精品解析：云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

楚雄州春季学期高一年级第二次月考卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第5节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 5. 已知复数是关于方程的一个根，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个正方体展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. EI与BG共面 D. AF与BG异面 8. 中国冶炼铸铁技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D 一个棱柱至少有5个面 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 11. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 13. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________. 14. 如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 如图所示，为四边形的直观图，其中，，，. （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. （1）用向量表示向量； （2）求的值. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点是线段上的一点，且，求的值． 19. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 楚雄州春季学期高一年级第二次月考卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第5节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面的关系即可求解. 【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确. 故选:C. 2. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断. 【详解】由已知可得的虚部为，故错误； ，故错误； ，故正确； 虚部不为0的复数不能比较大小，故错误. 故选：C. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 5. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 7. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. EI与BG共面 D. AF与BG异面 【答案】C 【解析】 【分析】画出该正方体的直观图，根据直线共面，异面直线和直线夹角进行判断，得到答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， A选项，，为等边三角形，AF与CH所成的角为，A错误； B选项，CH与BD异面，B错误； C选项，直线EI与BG相交，所以直线EI与BG共面，C正确； D选项，，直线AF与BG共面，D错误. 故选：C. 8. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆台的上下底面的半径，求出母线长后可求表面积. 【详解】如图所示，设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为， 则，解得. 过点作，垂足为，则母线 . 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可. 【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误； 球没有顶点和棱，B错误； 将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误； 棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确． 故选：ABC． 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则形状能唯一确定 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 11. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数. 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为. 故答案为：. 13. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案. 【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为， 设，由，得， 故，即， 故， 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取BC的中点E，的中点F，先利用面面平行判定定理证明平面平面，得出四边形为截正方体所得截面图形，易得四边形是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积. 【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 又， 所求截面的面积. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 如图所示，为四边形的直观图，其中，，，. （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 【答案】（1）画图见解析，面积为 （2）体积；表面积 【解析】 【分析】（1）将直观图还原为原图，根据斜二测画法的概念计算出四边形的边长即可求解； （2）根据旋转体的概念可知该几何体为圆锥和圆柱的组合体，结合圆锥和圆柱的体积和表面积公式计算即可求解. 小问1详解】 在直观图中，，，， 则在平面图形中，，，，， 于是， 所以平面四边形的平面图形如下图所示： 由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为. 【小问2详解】 直角梯形以为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即； 圆锥的高为，母线长为， 所以体积； 所以表面积. 17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. （1）用向量表示向量； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示； （2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值. 【小问1详解】 如图所示，连接，则四边形为平行四边形， 所以， 因为点在上，且，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以， 由题意知，且， . 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点是线段上的一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知边化角，结合两角和正弦公式化简可得.结合角的范围即可得出答案； （2）由已知可得，，.设，则，.进而在中，中，中，多次使用余弦定理求解可推得.进而根据二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解得出.进而即可根据角的范围得出答案. 【小问1详解】 易知 由以及正弦定理边化角可得， ， 整理可得. 又，， 所以，，. 【小问2详解】 由已知可得，所以为锐角，，，. 设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 所以. 在中，由余弦定理可得 . 在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得， 平方可得， 整理可得. 所以有， 解得，所以. 又为锐角，所以. 19. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证； （2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证； （3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 连接，因为点分别为棱的中点， 所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以四点共面； 【小问2详解】 连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问3详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$