专题01 等腰三角形与直角三角形期末复习(十一大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题01 等腰三角形与直角三角形期末复习 （十一大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 等腰三角形的定义 1 题型二 根据等角对等边证明等腰三角形 3 题型三 根据等角对等边求边长 4 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 6 题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 8 题型六 等边三角形的判定和性质 10 题型七 含30度角的直角三角形 12 题型八 判断三边能否构成直角三角形 14 题型九 用HL证全等(HL) 15 题型十 全等的性质和HL综合(HL) 17 题型十一 勾股定理逆定理的实际应用 20 过关检测 21 题型一 等腰三角形的定义 例1：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：若腰长为4时，若底边长为4时，分别求出对应的底边长和腰长，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4， 分两种情况讨论： 若腰长为4时，则底边长为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为4时，则腰长为， 此时，能构成三角形，符合题意； 即它的底边为4， 故选：A． 变式训练一 1．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．12或9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正确记忆三角形的三边关系分情况讨论是解题关键．分5是腰和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，能组成三角形， 周长， ②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，因为， 所以不能组成三角形， 故选B． 2．若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是3或者等腰三角形的底边可以是3，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， ①当等腰三角形的腰是3时， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、3和7， 由于，根据构成三角形的三边关系可知3、3和7不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当等腰三角形的底边是3， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、5和5， ∴该等腰三角形的腰长为5， 故答案为：5． 题型二 根据等角对等边证明等腰三角形 例2：如图，是等边三角形，，点E在的延长线上，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等角对等边．根据等边三角形的性质、外角的性质及等腰三角形的性质计算得到，即可推理得出结论． 【详解】证明：是等边三角形，， ， ， ， ， ． ∴是等腰三角形． 变式训练二 1．在中，，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等角对等边可得． 【详解】解：在中，， ∴． 故答案为：2． 2．如图，为等边三角形，点A，C在轴上，点在轴上．过点作，交轴于点，证明：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，通过等角对等边证明等腰三角形，先根据等边三角形性质得到，由，利用得到，即可得到结论． 【详解】证明：等边的三个顶点都在坐标轴上， ， ， ， 是等腰三角形． 题型三 根据等角对等边求边长 例3：如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等角对等边，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键 ； 利用等角对等边得，将的周长转化为，然后计算的周长即可． 【详解】∵， ∴． ∵的周长为， ∴ ． ∵的周长为，， 的周长为． 故答案为：20 ． 变式训练三 1．在中，，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 2．如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由平分，，证明，可得，，再由等角对等边可得，代入数值进行计算即可得到答案． 【详解】解：平分，， ∴ ∵ ∴ ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例4：在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答本题的关键． 由于点的位置不确定，所以应当讨论，当时，可得到点，当时，可得到一点．当时， 【详解】如图所示： ， 分三种情况： 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交点点，，； 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交与另一点，； 当时，作线段的垂直平分线，与 y 轴的交点可得到一点，． 综上所述：使 为等腰三角形的点的个数为4 个， 故选：B． 变式训练四 1．如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 例5：在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题； 【详解】解：如图， 观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或． 故答案为：或或． 变式训练五 1．在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 2．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 题型六 等边三角形的判定和性质 例6：在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，根据得到，即可得到为等边三角形，熟知相关判定定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 变式训练六 1．如图，是等边三角形，与平行的直线分别交和于点D，E，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，先利用等边三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 2．如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）根据给出的条件判定出，得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ； （2）证明：， ，即， ，且由（1）得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型七 含30度角的直角三角形 例7：如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据度所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 变式训练七 1．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形的性质得到，再求出，即可得到． 【详解】解；∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 米． 【答案】10 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据角所对直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得： ，，米， ∴(米)， 故答案为：10． 题型八 判断三边能否构成直角三角形 例8：以下列各组数为边长的三角形，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故此选项符合题意； D．，能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 变式训练八 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，逐项判断即求解． 【详解】解：A、，， ∵， ∴以，，为边长的线段不能构成直角三角形，A选项不符合题意； B、，， ∵， ∴以，，为边长的线段不能构成直角三角形，B选项不符合题意； C、，， ∵， ∴以，，为边长的线段不能构成直角三角形，C选项不符合题意； D、，， ∵， ∴以，，为边长的线段能构成直角三角形，D选项符合题意； 故选：D． 2．以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（    ） A．1、2、 B．1、、2 C．3、4、5 D．6、8、11 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.，∴该选项三个数可以构成直角三角形，该选项不符合题意； B. ，∴该选项三个数可以构成直角三角形，该选项不符合题意； C. ，∴该选项三个数可以构成直角三角形，该选项不符合题意； D. ，∴该选项三个数不能构成直角三角形，该选项符合题意； 故选：D． 题型九 用HL证全等(HL) 例9：如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故选D． 变式训练九 1．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握定理是关键．在和中，，，，即可根据定理证明． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 故选：C 2．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴在和中， ， ∴， 故选：A． 题型十 全等的性质和HL综合(HL) 例10：如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 变式训练十 1．如图，在四边形中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．连接，证明，即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴与是直角三角形， 在与中， ， ∴； ∴． 2．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 题型十一 勾股定理逆定理的实际应用 例11：如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门 （填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】没有变形 【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解． 【详解】解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为， ， ， 则小红家的木门没有变形， 故答案为：没有变形． 变式训练十一 1．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴三角形菜地为直角三角形， ∴三角形菜地的面积为． 故选：A． 2．如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 【答案】是，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 一、单选题 1．等腰三角形的周长是，一边长为，则它的腰长为（   ）． A．6 B．11 C．11或6 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形性质，涉及三角形三边关系、等腰三角形是有两条边相等等知识，利用等腰三角形性质结合题中条件即可求解，熟记等腰三角形性质，分类讨论是解决问题的关键．分两种情况：①底边长为；②腰长为；再进一步解答即可． 【详解】解：等腰三角形的周长是，一条边长为， 分两种情况：①底边长为；②腰长为；则： 当底边长为时，设腰长为，得， 解得，符合题意，故腰长为； 当腰长为时，底边长为，符合题意； 综上：腰长为或 故选：C． 2．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知等腰的一腰长为4厘米，过底边上任意一点D作、的平行线，分别交、于点E、F，则四边形的周长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质定理和等腰三角形的性质． 根据等腰可得，再由，，可求出，，即可解答． 【详解】解：∵等腰的一腰长为4厘米 ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形的周长为． 故选B． 4．如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C、测得，．若这艘船继续向正北方向航行，则上午（　　）该船与灯塔C的距离最短． A．9时 B．10时 C．11时 D．12时 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，首先根据题意求出的长，然后根据等边对等角得到，过点C作于点P，得到线段的长为小船与灯塔C的最短距离，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵一条船上午8时从海岛出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处， ∴海里， ∵，， ∴， ∴海里， 如图，过点C作于点P．    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，． 又∵， ∴． 在中，， ∴（海里）， ∴再航行20海里，小船与灯塔的距离最短，即再航行1小时该船与灯塔C的距离最短， ∴上午11时该船与灯塔C的距离最短． 故选：C． 5．如图，在四边形中，，，，，点P在四边形的边上（点P不与四边形的顶点重合），若的面积为120，则满足条件的点P共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，根据三角形的面积和三角形面积，可以判断点可能存在线段和线段上；根据点在四边形的边上，考虑此时点存在和上，利用勾股定理和等腰三角形的性质分别求出长度和三角形的高，从而求出三角形的面积，发现与三角形面积相等，从而推出点在点处时满足，则当点P在线段或上时，一定有，据此可得答案． 【详解】解：，，， ． ． 当点在边上，如图所示： ， ． ． 此时点满足条件． 当点在边上，如图所示： ， ． ． 此时点满足条件． 过点作于点， ，， ∴在中，． ，， ． ∴在中，， ， 点在四边形的边上， 点和点重合，不符合题意； 当点在点处时，满足， ∴当点P在线段或上时，一定有 满足条件的点共2个． 故选：B． 6．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 7．已知中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．先判断为等边三角形，然后由等边三角形的性质得到． 【详解】解：，， 为等边三角形， ． 故选：B． 8．甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，平角以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提． 根据方向角的定义画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理可以得到是直角三角形，再利用平角的定义即可求出的方向角即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， ， ， ， ， 即的方向为南偏西， 同理可得，的方向也可为北偏东， 故选：A． 二、填空题 9．如图，在正方形网格中，点在格点上，若点也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了格点与等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，图形结合分析思想是解题的关键． 根据格点和等腰三角形的判定和性质作图即可求解． 【详解】解：根据等腰三角形的判定和性质作图如下， 图1，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图2，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图3，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 综上所述，点的个数为3个， 故答案为：3 ． 10．若等边三角形的周长为12，求该的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，画出图形，可得，利用勾股定理即可解答，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，是等边三角形的周长为12， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 11．如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点，与交于点，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 12．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出的长是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 分别求出和的面积，利用可得结果． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ∴， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴， 设， 则，，， 则有，即， 解得：， 则， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 13．如图，，相交于点， ，，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，先证明，得到，再求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在，， ∴， ∴． 14．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键． （1）证即可求证； （2）根据，结合全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴由（1）得， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴； 15．如图，是等边的中线，交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，结合，可推出，然后根据对顶角相等得到，即可证明； （2）根据等边三角形的性质和中线的性质得到，，然后根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求得，再得到，最后利用勾股定理先求得，即可再求得． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （2）解：是等边三角形，， ，， 是等边的中线，由（1）可知， ， ， ，由（1）可知， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，中线性质，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【答案】(1)受噪音影响，见解析； (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键 （1）根据点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，则，即可解决问题． 【详解】（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下： 点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响， ， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则， ， ， 由勾股定理得： ， ∵汽车速度为 ∴影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 17．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键． 18．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰三角形与直角三角形期末复习 （十一大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 等腰三角形的定义 1 题型二 根据等角对等边证明等腰三角形 1 题型三 根据等角对等边求边长 2 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 2 题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 3 题型六 等边三角形的判定和性质 3 题型七 含30度角的直角三角形 4 题型八 判断三边能否构成直角三角形 5 题型九 用HL证全等(HL) 5 题型十 全等的性质和HL综合(HL) 6 题型十一 勾股定理逆定理的实际应用 7 过关检测 8 题型一 等腰三角形的定义 例1：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 变式训练一 1．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．12或9 D．11 2．若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 题型二 根据等角对等边证明等腰三角形 例2：如图，是等边三角形，，点E在的延长线上，且．求证：是等腰三角形． 变式训练二 1．在中，，，则的长度为 ． 2．如图，为等边三角形，点A，C在轴上，点在轴上．过点作，交轴于点，证明：是等腰三角形． 题型三 根据等角对等边求边长 例3：如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 变式训练三 1．在中，，，则的长度为 ． 2．如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为 ． 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例4：在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式训练四 1．如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 例5：在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 变式训练五 1．在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 2．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 题型六 等边三角形的判定和性质 例6：在中，，，则的度数为 ． 变式训练六 1．如图，是等边三角形，与平行的直线分别交和于点D，E，若，则的长为 ． 2．如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 题型七 含30度角的直角三角形 例7：如图，在中，，，，则 ． 变式训练七 1．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．4 2．如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 米． 题型八 判断三边能否构成直角三角形 例8：以下列各组数为边长的三角形，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式训练八 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（    ） A．1、2、 B．1、、2 C．3、4、5 D．6、8、11 题型九 用HL证全等(HL) 例9：如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 变式训练九 1．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 题型十 全等的性质和HL综合(HL) 例10：如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 变式训练十 1．如图，在四边形中，已知，．求证：． 2．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 题型十一 勾股定理逆定理的实际应用 例11：如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门 （填“已变形”或“没有变形”）． 变式训练十一 1．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 一、单选题 1．等腰三角形的周长是，一边长为，则它的腰长为（   ）． A．6 B．11 C．11或6 D．无法确定 2．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知等腰的一腰长为4厘米，过底边上任意一点D作、的平行线，分别交、于点E、F，则四边形的周长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米 4．如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C、测得，．若这艘船继续向正北方向航行，则上午（　　）该船与灯塔C的距离最短． A．9时 B．10时 C．11时 D．12时 5．如图，在四边形中，，，，，点P在四边形的边上（点P不与四边形的顶点重合），若的面积为120，则满足条件的点P共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 7．已知中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．4 8．甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 二、填空题 9．如图，在正方形网格中，点在格点上，若点也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数为 个． 10．若等边三角形的周长为12，求该的面积 ． 11．如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点，与交于点，则的长度为 ． 12．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 三、解答题 13．如图，，相交于点， ，，，求的度数． 14．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 15．如图，是等边的中线，交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长度． 16．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 17．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 18．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$