第01讲 反比例函数、定义图像与性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第01讲 反比例函数、定义图像与性质 【知识点1 反比例函数的定义】 【知识点2 反比例函数系数K的几何意义】 【知识点3 反比例函数的图像】 【知识点4 反比例函数的性质】 【知识点5 待定系数法求反比例函数解析式】 【知识点6 反比例函数与一次函数的交点问题】 知识1 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点2 反比例的图像和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图像关于原点的对称 【知识点2 反比例函数系数K的几何意义】 【知识点3 反比例函数的图像】 【知识点4 反比例函数的性质】 【知识点5 待定系数法求反比例函数解析式】 【知识点6 反比例函数与一次函数的交点问题】 一、单选题 1．反比例函数必过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各个坐标代入解析式逐一计算判断，即可求解；理解图象经过点的意义是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：C． 2．下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一进行判断．解决问题的关键是将一般式（）转化为或（）的形式． 【详解】解：A、由原式子得到，符合反比例函数的定义，故符合题意； B、该函数式表示y与成反比例关系，故不符合题意； C、该函数式表示y与x成正比例关系，故不符合题意； D、该函数式不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 3．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数关系式是解决问题的基本方法．把点代入反比例函数，计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：C． 4．下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 5．在反比例函数图象上有三个点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，， ∴， 对于反比例函数，在第第一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 设点的坐标为，则，，从而可得，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可得． 【详解】解：由题意，设点的坐标为，则， 轴，交反比例函数的图象于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：D． 二、填空题 7．已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 8．如图，点A在双曲线上，轴于B且的面积，则 ． 【答案】 【分析】本题考查已知图形面积求值，根据反比例函数的几何意义，得，结合函数图象在二、四象限，确定k值即可． 【详解】解：根据反比例函数的性质，得， 由函数图象在二、四象限， 得． 故答案为：． 9．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先根据函数图象的对称性可得点与点关于原点对称，则，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：由函数图象的对称性可知，点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 由函数图象可知，当时，或， 故答案为：或． 三、解答题 10．一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法． （1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得 ． 11．如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数（，）的图象分别交、于点C、D．已知点C的坐标为，． (1)求k的值． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值． （1）根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值； （2）再把代入函数解析式，即可得到点的坐标，再求出点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得； （2）解：． 点的纵坐标为1， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 即点的坐标为， 点，点，点在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界）， 点的横坐标的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 反比例函数、定义图像与性质 【知识点1 反比例函数的定义】 【知识点2 反比例函数系数K的几何意义】 【知识点3 反比例函数的图像】 【知识点4 反比例函数图像的对称性】 【知识点5 反比例函数的性质】 【知识点6 比较反比例函数值大小】 【知识点7 待定系数法求反比例函数解析式】 【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】 知识1 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【知识点1 反比例函数的定义】 【典例1】下列函数是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若函数是反比例函数，则m＝ ． 知识点2 反比例的图像和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图像关于原点的对称 【知识点2 反比例函数系数K的几何意义】 【典例2】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，反比例函数的图象在第二象限的一支如图所示，点在此图象上，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，若的面积为4，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点B，点C，D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式2-2】如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-3】如图，点在双曲线上，轴于，且的面积，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【知识点3 反比例函数的图像】 【典例3】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】反比例函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【变式3-2】若反比例函数的图像经过，则它的图像位于（   ） A．第四象限 B．第一象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【变式3-3】反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【知识点4 反比例函数图像的对称性】 【典例4】如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（      ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 【知识点5 反比例函数的性质】 【典例5】下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【变式5-1】关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．随的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第三象限 【变式5-2】已知反比例函数，则下列描述不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【变式5-3】对于反比例函数以及图象上两点和，下列说法错误的是（   ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 【知识点6 比较反比例函数值大小】 【典例6】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若点在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【知识点7 待定系数法求反比例函数解析式】 【典例7】若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【变式7-1】已知点在反比例函数上，则（    ） A．20 B．9 C．1 D． 【变式7-2】反比例函数，当时，则的值为（   ） A．6 B． C．3 D．2 【变式7-3】已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】 【典例8】如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式8-1】如图，双曲线与直线的图象交于点和点，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-2】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D．或 一、单选题 1．反比例函数必过点（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 4．下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 5．在反比例函数图象上有三个点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 8．如图，点A在双曲线上，轴于B且的面积，则 ． 9．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是 ． 三、解答题 10．一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的值． 11．如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数（，）的图象分别交、于点C、D．已知点C的坐标为，． (1)求k的值． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$