专题04 期末复习专题：因式分解（3个知识点+8大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题04 期末复习专题：因式分解 目录 【考点一 判断是否因式分解】 1 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3 【考点三 公因式】 4 【考点四 综合提公因式和公式法因式分解】 6 【考点五 利用因式分解求值】 9 【考点六 十字相乘法因式分解】 10 【考点七 分组分解法因式分解】 15 【考点八 因式分解的应用】 19 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【考点一 判断是否因式分解】 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列各式的因式分解中正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 【考点三 公因式】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考点四 综合提公因式和公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·海南海口·期末）把下列多项式分解因式 (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点五 利用因式分解求值】 例题：（24-25八年级上·江西新余·期末）已知，，则： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，那么 ． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则的值是 ． 3．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）若，则的值为 ． 【考点六 十字相乘法因式分解】 例题：（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【考点七 分组分解法因式分解】 例题：（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有：．这种方法称为分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________ 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 3．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是和（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【考点八 因式分解的应用】 例题：（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：． 解：原式 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法． (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：． (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 期末复习专题：因式分解 目录 【考点一 判断是否因式分解】 1 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3 【考点三 公因式】 4 【考点四 综合提公因式和公式法因式分解】 6 【考点五 利用因式分解求值】 9 【考点六 十字相乘法因式分解】 10 【考点七 分组分解法因式分解】 15 【考点八 因式分解的应用】 19 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【考点一 判断是否因式分解】 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查因式分解．根据因式分解的概念“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，本题据此依次判断即可求解． 【详解】解：A、是因式分解，故A符合题意； B、的右边不是积的形式，故B不符合题意； C、从左到右是整式的乘法，故C不符合题意； D、的右边不是积的形式，故D不符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，直接利用因式分解的定义进而分析得出答案，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； B、，是整式的乘法运算，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列各式的因式分解中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的判断，把一个多项式表示成几个整式的积的形式叫做因式分解；根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，故不符合题； B、不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、是几个整式的积的形式，是因式分解，故符合题意； D、是积的形式，但不是整式的积，不是因式分解，故不符合题意； 故选：C． 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解，先得出，结合多项式可因式分解为，列式，即可作答． 【详解】解：， ∵多项式可因式分解为， ∴， ∴， 故选：B 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键．根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴且， 解得：， ∴的值为：， 故选：B． 【考点三 公因式】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键．根据和均含有即可得出答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【详解】解：， ∴各项的公因式是， 故选B． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】A、和的公因式是，不符合题意； B、和，没有公因式，符合题意；     C、和的公因式是，不符合题意； D、和的公因式是5，不符合题意； 故选B． 【考点四 综合提公因式和公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法、公式法，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． （1）直接提取公因式即可得到答案； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得到答案； （3）直接利用平方差公式进行分解即可得到答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据平方差公式可进行因式分解即可； （2）先提公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（24-25八年级上·海南海口·期末）把下列多项式分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解多项式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把看成整体，运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用平方差公式因式分解，然后提公因式求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式法则展开，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）综合利用公式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点五 利用因式分解求值】 例题：（24-25八年级上·江西新余·期末）已知，，则： ． 【答案】24 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用提公因式法因式分解，整体代入是解决本题的关键． 根据提公因式进行因式分解．然后整体代入即可求解． 【详解】解：，， 原式； 故答案为：； 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，那么 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 首先将原式提取公因式，得到，然后将，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，熟练掌握因式分解的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先根据已知条件求出的值，然后利用拆项法和提取公因式法，把所求代数式写成含有的形式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）若，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了整式的混合运算、提公因式法因式分解、代数式的求值．把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：6 【考点六 十字相乘法因式分解】 例题：（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】(1)；； (2)；． 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 【考点七 分组分解法因式分解】 例题：（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、利用勾股定理的逆定理求解、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键． （1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解； （2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公因式进行分解． 【详解】（1）解 ； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下． 或 或 是等腰三角形或直角三角形． 2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有：．这种方法称为分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________ 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）（3）等边三角形，见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可． （3）将等式右边的式子移到等式左边，利用分组分解法进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）原式 （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴且 ∴且 ∴ ∴这个三角形是等边三角形． 3．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是和（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3），9 【知识点】分组分解法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． （1）用分组分解法将因式分解即可； （2）用分组分解法将因式分解即可； （3）先将因式分解，再求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ， ∵， ∴原式． 【考点八 因式分解的应用】 例题：（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 【答案】(1) (2)①见解析； ② 3，1，4 ；③ 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）按长方形面积公式长×宽”计算得出； （2）①根据题意画出相应图形；②根据拼图即可得到A，B，C三种纸片各用了多少张；③根据长方形的面积分解因式即可． 【详解】（1）解：通过面积计算可以发现， ， 故答案为：； （2） ①解：如图； ②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片； 故答案为：3,1,4； ③根据拼图过程和长方形面积公式可得； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：． 解：原式 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法． (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：． (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解； （3）先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解： ； （2）设 ， 则 ， ； （3）解： 是等腰三角形． 理由： ， ， ， ， 解得 ， ， 是等腰三角形． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$