精品解析：四川省江油中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

四川省江油中学2022级高三上期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 复数在复平面内所对应的点为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A. 100 B. 230 C. 130 D. 365 4. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，若四棱台的体积为．则直线与平面所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 10. 已知函数，两条相邻对称轴之间的距离为，且，则（ ） A. B. C. 关于对称 D. 在上单调递增 11. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则________. 13. 已知圆台的下底面半径为，上底面半径为，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为______． 14. 已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，的面积为，求b. 16. 为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据. 学习时间 20 30 40 50 60 数学成绩 59 72 82 97 110 （1）已知与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，） （2）由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生周日下午学生返校自习，实施一段时间后，抽样调查了200位学生.按照是否参与周日自习以及成绩是否有进步，统计得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周日自习与成绩进步”是否有关（结果精确到0.01）. 没有进步 有进步 合计 参与周日自习 30 130 160 未参与周日自习 20 20 40 合计 50 150 200 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值的大小； （3）求点到平面的距离. 18. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值； （3）当时，求证；对任意的，且，有． 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油中学2022级高三上期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 复数在复平面内所对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，再由复数的几何意义可得出结果. 【详解】因为，因此，复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：C. 2. 下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可． 【详解】对于A，是偶函数，不满足条件． 对于B，，函数是奇函数，由于 均在单调递增，故在单调递增，符合条件， 对于C,，则是奇函数， 在单调递增,且为正，函数在单调递减，不满足条件． 对于D，，函数是奇函数，当时，， ，，此时，不是增函数，不满足条件． 故选：B． 3. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A. 100 B. 230 C. 130 D. 365 【答案】B 【解析】 【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得. 【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍， 此时“进步值”为，“退步值”为，即， 所以，则， 所以天． 故选：B 4. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】①，若，，则，①正确. ②，若，，则m，n有可能平行或异面；②不正确. ③，若，，由线面垂直的判定定理可得，，③正确. ④，若，，，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，④不正确， 故选：B. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件列方程组可求出和，再利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 故选：C 6. 如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，若四棱台的体积为．则直线与平面所成角的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点，作，连接，根据平面，得到平面，连接，从而为与平面的夹角求解. 【详解】如图所示： 过点，作，连接， 因为平面，平面， 所以平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面的夹角， 在平面中，，，，则， ，， 所以四棱台的体积为：， 所以，， 为的中点， ， ． 故选：A 7. 如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 8. 函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得有两个不等的正根，即有两个不等的正根，设，利用导数求出的单调区间，画出大致图象，结合图象求解即可. 【详解】由，得， 因为有两个极值点， 所以有两个不等的正根， 即有两个不等的正根， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示， 由图可知当时，与的图象有两个不同的交点， 所以当时，有两个极值点. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决极值点问题，考查利用导数求函数的单调区间，解题的关键是将问题转化为有两个不等的正根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】ABD选项，设的公差为， ，故， ，故， 所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确. C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：CD 10. 已知函数，两条相邻对称轴之间的距离为，且，则（ ） A. B. C. 关于对称 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用题给条件求得，的值，进而求得函数的解析式，即可判断选项AB；再利用整体代入法验证选项C；利用正弦函数图像性质判断选项D. 【详解】因为函数的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以，则，即，故A正确； 此时， 又，则， 即，因为，所以，故B正确； 此时， 因为，所以关于对称，故C错误； 当时，， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【解析】 【分析】对A：根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理可得，又，故与不垂直；对B：若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；对C：令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；对D：通过直观想象，有第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数. 【详解】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为， 且奇数层均为个，偶数层均为， 而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则，而，故小球总共有10层， 由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：D选项中，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示求出，再利用坐标求出模. 【详解】由，，得，解得， 因此，即， 所以， 故答案为： 13. 已知圆台的下底面半径为，上底面半径为，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台的上底面，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长，最后根据解直角三角形求出它的高即可. 【详解】设圆台的母线长为， 则圆台上底面面积， 圆台下底面面积， 所以两底面面积之和为， 又圆台侧面积， 则，所以， 所以圆台的高为. 故答案为： 14. 已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围． 【详解】依题意，函数， 当时，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值， 时，求导得，在上单调递增，值域为， 作出函数的大致图象，如图， 令，由图象知当时，无实解；当时，有一解； 当时，有两解；时，有三解， 方程有四解，则方程有两解且， 令，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，的面积为，求b. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）由三角形面积公式得到，结合，利用余弦定理求出. 【小问1详解】 由 得， 由正弦定理得， 所以由余弦定理得， 又， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以. 由余弦定理得 ， 所以. 16. 为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据. 学习时间 20 30 40 50 60 数学成绩 59 72 82 97 110 （1）已知与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，） （2）由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生周日下午学生返校自习，实施一段时间后，抽样调查了200位学生.按照是否参与周日自习以及成绩是否有进步，统计得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周日自习与成绩进步”是否有关（结果精确到0.01）. 没有进步 有进步 合计 参与周日自习 30 130 160 未参与周日自习 20 20 40 合计 50 150 200 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），141分； （2）有关. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，再根据、的公式计算即可得回归直线方程，最后将代入求解即可； （2）求出的值，再判断是否成立，即可得答案. 【小问1详解】 由表计算可得，， 所以， 所以， 故， 当时，， 由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩为141分. 【小问2详解】 ， 所以小概率值的独立性检验，周日自习与成绩进步有关. 17. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可取的中点，易得，由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面的一个法向量为，即可得二面角的余弦值为； （3）根据空间距离的向量的公式，结合（2）的坐标代入计算即可得点到平面的距离为. 【小问1详解】 取的中点，连结， 因为，是边长为4的正三角形，即 所以， 又，且平面, 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，且； 所以平面，进而可得三条线两两垂直， 因此以为坐标原点，分别以的正方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： 由题意可计算得，； 则， 又分别为的中点，则； 所以 设平面的一个法向量为， 则，令，则，可得； 易知为平面的一个法向量， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）（2）得,且为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 18. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值； （3）当时，求证；对任意的，且，有． 【答案】（1） （2）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据导数和函数单调性极值的关系求解即可； （3）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【小问1详解】 当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，， ， 令，解得， 当，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 故函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值为，无极大值； 【小问3详解】 证明：由，得， 对任意的，且，令， 则 ①， 令，， 当时，， 在单调递增， 当时，，即， ，，， ， 即②， 由（2）可知，当时，，即， 故③， 由①②③可得， 当时，任意的，且，有. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间和极值，证明不等式.解题关键是不等式的变形，一是去分母，二是引入参数，这是关键所在，这样可把不等式的证明分解为：，，后者用导数进行证明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性质放缩，恰好利用（2）的结论得证. 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 【答案】（1）证明如下： 设，当时，， 所以在上为增函数，故当时，， 所以当时， 设，当时，， 所以在上单调递增，故当时，， 所以当时， 故当时， 因为，当时，， 所以在上为增函数， 因为当时，，且由， 可得，所以，即， 所以 （2）（i）证明如下： 因为， 所以， 则， 所以， 即， 所以 （ii）证明如下： 函数， 因为当时，， 所以当时，， 所以当时，， 因此， 故，即 因为， 所以当时，， 综上，，所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）先构造函数证明，，再由的单调性得出即可证明； （2）（i）利用错位相减法求和后放缩即可得证；（ii）利用函数不等式可得，得出递推关系，累乘后可得，求和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：在第一步的证明过程中，首先要构造函数，利用导数证明几个不等式，比较难想到，当求出单调性后，得到，再由单调性得到，技巧性很强，一般不容易想到，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $