专题01 期末复习专题：三角形的证明（5个知识点+9大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题01 期末复习专题：三角形的证明 目录 【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】 3 【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】 6 【考点三 利用垂直平分线的性质求解】 9 【考点四 利用角平分线的性质求解】 12 【考点五 垂直平分线与角平分线的综合问题】 15 【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】 21 【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】 27 【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】 34 【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】 41 【知识点01】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【知识点02】等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点03】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点04】角的平分线的性质 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【知识点05】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，平分，的长为 ． 【答案】6 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，先根据，平分，得出，，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，即得，即得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边三角形，点E为上一点，过点E的直线交于点F，交的延长线于点D，作于点G．若，则的长为 ．（用含m的代数式表示） 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质．过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案． 【详解】解：过E作， ∵是等边三角形，， ， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在中，，，在内部，且，分别将，向对折，使得，都与重合，折痕，分别交于点，．若，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，根据勾股定理，求出，再根据等腰三角形三线合一，可，设，则，由折叠可得：，，根据勾股定理，可得，解出，分类讨论；，根据勾股定理，进行计算，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵中，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得：，， 在中，， ∴， 解得：或， 当时，即， ∴， ∴； 当时，即， ∴， ∴； 故答案为：或． 【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】 例题：（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为 ． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】利用角所对是直角边是斜边的一半求出、的长，再由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理即可解决问题． 本题主要考查了角所对是直角边是斜边的一半，勾股定理，熟记性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵在中，， ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，，交的延长线于点，则的长为 ．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的外角性质和直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．由三角形的外角性质可得，又，通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若米，则这名轮滑学生的高度下降了 米． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用含30度角的直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：根据题意是直角三角形， 米， ∴米， 则这名轮滑学生的高度下降了2米， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半及等腰三角形的性质，首先过点P作于点D，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长． 【详解】解：过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点三 利用垂直平分线的性质求解】 例题：（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，的垂直平分线交、于点、，，的周长为，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据线段垂直平分线的性质可得：，，再利用周长公式即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交，， ，， 的周长为， ，即， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．那么 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得垂直平分，则，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再用分别表示出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D是边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 【答案】11 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故答案为：11． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D，E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是 【答案】9 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长 故答案为：． 【考点四 利用角平分线的性质求解】 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质．过点作于点，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分，，， ∴， 即点到斜边的距离为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，解题关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，做出辅助线，利用面积求解即可． 【详解】解：作于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】5 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．连接，，易证，得，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， ∵， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：5． 【考点五 垂直平分线与角平分线的综合问题】 例题：（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质证明即可； （3）首先推导出，过点C作，垂足为M，依据的面积为，求得，结合平分，，从而得到． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵过点A作交于F， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点C作，垂足为M，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，等面积法求高，角平分线的性质定理等知识的综合运用，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，数形结合分析是关键． 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；②证明见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，于点，根据等腰三角形的三线合一得，即可得出结论； （2）①证明，即可得出答案； ②过点H作于点J，于点K，证明，得到，再根据，利用角平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵于点M， ∴， ∴垂直平分； （2）解：①解：，理由如下： ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴； ②证明：过点H作于点J，于点K， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】 例题：（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）利用等腰三角形性质证明，结合全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，进而求出，再结合四边形内角和得到进行求解，即可解题； （3）设时，是等腰三角形，结合全等三角形性质得到，进而得到，再根据是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时，③当时，结合等腰三角形性质讨论求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：设时，是等腰三角形， ， ， ， ①当时，有， ， 解得，即； ②当时，有， ， 解得，即； ③当时，有， ， ， 解得，即； 综上所述，或或，是等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在等边三角形中，，垂足为，延长到点，使，． (1)求的长； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，再根据等边三角形三线合一的性质得，求得，即可求解； （2）根据等边三角形的性质得，再根据等边三角形三线合一的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角性质求出，得出，然后根据等腰三角形的判定即可得到△BDE为等腰三角形． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 2．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，平分，于点，过点作交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质证得，然后利用等角对等边即可得解； （2）利用等角的余角相等得出，然后利用等角对等边得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，， (1)如图（1），求证：是等腰三角形； (2)如图（2），是的角平分线，，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用条件证明，得到，即可证明结论； （2）连接，证明以及，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：连接， 是的角平分线， ； 由（1）可知：， ， ， ， 又， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F． (1)求证：为等边三角形； (2)若，，求的值； (3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)19 (3)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在上截取，连接，证明，和，则，即可得结论； （2）过点A作于M，根据勾股定理计算高，可得和的长，即可解答； （3）延长至K，使，连接，，证明和，即可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：如图2，过点A作于M， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）证明：延长至K，使，连接，，如图3所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等边三角形的性质和判定，平方差公式等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． (1)判断△的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． （1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由，求出，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：结论：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在和中，，点为中点，，，点关于成轴对称，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． （1）首先证明，再证明即可． （2）连接，设交于点．分别求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． ，点为中点， ， ， ， 是等边三角形， ，关于对称， ，， ， 是等边三角形； （2）解：连接，设交于点． ，都是等边三角形，边长为2， ， ， ， 根据勾股定理可得； 同理， ． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知为等边三角形． 【观察猜想】 （1）如图1，为线段上一点，交于点．求证：是等边三角形； 【深入探究】 （2）为线段上一点，为线段延长线上一点，且．当为的中点时，可得线段．当为上任意一点，其余条件不变，如图2，猜想线段与的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点在的延长线上，点在的延长线上，且．若的边长为2，，则的长为__________． 【答案】（1）证明见解析，（2），见解析，（3）5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由题意易得从而证明结论； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，从而证明结论； （3）由的边长为2，，结合点D在线段的延长线上，则可构造全等三角形解决题目． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2），理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定、平行线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定、平行线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】 例题：（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与探究 问题情境： 如图，在边长为6的等边中，E为边中线上的一动点，连接，在的下方作等边． 初步探究：（1）如图1，当时，__________． 深入探究： （2）如图2，连接． ①猜想与的位置关系，并说明理由． ②当时，求点F到边的距离． （3）如图3，连接，当的周长取得最小值时，直接写出此时的度数． 【答案】（1）；（2）①，见解析；②1；（3）． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】（1）利用等边三角形的性质求得，证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）①证明，推出，即可证明； ②过点作于点，得到，，据此求解即可； （3）连接，作点关于对称的点，得到，当三点共线时，的最小值为，的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵等边的边长为6，是边的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下， 理由：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点． 由①，知， ∴，， ∴， ∴点到边的距离为1； （3）如图，连接，作点关于对称的点，连接， 则， 当三点共线时，的最小值为，的周长最小． 由（2）知，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． (1)求证：； (2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点在的中点时，是直角三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等： （1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再证明得到．据此求出的度数即可证明结论； （2）根据题意可证明，则可推出，由三线合一定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在的中点时，是直角三角形，理由如下 ∵， ∴是直角三角形时，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴当点在的中点时，是直角三角形． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，得到，由得到，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）如图，在上截取，连接， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形． 3．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）已知中，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，连接． (1)发现问题 如图1，当点D在边上时． ①请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______； ②求证： (2)尝试探究 如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，请写出、、之间存在的数量关系并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【答案】(1)①，；②证明见解析 (2)，理由见解析 (3)8 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）①先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，根据角的和差可得，则，由此即可得； ②根据和即可得证； （2）先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据即可得出结论； （3）先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：①∵在中，，在中，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，． ②由（1）①已证：， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵在中，，在中，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：∵在中，，在中，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理． （1）利用题意得，再判定即可得到本题； （2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案． 【详解】解：（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形”． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 期末复习专题：三角形的证明 目录 【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】 3 【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】 6 【考点三 利用垂直平分线的性质求解】 9 【考点四 利用角平分线的性质求解】 12 【考点五 垂直平分线与角平分线的综合问题】 15 【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】 21 【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】 27 【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】 34 【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】 41 【知识点01】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【知识点02】等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点03】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点04】角的平分线的性质 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【知识点05】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 【考点一 利用等腰（等边）三角形的性质求解】 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，平分，的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，是等边三角形，点E为上一点，过点E的直线交于点F，交的延长线于点D，作于点G．若，则的长为 ．（用含m的代数式表示） 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在中，，，在内部，且，分别将，向对折，使得，都与重合，折痕，分别交于点，．若，则的长为 ． 【考点二 含30°的直角三角形性质的应用】 例题：（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，，交的延长线于点，则的长为 ．    2．（24-25八年级上·浙江·期末）钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若米，则这名轮滑学生的高度下降了 米． 3．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【考点三 利用垂直平分线的性质求解】 例题：（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，的垂直平分线交、于点、，，的周长为，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．那么 ． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D，E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是 【考点四 利用角平分线的性质求解】 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则 ． 【考点五 垂直平分线与角平分线的综合问题】 例题：（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 【考点六 等腰三角形性质和判定的综合问题】 例题：（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在等边三角形中，，垂足为，延长到点，使，． (1)求的长； (2)求证：是等腰三角形． 2．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，平分，于点，过点作交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，， (1)如图（1），求证：是等腰三角形； (2)如图（2），是的角平分线，，垂足为，若，求的长． 【考点七 等边三角形性质和判定的综合问题】 例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F． (1)求证：为等边三角形； (2)若，，求的值； (3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． (1)判断△的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在和中，，点为中点，，，点关于成轴对称，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)连接，求的长． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知为等边三角形． 【观察猜想】 （1）如图1，为线段上一点，交于点．求证：是等边三角形； 【深入探究】 （2）为线段上一点，为线段延长线上一点，且．当为的中点时，可得线段．当为上任意一点，其余条件不变，如图2，猜想线段与的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点在的延长线上，点在的延长线上，且．若的边长为2，，则的长为__________． 【考点八 等腰（等边）三角形中的动点问题】 例题：（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与探究 问题情境： 如图，在边长为6的等边中，E为边中线上的一动点，连接，在的下方作等边． 初步探究：（1）如图1，当时，__________． 深入探究： （2）如图2，连接． ①猜想与的位置关系，并说明理由． ②当时，求点F到边的距离． （3）如图3，连接，当的周长取得最小值时，直接写出此时的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． (1)求证：； (2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 3．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）已知中，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，连接． (1)发现问题 如图1，当点D在边上时． ①请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______； ②求证： (2)尝试探究 如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，请写出、、之间存在的数量关系并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【考点九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$