水，最后水缸里的水与原来相比下降了2cm。这块铁块的高是多少厘米？ 【答案】解：160mL=160cm3 (20×20×2-160)÷(16×10) =640÷160 =4(cm) 答：这块铁块的高是4厘米。 【详解】【分析】通过实际操作可知当铁块完全浸没在水中且水刚满没有溢出时，容器的体积是水与铁块体积的和，当拿出铁块后，下降部分水的体积是铁块体积与带出水体积的和，且下降部分水的底面积等于容器的底面积，下降部分水的高等于水面下降的高，因此，棱长×棱长×水面下降的高=铁块体积与带出水体积的和，棱长×棱长×水面下降的高－带出水的体积=铁块的体积，长×宽=铁块的底面积，（棱长×棱长×水面下降的高－带出水的体积）÷（长×宽）=铁块的高；计算时统一单位：1mL=1cm3。 考点三、计算圆柱的体积 1．一个圆柱形零件的体积是251.2 cm3，高是20cm，零件的底面半径是(　　) cm。 A．12.56 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】【解答】解：251.2÷20=12.56（平方厘米） 12.56÷3.14=4（平方厘米） 4=2×2。 故答案为：C。 【分析】零件的底面半径2=底面积÷π，其中，底面积=体积÷高。 2．一个长方形的长是6厘米，宽是2厘米。以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱体的体积是(　　)立方厘米。 A．75.36 B．150.72 C．56.52 D．226.08 【答案】A 【详解】【解答】解：3.14×22×6 =3.14×4×6 =12.56×6 =75.36(立方厘米)； 故答案为：A。 【分析】根据圆柱的体积公式=，据此解答即可。 3．有一块正方体木料，它的棱长是2分米，将它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是(　　)立方分米。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．100.48 【答案】A 【详解】【解答】解：底面半径：2÷2=1（分米） 高：2分米 3.14×1×1×2=6.28（立方分米） 故答案为：A。 【分析】将正方体木料加工成一个最大的圆柱，正方体的棱长就是圆柱的底面直径；再根据“π×底面半径的平方×高=圆柱的体积”求出圆柱的体积。 4．两个圆柱的侧面积相等，体积也一定相等。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：圆柱的侧面积=2πrh 圆柱的体积=πr2h 侧面积相等说明rh相等，并不能说明r2h相等 故答案为：错误。 【分析】根据圆柱的侧面积公式，两个圆柱的侧面积相等，意味着它们的底面周长乘以高的乘积相等。然而，这并不意味着两个圆柱的底面半径和高一定相等。例如，一个圆柱的底面半径可能大于另一个圆柱的底面半径，但其高可能小于另一个圆柱的高，使得两个圆柱的侧面积仍然相等。因此，即使两个圆柱的侧面积相等，它们的体积也不一定相等。 5．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的 ，它的体积不变。（　　） 【答案】错误 【详解】【解答】2×2×=2，它的体积扩大到原来的2倍。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】底面半径扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，体积缩小到原来的2倍。合在一起就是它的体积扩大到原来的2倍。 6．把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是　 　cm，它的体积是　 　cm3。 【答案】2；100.48 【详解】【解答】解：12.56÷3.14÷2 =4÷2 ＝2（cm） 3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（cm3）。 故答案为：2；100.48。 【分析】这个圆柱形纸盒的底面半径=底面周长÷π÷2，其中，底面周长=侧面展开长方形的长；圆柱体积＝底面积×高，其中，底面积=π×半径×半径。 7．如下图所示，将圆柱切拼成一个近似的长方体。长方体的长约为15.7厘米，宽是5厘米，高是8厘米。那么圆柱的底面积等于　 　平方厘米；圆柱的体积等于　 　立方厘米。 【答案】78.5；628 【详解】【解答】解：15.7÷3.14=5（厘米） 3.14×52 =3.14×25 =78.5（平方厘米） 3.14×52×8 =3.14×25×8 =78.5×8 =628（立方厘米） 故答案为：78.5；628。 【分析】 把圆柱切拼成近似长方体后，长方体的长等于圆柱底面周长的一半，也就是πr，已知长方形的长，可以求出圆柱的底面半径r，要求圆柱的底面积，S=πr2；圆柱的体积V=πr2h，据此列式解答。 8．一根长2米的圆柱形木料，截成同样长的4段小圆柱，它的表面积就增加18.84平方分米，原来这根木料的体积是　 　立方分米。 【答案】62.8 【详解】【解答】解：18.84÷（3×2） =18.84÷6 =3.14（平方分米） 2米=20分米 3.14×20=62.8（立方分米） 故答案为：62.8。 【分析】分析题干，将一根圆柱形木料截成同样长的4段小圆柱要截3次，增加的表面积就是3×2=6（个）截面面积，也是圆柱形木料的底面积；圆柱形木料的长度2米，就是圆柱体的高，即20分米；再根据圆柱的体积公式：V=Sh，代入数据计算即可得到这根木料的体积。 9．将一个圆柱的高增加2cm后，体积变为原来的1.5倍，表面积增加了25.12cm2。这个圆柱原来的体积是　 　cm3，表面积是　 　cm2。 【答案】50.24；75.36 【详解】【解答】解：25.12÷2=12.56（厘米） 12.56÷3.14÷2=2（厘米） 3.14×22×2÷（1.5-1） =25.12÷0.5 =50.24（立方厘米） 50.24÷（3.14×22）=4（厘米） 3.14×22×2+3.14×2×2×4 =25.12+50.24 =75.36（平方厘米） 故答案为：50.24；75.36。 【分析】根据题意，可用增加的面积除以增加的高就可得到圆柱的底面周长，然后再根据圆的周长公式C=2πr计算出圆柱的底面半径，最后再根据圆的面积公式S=πr2计算出圆柱的底面积，再用底面积乘以增加的高就是增加的圆柱的体积，然后除以（1.5-1）得出圆柱原来的体积，再用底面积乘2加侧面积计算表面积。 10．一瓶水750mL，如下图，小刚喝了一些后，把瓶盖拧紧后倒置放平，小刚喝了　 　mL。 ​​ 【答案】500 【详解】【解答】解：750÷（10＋5）×10 =750÷15×10 =50×10 =500（立方厘米） 500立方厘米=500毫升。 故答案为：500。 【分析】小刚喝水的体积=这瓶水的体积÷（剩余水的高度＋倒立时空余部分的高度）×倒立时空余部分的高度。然后再单位换算。 11．帽筒瓷器兴起于清朝，用来置放帽子，后来发展为家居摆设，帽筒以制作工艺、制式、绘画等，饱含了我国一个半世纪的民风民俗，成为雅俗共赏的古董瓷器之一。一种帽简呈圆柱状，底面直径约为12cm，高约为30cm，它的体积约为　 　cm3。 【答案】3391.2 【详解】【解答】解：3.14×（12÷2）2×30 =3.14×36×30 =3.14×1080 =3391.2（cm3）； 故答案为：3391.2。 【分析】圆柱的体积=πr2h，据此代入数据求解。 12．计算下面各圆柱的体积。 （1） （2） （3） 【答案】（1）解：60×4=240（立方厘米） （2）解：3.14×12×5=15.7（立方厘米） （3）解：6÷2=3（分米） 3.14×32×10 =28.26×10 =282.6（立方分米） 【详解】【分析】圆柱的体积=底面积×高；其中，底面积=π×半径2，半径=直径÷2。 13．图中阴影部分正好可以围成一个圆柱，求围成的圆柱的体积。 【答案】解：圆柱底面直径：24.84÷(3.14+1) =24.84÷4.14 =6(dm)； 圆柱高：6×2=12(dm)； 圆柱体积：3.14×(6÷2)2×12 =3.14×9×12 =339.12(dm3) 答：围成的圆柱的体积是339.12dm3。 【详解】【分析】由图可知，圆柱的底面周长+底面直径=24.84，据此可以求出圆柱的底面直径；圆柱的高=底面直径×2，可以求出圆柱的高；再根据圆柱体积=底面积×高，代入数值计算解答。 14．一口底面周长是6.28米的圆柱形水井深10米，平时蓄水深度是井深的 ，这口井平时的蓄水量是多少升？ 【答案】解：3.14×（6.28÷3.14÷2）2×10× =3.14×12×10× =3.14×8 =25.12（立方米） 25.12立方米=25120升 答：这口井平时的水量是25120升。 【详解】【分析】先依据圆的周长公式：r=C÷π÷2求出井口半径，进而用S=πr2求出井口面积，从而得出这口井的容积，再乘即可求出蓄水量。 15．一个圆柱形的粮囤，从里面量得底面周长是9.42米，高是2米，每立方米稻谷约重545千克，这个粮囤约装稻谷多少千克？(得数保留整千克数) 【答案】解：3.14×（9.42÷3.14÷2）2×2×545 =3.14×2.25×2×545 =14.13×545 ≈7701（千克） 答：这个粮囤能装稻谷7701千克。 【详解】【分析】先根据：C÷π÷2=r，S=πr2，V=Sh求出粮囤的体积，再用其体积乘单位体积的稻谷的重量，就是这个粮囤最多能装的稻谷的重量。 16．一家果汁生产商生产一种果汁，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的外面量，底面半径是3cm，高是12 cm。易拉罐侧面下方印有“净含量340 mL”字样，这家果汁生产商是否欺骗了消费者？ 【答案】解：3.14×32×12 =28.26×12 =339.12（mL） 339.12<340 答：这家果汁生产商欺骗了消费者。 【详解】【分析】根据题意可得：圆周率×半径的平方×高=易拉罐和果汁的体积和；因为测量的数据是从外面测量的，且易拉罐是有厚度的，因此计算结果是果汁和易拉罐体积的和，即果汁净含量是小于计算结果的，所以果汁净含量是远远小于商家标的数据，据此可以判断。 考点四、计算圆锥的体积 1．一个圆锥的体积是24cm3，底面积是8cm2，高是（　　）cm。 A．3 B．6 C．9 D．5 【答案】C 【详解】【解答】解：24÷÷8 ＝24×3÷8 ＝9（cm）。 故答案为：C。 【分析】圆锥体积＝×底面积×高，圆锥高＝体积÷÷底面积。 2．奇思想把一个底面半径为2分米、高为6分米的圆柱形木棒削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是 (　　)立方分米。 A．25.12 B．200.96 C．100.48 D．50.24 【答案】D 【详解】【解答】解：3.14×22×6-3.14×22×6× =3.14×24-3.14×8 =3.14×16 =50.24（立方分米） 故答案为：D。 【分析】圆柱形木棒削成的最大圆锥与圆柱等底等高，用圆柱的体积减去最大圆锥的体积即可求出削去部分的体积。圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×。 3．一个用金属铸造成的圆锥形铅锤，底面直径是4cm，高是3cm，这种金属每立方厘米大约重8g，这个铅锤大约重(　　)g。 A．1205.76 B．301.44 C．100.48 D．37.68 【答案】C 【详解】【解答】解：圆锥体积公式： 其中，底面直径为4cm，故半径，高。 代入得： 故答案为：C 【分析】首先，需要计算圆锥形铅锤的体积，然后利用金属密度计算其重量。题目给出底面直径和高，需先求半径，再代入体积公式，最后乘以密度得到重量。 4．如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块削成两个顶点相连完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥形木块的体积是(　　) A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．36dm3 【答案】A 【详解】【解答】解：72÷2÷3 =36÷3 =12（dm3） 故答案为：A。 【分析】分析题干，将圆柱形木块一分为二，得到每个半圆柱的体积为72立方分米除以2，即36立方分米；由于圆锥形木块是通过削去部分半圆柱形木块而形成的，且圆锥和半圆柱等底等高，所以圆锥的体积为半圆柱体积的三分之一；据此解答即可。 5．一个圆锥形容器，从里面量得它的底面半径为10cm，高为6cm，这个容器能装下1000 mL的水。(　　) 【答案】错误 【详解】【解答】解：×3.14×102×6 =3.14×200 =628（cm3）=628mL≠1000mL 故答案为：错误。 【分析】已知圆锥形容器的底面半径和高，根据圆锥的体积公式：V=πr2h，计算得出圆锥形容器的体积，根据1cm3=1mL换算单位，然后与1000mL进行比较即可。 6．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18m3，圆锥的体积是9m3。（　　） 【答案】正确 【详解】【解答】解：圆锥的体积：18÷2=9（ m3 ）， 圆柱的体积是：9×3=27（ m3 ） 故答案为：正确。 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，由此即可解答。 7．把一个体积18.84立方分米的圆柱体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是　 　，削去部分的体积是　 　。 【答案】6.28立方分米；12.56立方分米 【详解】【解答】解：18.84×=6.28（立方分米） 18.84-6.28=12.56（立方分米） 故答案为：6.28立方分米，12.56立方分米。 【分析】把一个体积是18.84立方米的圆柱体削成一个最大的圆锥，也就是圆锥与圆柱等底等高，所以圆锥的体积是圆柱体积的，削去部分的体积是圆柱体积的（1-），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。 8．一个圆锥形沙堆，底面半径是10m，高是6m，用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺　 　m。 【答案】3140 【详解】【解答】解：2cm=0.02m 3.14×102×6×÷（10×0.02） =628÷0.2 =3140（m） 故答案为：3140。 【分析】这堆沙不论堆成圆锥还是长方体，形状虽然变了，但体积大小不变。根据圆锥的体积计算公式“V=πr2h”计算出这个圆锥形沙堆的体积，再根据长方体体积计算公式“V=abh”即可求出用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少m，注意单位换算。 9．计算下面各圆锥的体积。 （1） （2） （3） 【答案】（1）解：9×3.6× =32.4× =10.8（立方米） （2）解：3.14×32××8 =9.42×8 =75.36（立方分米） （3）解：8÷2=4（厘米） 3.14×42×12× =50.24×12× =602.88× =200.96（立方厘米） 【详解】【分析】圆锥的体积=底面积×高×，其中，底面积=π×半径2。 10．求下面图形的体积。 【答案】解：6÷2=3（分米） 3÷2=1.5（分米） 3.14×32×10÷3-3.14×1.52×5÷3 =3.14×（30-3.75） =3.14×26.25 =82.425（立方分米） 【详解】【分析】图形的体积=整个圆锥的体积-上面空余部分圆锥的体积，其中，圆锥的体积=π×半径2×高÷3。 11．一个圆锥形小麦堆的底面周长为12.56米，高为1.5米。如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量约为多少千克？ 【答案】解：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） ＝ ＝ ＝ ＝4396（千克） 答：这堆小麦的质量约为4396千克。 【详解】【分析】已知圆锥形小麦堆的底面周长，根据圆锥的底面周长=2πr，得到圆锥的底面半径=周长÷π÷2，计算得出圆锥形小麦堆的底面半径是12.56÷3.14÷2＝2（米）；然后根据圆锥的体积公式：V=πr2h，计算出小麦的体积，再乘以每立方米小麦的质量，即可得到这堆小麦的总质量。 12．一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是6米，每立方米沙重2吨，如果用一辆载重量为4吨的汽车运，多少次可以运完这堆沙子？ 【答案】解：×3.14×32×6×2 =×3.14×9×6×2 =3.14×3×6×2 =56.52×2 =113.04(吨) 113.04×4=28(次)……1.04(吨) 28+1=29(次) 答：29次可以运完这堆沙子。 【详解】【分析】圆锥体积=×π×半径2×高，先求出沙堆的体积，再用沙堆的体积乘每立方体质量求出沙堆的总质量；最后用沙堆的总质量除以汽车载重即可解答。 13．龙卷风是一种强烈的涡旋现象，常发生于夏季的雷雨天气，在下午至傍晚最为常见，影响范围虽小，但破坏力极大。某次龙卷风的高度约为120米，顶部直径约为100米，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为多少立方米？ 【答案】解：×3.14×(100÷2)2×120 =3.14×2500×（120×） =7850×40 ＝314000(立方米) 答：这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的体积约为314000立方米。 【详解】【分析】圆锥的体积=πr2h，这次龙卷风所形成的近似圆锥形空间的高是120米，半径是50米，代入数据计算即可。 14．如图，一块高是6 cm的圆锥形橡皮泥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原来增加了48cm2。这个圆锥形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：48÷2=24(cm2) 24×2÷6=8( cm) 3.14×( 8÷2)2×6× =3.14×16×6× =50.24×6× =100.48(cm3) 答：这个圆锥形橡皮泥的体积是100.48立方厘米。 【详解】【分析】圆锥形橡皮泥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了2个三角形；增加的面积÷2=一个三角形的面积，一个三角形的面积×2÷圆锥的高=圆锥的底面直径，π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积。 考点五、计算组合图形的体积 1．计算下面图形的体积。 【答案】解：20×10×6-6×3×3 =1200-54 =1146 【详解】【分析】用长方体的体积减去中间挖去的正方体体积即可求出图形的体积。长方体体积=长×宽×高，正方体体积=棱长×棱长×棱长。 2．求如图形的表面积和体积。 【答案】解：10×10×6+4×10×5 ＝600+200 ＝800（平方厘米） 10×10×10+10×5×5 ＝1000+250 ＝1250（立方厘米） 答：图形的表面积是800平方厘米，体积是1250立方厘米。 【详解】【分析】图形的表面积=左边正方体的棱长×棱长×6＋右边长方体的长×宽×4； 图形的体积=正方体的棱长×棱长×棱长＋长方体的长×宽×高。 3．计算下图的表面积和体积。 【答案】解：表面积： （6×4+6×1+4×1）×2+3.14×1×4 =34×2+12.56 =68+12.56 =80.56（dm2） 体积： 6×4×1+3.14×（1÷2）2×4 =24+0.785×4 =24+3.14 =27.14（dm3） 【详解】【分析】将圆柱的上底面平移到下面，则图形的表面积就是圆柱的侧面积和长方体表面积的和，因此，（长×宽+长×高+宽×高）×2=长方体的表面积，圆周率×直径×圆柱的高=圆柱的侧面积，（长×宽+长×高+宽×高）×2+圆周率×直径×圆柱的高=图形的表面积； 长×宽×高=长方体的体积，圆周率×（直径÷2）2×圆柱的高=圆柱的体积，长×宽×高+圆周率×（直径÷2）2×圆柱的高=图形的体积。 4．求下面空心钢管的体积。(单位：dm) 【答案】解：10÷2=5（分米） 6÷2=3（分米） 3.14×（52-32）×40 =50.24×40 =2009.6（立方分米） 【详解】【分析】这个空心钢管的体积=π×（R2-r2） ×高，其中，半径=直径÷2。 5．求下图的体积。 【答案】解： （cm3） 答：下图的体积是84.78cm3。 【详解】【分析】观察立体图形，由两个圆锥体构成，首先根据半径=直径2，计算得出两个圆锥体的底面半径为62=3（cm），然后根据圆锥的体积公式：V=πr2h，分别表示出两个圆锥体的体积，再相加计算即可得到图中几何体的体积。 6．下图是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，计算它的体积。（单位：cm） 【答案】解：12÷2=6（cm） 3.14×62×20-3.14×62×10÷3 =3.14×36×20-3.14×360÷3 =3.14×720-3.14×120 =3.14×（720-120） =3.14×600 =1884（cm3） 答：它的体积是1884cm3。 【详解】【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高÷3；用圆柱的体积减去圆锥的体积即可。 7．求下图形的体积。(单位：cm) 【答案】解：3.14×(6÷2)2×5+3.14×(6÷2)2×(10+ 8)÷3 =3.14×9×5+3.14×9×18÷3 =141.3+169.56 =310.86(cm2) 【详解】【分析】由图可知：组合体的体积=两个圆锥的体积之和+一个圆柱的体积；圆柱体的体积=底面积（S=πr2）×高，圆锥体的体积=底面积（S=πr2）×高÷3，代入数值计算即可求解。 考点六、排水法求不规则体积 1．把一个铁块浸没在一个内底面半径是2分米的圆柱形水槽中，水面上升了5厘米但没溢出，这个铁块的体积是(　　)立方分米。 A．62.8 B．6.28 C．628 D．0.628 【答案】B 【详解】【解答】解：5厘米=0.5分米， 3.14×22×0.5 =3.14×2 =6.28（立方分米） 故答案为：B。 【分析】水面上升部分水的体积就是铁块的体积，由此用水槽的底面积乘水面上升的高度即可求出铁块的体积。注意统一单位。 2．有一个长方体水箱，从里面量底面积是24分米2，水面高度是5分米。将一个西瓜放入水箱，完全浸没在水中，水面高度上升到5.4分米。这个西瓜的体积是　 　分米3。 【答案】9.6 【详解】【解答】解：24×（5.4－5） =24×0.4 =9.6（立方分米） 故答案为：9.6。 【分析】通过实际操作可知当西瓜完全浸没在水中且水没有溢出时，西瓜的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的底面积等于容器的底面积，因此，放入西瓜后的水面高度－原水面高度=上升部分水的高，容器底面积×（放入西瓜后的水面高度－原水面高度）=西瓜的体积。 3．计算西红柿的体积。 【答案】解：10×15×（10-8.5） =150×1.5 =225（cm3）； 答：西红柿的体积为225cm3。 【详解】【分析】西红柿的体积即为水上涨的体积，根据长方体的体积公式：长×宽×高，据此求解。 4．如下图得长方体水槽，水深5分米，放进一块铁块，铁块全没入水中，现在水面高为7分米，这铁块的体积是多少？ 【答案】解：12×6×（7－5） =72×2 =144（立方分米） 答：这铁块的体积是144立方分米。 【详解】【分析】根据题意可知完全没入水中的铁块的体积就是上升部分水的体积：上升部分水的底面积等于原水槽的底面积=长×宽，上升部分水的高=现在水面高－原水面高，因此，铁块的体积=长×宽×（现在水面高－原水面高）。 5．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6cm，高为12cm。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5cm，铅锤的高为2cm，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】解：3.14×（6÷2）2×0.5×3÷2 =3.14×9×0.5×3÷2 =42.39÷2 =21.195（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是21.195平方厘米。 【详解】【分析】水面升高部分水的体积就是铅锤的体积，因此用玻璃缸的底面积乘水面上升的高低即可求出铅锤的体积。根据圆锥的体积公式，用铅锤的体积乘3再除以高即可求出底面积。 第 1 页 共 35 页 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