专题02 平行四边形综合大题（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题2 平行四边形综合大题 题型概览 题型01平行四边形的性质与判定的一 题型02网格中确定平行四边形 题型03函数与平行四边形 题型04三角形中位线 题型05几何综合应用压轴题 平行四边形的性质与判定题型01 1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末） 如图， 四边形是平行四边形， 求证：      2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，过点A作，D是延长线上一点，连接．若，求证： ． 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且，连接．求证：．    4．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知是平行四边形，分别为直线上两点，且，证明：四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平行四边形的面积为6，，求的长． 6．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）在中，相交于点，分别过点A作于点E，在上取点F，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的面积． 7．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，四边形中，，点在上，，过点作交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求边的长． 8．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，四边形中；对角线，交于点 O，，，，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的周长． 9．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接；再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接．    (1)直线的尺规作图过程是在作线段________的________线； (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 11．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图1，在筝形中，． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内找一点，连接，使折线将筝形的面积二等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，在中，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请将图形补充完整，并求的长．（画出草图即可） 网格中确定平行四边形题型02 12．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为，则点对应点的坐标为______； (2)作出绕原点顺时针旋转的； (3)点在平面直角坐标系中，若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将向左平移4个单位后得到的图形； (2)画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状； (3)在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)在图1中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． ①画出平移后的； ②如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为________； (2)在图1中， ①作出关于原点的中心对称图形； ②写出的坐标为________； (3)在图2中，只用无刻度的直尺，不用圆规，在给定网格中完成画图． ①画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为________； ②画的角平分线． 函数与平行四边形题型03 15．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点． (1)______，______； (2)直线与直线，分别交于，两点： ①求的长（用含n的代数式表示）； ②当时，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 16．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，若，定义（为常数）的函数为的“H函数”． (1)点在函数的“H函数”图象上，则a的值为_______； (2)已知的顶点坐标分别为，若点E在第四象限，且四边形是平行四边形． ①请直接写出点E的坐标为_______； ②的“H函数”图象与的边交于点边交于点G，当点G是中点，且时，求该一次函数的解析式； ③若，当，且时，请直接写出当的“H函数”图象与各边的交点个数之和分别为2，3，4时，所对应的n的取值范围． 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 18．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）点为平面直角坐标系中的任意一点，若（x和y分别是点P的横坐标和纵坐标），则m称为点P的特征数． (1)当点P的坐标为时，求点P的特征数m的值； (2)已知点的特征数是，点的特征数是4．求点M的坐标； (3)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在x轴上，顶点在y轴上，连接． ①点E和点F的特征数都是1，且两点都在平行四边形的边上，连接，判断线段与对角线的关系，说明理由； ②当点在平行四边形的内部（不含边界）时，直接写出点P的特征数m的取值范围． 参考公式：两点，，则它们中点P的坐标为 19．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，．    (1)作边的垂直平分线交于点P，交于点Q（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，探究线段与线段的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，有公共顶点C的两个直角三角形，将绕点C旋转，旋转后的三角形记为（点P对应点，点Q对应点）．在旋转过程中，直线与直线分别交于两点，当为等腰三角形，且点落在内都时，求的面积． 三角形中位线题型04 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理的探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且．    【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁    B．乙、丙    C．乙、丁    D．全正确    【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； 【定理应用】 ①如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）    ②已知和直角顶点重合，如图所示，，，（）．过点分别作，，直线与直线相交于点，过点分别作，，直线与直线相交于点，连接．分别取的中点和，连接．在绕点旋转过程中，求的长度的最大值（用含的代数式表示）．    22．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 23．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图1，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（不需证明）． (1)如图2，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状，请直接写出结论； (2)如图3，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明． 24．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）阅读下列材料并完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线，如图1，在四边形中，设，与不平行， E， F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接，取的中点M，连接，． 点E，点M分别是和的中点， ，且（依据）． 同理：，且． ， ． 在中， 即． 方法二：如图3，连接并延长至点G，使，连接，． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指 ； (2)将方法二的证明过程补充完整； (3)如图4，在五边形中，，，，．若点F，G分别是边，的中点，则线段的长的取值范围是 ． 几何综合应用压轴题题型05 25．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长． 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图①，正方形中，点，是边，上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． (1)结合函数图象，求的长； (2)连接，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，求的长． 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 如图，小明同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． 如图，小颖同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）王老师发现之前两名同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接不平行)，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，，再过点作交于点，过点作交于点，当，，时，求的周长． 28．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 29．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）实践探究题： 【发现问题】学习完图形的旋转后爱思考的芳芳和淘淘两名同学进行了如下探究活动． 如图①他们将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点在同一条直线上，淘淘高兴的说“我能求出的度数”，请你将淘淘的求解过程整理出来． 【提出问题】 芳芳说“我不但求出了的度数，还能提出新的问题：如图②，如果作出中边上的高线，那么线段，，之间存在着一种数量关系，你发现了吗淘淘？”请写出这三条线段之间的数量关系并说明理由． 【解决问题】 数学王老师微笑着对芳芳和淘淘说：“你们两个太棒了，在你们的探究基础上如果老师再给出一个正方形，如图③，在这个正方形中边长，若点满足且，请想一想点到的距离是多少呢．”（直接写出结果）    30．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段，，之间的数量关系是________． （2）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 如图，在四边形中，，，，在边和分别有一点和点，使的周长恰好是长的倍，求此时的度数． 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当、、三点在同一条直线上时；求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 32．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）发现结论： （1）在中，，若设，则________；（用含有a的代数式表示） （2）如图1，在中，是对角线，将沿翻折至与边相交于点E，连接，则的形状是________，线段和的数量关系是________． 结论应用： 在中，，是对角线，将沿翻折至，连接． （3）如图②，已知，与边相交于点E，求的面积； （4）已知，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 33．（辽宁省锦州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）【模型建构】 如图1，已知线段所在直线交于点，其所夹锐角为． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，点D，E分别在、延长线上，且，求证：． 方法一：过点作，且，连接将证明，转化为证明； 方法二：过点作，且，连接将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在中，为上一点，为延长线上一点，且，连接交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图6，在中，分别是边上的点，且于点，若，求的长． 34．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知中，点是边上一点，取的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件______时，四边形是矩形（直接填空）． 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 37．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形的变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：为等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求的长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行四边形综合大题 题型概览 题型01平行四边形的性质与判定的一 题型02网格中确定平行四边形 题型03函数与平行四边形 题型04三角形中位线 题型05几何综合应用压轴题 平行四边形的性质与判定题型01 1．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末） 如图， 四边形是平行四边形， 求证：      【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质可得，，从而可证，即可得到四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，过点A作，D是延长线上一点，连接．若，求证： ． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．通过证明四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定得出，即可得出答案． 【详解】证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知是平行四边形，分别为直线上两点，且，证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．连接交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据线段的和差关系得出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得结论 【详解】证明：连接交于点， ∵是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平行四边形的面积为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得，证得，可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）过点C作的延长线于点G，根据平行四边形的性质可得，求得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点C作的延长线于点G， ∵平行四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、平行线的性质，证明是解题的关键． 6．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）在中，相交于点，分别过点A作于点E，在上取点F，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，然后结合图形求面积即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）∵， ∴， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，，即 ， ． 7．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，四边形中，，点在上，，过点作交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求边的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）由平行线的判定与性质，利用平行四边形的判定定理求证即可得到答案； （2）作于点，如图所示，根据角平分线性质及平行四边形性质得到，在中，由勾股定理得到，利用等面积法代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：作于点，如图所示： 则， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，即， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ， ， ． 【点睛】本体考查四边形综合，设计平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理及等面积法求线段长等知识，熟记相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 8．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，四边形中；对角线，交于点 O，，，，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质， （1）利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明即可． （2）过点作的垂线，构造等腰直角三角形，根据四边形是平行四边形可得，由等腰三角形性质可得：,再结合结合勾股定理即可解决问题． 【详解】（1），， ，即， 又∵ 四边形是平行四边形． （2）过点作的垂线，垂足为，   ， ． 又， ． ，且， ． 又四边形是平行四边形． ∴ ． 在中，， ， 解得， ， ， ． 又， 四边形的周长为：． 9．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）等边对等角，求出的度数，平角求出，全等三角形的性质，求出的度数即可． 【详解】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，即 在与中 （） ； （2）， ， ， 由（1）知，，则． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接；再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接．    (1)直线的尺规作图过程是在作线段________的________线； (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)；垂直平分线（或中垂线） (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质． （1）由作图知，直线的尺规作图过程是在作线段的垂直平分线（或中垂线）； （2）四边形是平行四边形和直线是的垂直平分线，直线是的垂直平分线证明，得到，再推得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：由题意知，直线的尺规作图过程是在作线段的垂直平分线（或中垂线）， 故答案为：，垂直平分或中垂； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，，， 由题意知，直线是的垂直平分线，直线是的垂直平分线 ∴， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴． 即， ∴四边形是平行四边形． 11．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图1，在筝形中，． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内找一点，连接，使折线将筝形的面积二等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，在中，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请将图形补充完整，并求的长．（画出草图即可） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，1或 【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质、勾股定理，理解题中筝形定义，运用分类讨论求解是解答的关键． （1）作出的中点，连接根据三角形的中线性质，折线将筝形面积两等分； （2）分情况画出图形，利用筝形性质和全等三角形的判定与性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所求．    （2）解：由勾股定理，得 分两种情况： 补充图2如图所示 如图2， 四边形为筝形， ． ， ． ． ； 如图3， 四边形为筝形， ， ． ． ． 在中，设， 则． 由得． 解得，即． 综上，当四边形为筝形时，的长为1或． 网格中确定平行四边形题型02 12．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为，则点对应点的坐标为______； (2)作出绕原点顺时针旋转的； (3)点在平面直角坐标系中，若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)，， 【分析】本题考查图形与坐标，涉及平移性质求点的坐标、旋转作图、构造平行四边形求顶点坐标等，熟记平移性质、旋转性质及平行四边形的性质是解决问题的关键． （1）由平面直角坐标系中的得到点、，再由图形平移即可得到点对应点的坐标； （2）由旋转作图，先作出对应点，再连线即可得到答案； （3）由平行四边形的判定与性质，过的顶点作对边的平行线交于，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，点、， 将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为， ； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：过的顶点作对边的平行线交于，如图所示： ，，，即点坐标，，． 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将向左平移4个单位后得到的图形； (2)画出将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状； (3)在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，四边形是平行四边形 (3)或或 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，中心对称等知识，解题的关键是∶ （1）根据平移规则，确定的位置，再进行连线即可得到；（2）根据成中心对称的性质，画出，然后根据中心对称的性质、平行四边形的判定即可得出结论；（3）分①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线，三种情况讨论，然后利用平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解∶如图， 即为所求； （2）解：如图，即为所求， ∵将绕点C按逆时针方向旋转后得到的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：设， ①以，为对角线， 则， 解得， ∴； ②以，为对角线， 则， 解得， ∴； ③以，为对角线， 则， 解得， ∴ 综上，D的坐标为或或． 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)在图1中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． ①画出平移后的； ②如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为________； (2)在图1中， ①作出关于原点的中心对称图形； ②写出的坐标为________； (3)在图2中，只用无刻度的直尺，不用圆规，在给定网格中完成画图． ①画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为________； ②画的角平分线． 【答案】(1)①作图见解析；② (2)①作图见解析；② (3)①作图见解析，；②作图见解析 【分析】（1）①根据平移的性质分别作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； ②利用勾股定理求的长即可； （2）①根据中心对称的性质分别作出点、、的对称点、、，然后顺次连接即可； ②结合图形可得答案； （3）①通过三种情况的分析可知：当以，为平行四边形的边时，平行四边形的周长最小，结合平行四边形的判定画图，即可得出答案； ②结合等腰三角形的性质，连接，得，取格点，连接、，作射线，交于点，即可得． 【详解】（1）解：①如图，即为所作； ②连接1， 由题意知，小正方形的边长为， ∴， ∴平移距离为， 故答案为：； （2）①如图，即为所作； ②由图可得，点的坐标为， 故答案为：； （3）∵，，， ∴，即， ①以，为平行四边形的边时， 平行四边形的周长为：； 以，为平行四边形的边时， 平行四边形的周长为：； 以，为平行四边形的边时， 平行四边形的周长为：， ∵， ∴以，为边的平行四边形的周长最小， 如图，平行四边形即为所作， 由图可得，点的坐标为， 故答案为：； ②连接，取格点，连接、，作射线，交于点， ∴，，， ，， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴、、三点共线，点是的中点， 又∵， ∴平分， ∴是的角平分线， 则即为所作． 【点睛】本题考查作图—平移变换、中心对称，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，掌握平移和中心对称的性质是解题的关键． 函数与平行四边形题型03 15．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点． (1)______，______； (2)直线与直线，分别交于，两点： ①求的长（用含n的代数式表示）； ②当时，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②点的坐标为或或． 【分析】本题是考查一次函数与几何综合题，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、平行四边形的特点． （1）把代入可求出，进而得到，并将其代入中可求出的值； （2）①根据题意可表示出、的坐标，即可求出；②根据①可求出、的坐标，由平行四边形的性质分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中，得：， ， 将点代入中，得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①直线为， ， 由（1）知，直线为， ， ， 的长为； ②当时，， 解得：或（舍去）， ，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如图： 当为对角线时，将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，可得， 当、为边时，将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，可得， 当为边，为对角线时，将向左平移个单位，再向下平移个单位，可得， 综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为或或． 16．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，若，定义（为常数）的函数为的“H函数”． (1)点在函数的“H函数”图象上，则a的值为_______； (2)已知的顶点坐标分别为，若点E在第四象限，且四边形是平行四边形． ①请直接写出点E的坐标为_______； ②的“H函数”图象与的边交于点边交于点G，当点G是中点，且时，求该一次函数的解析式； ③若，当，且时，请直接写出当的“H函数”图象与各边的交点个数之和分别为2，3，4时，所对应的n的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①；②；③当或时，交点个数之和为2个，或；当或时，交点个数之和为3个，或；当时，交点个数之和为4个，．． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，弄懂H函数是解题的关键． （1）根据定义得到函数的“H函数”，即可求出答案； （2）①由题意可得轴，，由四边形是平行四边形．得到轴，又由点E在第四象限即可得到点E的坐标；②分别求出求出点G的坐标是点F的坐标为利用待定系数法即可求出一次函数解析式；③由题意求出，进一步求出，得到的“H函数”为，再分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，函数的“H函数”为 当时，， 当时，，解得 ∴a的值为或； 故答案为：或 （2）①∵， ∴轴，， ∵四边形是平行四边形． ∴，轴， ∵点E在第四象限， ∴点E的坐标为 故答案为： ②∵，点E的坐标为点G是中点， ∴点G的坐标是 ∵点F在上， ∴点F的纵坐标为， ∵， ∴ 解得， ∴点F的坐标为 将点F、G的坐标代入得到 解得， ∴ ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“H函数”为 当时，解得， 函数与的图象交点为， 当点G在边上时，， 解得， ∴当时，交点个数之和为2个，此时， 当时，交点个数之和为3个，此时； 当H函数经过点D时，， 解得， ∴时，交点个数之和为4个，此时， 当时，交点个数之和为3个，此时， 当H函数经过点E时，， 解得， ∴当时，交点个数之和为2个，此时， 综上可知，当或时，交点个数之和为2个，或；当或时，交点个数之和为3个，或；当时，交点个数之和为4个，． 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①② (3)的面积不变， 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）①先求直线表达式，根据中心对称可求Q坐标；②利用边界值计算即可，当Q在边上时求m的值，当Q在边上时求m的值，即可得出m的范围； （3）的面积是否发生变化可以看底和高是否变化，其中底是是定值，因为Q所在直线与平行，根据平行线之间是等距的，所以高是定值，所以面积不发生变化，再根据题干条件求出高即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线函数表达式为：，将D，E代入可得出： ， 解得∶ ∴直线的函数表达式为． （2）①设解析式为，将、坐标代入得 ， 解得： ∴解析式为， ∵P在线段上，P的横坐标为m， ∴， ∵B、Q关于点P中心对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： ②当Q在边上时，此时，即， ∴， 当Q在边上时，此时点Q在直线上， ∴， 解得， ∵不包含边界， ∴ （3）的面积不变，的面积为6． 理由如下： ∵，， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴， ．∵， ∴点Q所在直线l的解析式为：， 设l与x轴交于点K，则， ∴， 由(2)知解析式为：， ∴， 过A作于点G，作于点H，则四边形是矩形， 由题易知，为等腰直角三角形， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、求一次函数的交点坐标、平行四边形的性质以及两点之间的距离，中心对称等等基础知识，掌握相关知识是解题的关键． 18．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）点为平面直角坐标系中的任意一点，若（x和y分别是点P的横坐标和纵坐标），则m称为点P的特征数． (1)当点P的坐标为时，求点P的特征数m的值； (2)已知点的特征数是，点的特征数是4．求点M的坐标； (3)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在x轴上，顶点在y轴上，连接． ①点E和点F的特征数都是1，且两点都在平行四边形的边上，连接，判断线段与对角线的关系，说明理由； ②当点在平行四边形的内部（不含边界）时，直接写出点P的特征数m的取值范围． 参考公式：两点，，则它们中点P的坐标为 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等： （1）根据特征数的定义求解即可； （2）根据特征数的定义可得方程组，解之即可； （3）①根据特征数的定义可推出点E在直线上，同理点F在直线上，求出直线解析式，进而求出点E和点F的坐标，再利用勾股定理求出的长，进一步求出的长以及直线的解析式即可得到答案；②可推出点P在直线上，由平行四边形的性质得到顶点，再求出当直线恰好经过时，；当直线恰好经过时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵点的特征数是，点的特征数是4， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； （3）解：①设， ∵点E的特征数是1， ∴， ∴， ∴点E在直线上， 同理点F在直线上， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， 在中，当时，， ∴直线与交于，与交于， 不妨设，， ∴， 同理可得直线解析式为，， ∴，； ②由题意得，， ∴， ∴点P在直线上， ∵平行四边形的顶点，，顶点， ∴顶点 当直线恰好经过时，则，解得； 当直线恰好经过时，则，解得； 综上所述，． 19．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或； 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与边上的三点能构成平行四边形，如图，的临界位置为：，，再由直线（）过临界点求解的值即可得到答案； 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ； （3）①直线上没有“亮点”， 直线与平行， ， ，令，， 令，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即或， 解得或， 或； ②由①得：， 而点Q与边上的三点能构成平行四边形， 如图，的临界位置为：，， ∵点Q在直线（）上， ∴当过时， ∴， 解得：； 当过时， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：或； 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，．    (1)作边的垂直平分线交于点P，交于点Q（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，探究线段与线段的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，有公共顶点C的两个直角三角形，将绕点C旋转，旋转后的三角形记为（点P对应点，点Q对应点）．在旋转过程中，直线与直线分别交于两点，当为等腰三角形，且点落在内都时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由垂直平分线得到，，，得到，则，是等边三角形，再证明是的中位线，即可得到，结论得证； （3）过点作于点G，由题意可得，，，求出，由勾股定理及含的直角三角形的性质求出，再进一步求出，，由勾股定理及含的直角三角形的性质求出，利用三角形面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解；，， 理由如下：连接，    ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴是的中位线， ∴ （3）如图，过点作于点G，    由题意可知，，旋转后的三角形记为（点P对应点，点Q对应点）．且的延长线与直线分别交于两点，当为等腰三角形时，即， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的面积． 【点睛】此题考查了勾股定理、垂直平分线的作图及性质、等腰三角形判定和性质、等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，正确作图是解题的关键． 三角形中位线题型04 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理的探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且．    【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁    B．乙、丙    C．乙、丁    D．全正确    【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； 【定理应用】 ①如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）    ②已知和直角顶点重合，如图所示，，，（）．过点分别作，，直线与直线相交于点，过点分别作，，直线与直线相交于点，连接．分别取的中点和，连接．在绕点旋转过程中，求的长度的最大值（用含的代数式表示）．    【答案】【定理探究】：D；【定理证明】：见解析；【定理应用】：①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质． 定理探究：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； 定理证明：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形即可； 定理应用： ①连接并延长交的延长线于，先证明得为的中点，再得是的中位线即可； ②取中点，连接,先证明得，，推出，再证明四边形是平行四边形得为的中点，即是的中位线，是等腰直角三角形得，最后推得当最大时，最大，此时，共线即可． 【详解】解：定理探究：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理， 故选：D； 定理证明： 证明：如图，    四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 ； 定理应用： ①如图，连接并延长交的延长线于，    在和中 ，即为的中点， 为的中点 是的中位线 故答案为：； ②如图，取中点，连接,    在和中 四边形是平行四边形 为的中点 为的中点，三点共线 是的中位线 为的中点 是的中位线 是等腰直角三角形 当最大时，最大，此时，共线，如图，   的最大值为 的最大值为． 22．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接，交于点，易得，勾股定理求出的长，即可； （2）延长交的延长线于点，先证明，得到，取的中点，连接，利用中位线定理，得到，且，证明，得到，即可得出结论； （3）连接，取中点，连接，，利用中位线定理，得到是等边三角形，是等边三角形，设，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的值，进一步求解即可． 【详解】解：（1）连接，交于点，如图， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，，， ， ； （2）证明：如图，延长交的延长线于点， 平分，， ，， 又， ， ， 取的中点，连接，则有，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，取中点，连接，， 、分别为和中点， 和分别为和的中位线， 且且， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 设，则，在中，由勾股定理得，， 解得， 即， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造中位线． 23．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图1，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（不需证明）． (1)如图2，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状，请直接写出结论； (2)如图3，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明． 【答案】(1)为等腰三角形； (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】（1）取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，即可证明是等腰三角形； （2）连接，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行的性质证明即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形；证明如下： 如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：为直角三角形，证明如下： 如图，连接，取的中点H，连接，      ∵F是的中点， ∴， ∴， 同理，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰三角形和直角三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 24．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）阅读下列材料并完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线，如图1，在四边形中，设，与不平行， E， F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接，取的中点M，连接，． 点E，点M分别是和的中点， ，且（依据）． 同理：，且． ， ． 在中， 即． 方法二：如图3，连接并延长至点G，使，连接，． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指 ； (2)将方法二的证明过程补充完整； (3)如图4，在五边形中，，，，．若点F，G分别是边，的中点，则线段的长的取值范围是 ． 【答案】(1)三角形中位线定理 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可； （2）证明，推出，在中，利用三角形中位线定理即可得解； （3）连接，作，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得，再利用（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，取的中点M，连接，． 点E，点M分别是和的中点， ，且（三角形中位线定理）． 同理：，且． ， ． 在中， 即． 故答案为：三角形中位线定理； （2）如图3，连接并延长至点G，使，连接，． ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴ ，且， ∵， ∴， 在中，， ∴，即； （3）连接，作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵分别是边的中点， 由（1）得，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 几何综合应用压轴题题型05 25．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【模型建构】 如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学习了平移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：． 方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明； 方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数． （3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到；方法一：如图1，过点作，且，连接，，证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可． 方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．由，证明，得到，，再证明是等边三角形得到即可． （2）方法一：如答图3，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明，得到，，进而求得即可； （3）如答图5，过点作，且，连接，作于点，证明四边形是平行四边，得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：（1）证明：，， ， 方法一：如图1，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． 方法二：如图2，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， ， ，， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形， ．   （2）方法一：如图3，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ； 方法二：如图4，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）如图5，过点作，且．连接，作于点， 四边形是平行四边形． ，， ， ， 在中， 由勾股定理，得． 于点， ， 中，有． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方法运用是解答的关键． 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图①，正方形中，点，是边，上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． (1)结合函数图象，求的长； (2)连接，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明得，结合函数图象求出即可； （2）由勾股定理得，从而列方程解决即可； （3）先证明两点分别为中点，过点M作于点N，过点M作于点H，求出及长，再根据勾股定理计算求解即可． 【详解】（1）解：正方形中， ， ， ， ， 长为，长为，与的函数图象经过点， ， ； （2）解：如图： 在中，， ， ， 在中，， ， ，即， 解得：； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 两点分别为中点， 过点M作于点N，过点M作于点H， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、坐标与图形、勾股定理应用、三角形全等的判定与性质及矩形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键． 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 如图，小明同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． 如图，小颖同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）王老师发现之前两名同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接不平行)，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，，再过点作交于点，过点作交于点，当，，时，求的周长． 【答案】（） 见解析；（），理由见解析；（）的周长为或． 【分析】（）若选择小明同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，得，，再证明是等边三角形，得，，可证明，得，；若选择小颖同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，推导出，，，再证明是等边三角形，得，，进而证明，得，则； （）取的中点，的中点，连接，则，，因为，，所以，可证明，则，再证明，则，再证明，得，则； （）根据题干条件画出图形，分类讨论即可求解． 【详解】（）证明：方法一：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）解：，理由： 取的中点，的中点，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图所示， 当时，则在下方， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，，由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：； 如图所示， 当时，则在上方，同理可得， 此时的周长为：， 综上可知：的周长为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识的应用，正确添加辅助线及分类讨论思想应用是解题的关键． 28．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）线段的长为或或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，翻折的特征是解题的关键． （1）根据点在边上的不同位置，画出图形，进行分类讨论，情况①，当射线与相交于点，点在线段上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得，利用等角对等边，即可证明；当点在边上其他位置时，同理可证得； （2）根据，利用垂线段最短，可得当时，最短，故此时取得最小值，利用勾股定理即可求解； （3）根据点在边上的不同位置，当时，，以及当点与点重合时，分情况讨论，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：（1），理由如下， 情况①，当射线与相交于点，点在线段上，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ． 情况② 当射线与相交于点，点在线段延长线上，如图， 同理可得，， ． 情况③ 当点在如图位置，延长线与相交于点， 四边形是平行四边形， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，， ， ， ． 综上，无论点在什么位置，都有． （2），根据垂线段最短， 当时，最短，故此时取得最小值，如图所示， ，，， 根据勾股定理得， ， 线段的最小值为． （3）情况① 当时，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ，即， 是以为一条直角边的直角三角形， 根据第（2）结果，， ． 情况②，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，，，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ， ， 在中，， ． 情况③ 当点与点重合时，即将四边形沿翻折得到四边形， ，根据翻折特征，可得， ， 是以为一条直角边的直角三角形， 此时，． 综上，当是以为一条直角边的直角三角形，线段的长为或或． 29．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）实践探究题： 【发现问题】学习完图形的旋转后爱思考的芳芳和淘淘两名同学进行了如下探究活动． 如图①他们将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点在同一条直线上，淘淘高兴的说“我能求出的度数”，请你将淘淘的求解过程整理出来． 【提出问题】 芳芳说“我不但求出了的度数，还能提出新的问题：如图②，如果作出中边上的高线，那么线段，，之间存在着一种数量关系，你发现了吗淘淘？”请写出这三条线段之间的数量关系并说明理由． 【解决问题】 数学王老师微笑着对芳芳和淘淘说：“你们两个太棒了，在你们的探究基础上如果老师再给出一个正方形，如图③，在这个正方形中边长，若点满足且，请想一想点到的距离是多少呢．”（直接写出结果）    【答案】发现问题：，过程见解析；提出问题：，理由见解析；解决问题：或． 【分析】本题考查了旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 发现问题：由旋转的性质可得是等腰直角三角形，进而得，即得，再根据角的和差关系即可求解； 提出问题：由发现问题可知是等腰直角三角形，，由可得，又由旋转可得，即可； 解决问题：分两种情况，画出图形，根据提出问题的结论解答即可求解； 【详解】解：发现问题：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 提出问题：． 理由：由发现问题可知是等腰直角三角形，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知， ∴； 解决问题：点A到的距离是或． （）当点在如图①所示位置时，连接， 并在上取一点，使，连接，设相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中，， 由提出问题类比可得，， ∴， ∴， ∴点到的距离为； （）当点在如图②所示位置时，连接， 并在上取一点，使，连接， 过点作于点，过点作于点，    同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理（）可得， ∴，， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， ∴点到的距离为； 综上所述，点到的距离为或． 30．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段，，之间的数量关系是________． （2）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 如图，在四边形中，，，，在边和分别有一点和点，使的周长恰好是长的倍，求此时的度数． 【答案】 【 初步探索 】 （1） （2），理由见解析 【 结论应用 】 的度数是 【分析】【 初步探索 】 （1）延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得到线段，，之间的数量关系； （2）过点作，取，连接，，即可证明，可得，再证明，可得，又可证明为直角三角形，则利用勾股定理即可得出，，之间的关系． 【 结论应用 】 连接，延长至点，使，连接，证明，，，从而最终得出的度数． 【详解】解：【 初步探索 】 （1），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，之间的关系是：，理由如下： 如图，过点作，取，连接，， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【 结论应用 】 如图，连接，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 的周长恰好是长的倍， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且，， ， ， 所以，的度数是． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，运用类比的方法作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当、、三点在同一条直线上时；求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，结合图形，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定即可证明； （2）根据等腰三角形得出，同（1）方法证明，结合图形即可求解； （3）连接，，根据等腰三角形的判定和性质得出是等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质确定，，利用三角形等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：， 即， ， 在和中， ； （2）解：，，， 和均为等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ， ； （3）如图，连接，， ，，， 和均为等腰直角三角形， ， 点为的中点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 32．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）发现结论： （1）在中，，若设，则________；（用含有a的代数式表示） （2）如图1，在中，是对角线，将沿翻折至与边相交于点E，连接，则的形状是________，线段和的数量关系是________． 结论应用： 在中，，是对角线，将沿翻折至，连接． （3）如图②，已知，与边相交于点E，求的面积； （4）已知，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）等腰三角形，相等；（3）；（4）的长为4或12 【分析】（1）由题意可得，从而得出； （2）先证明，可得，得出，从而得出是等腰三角形，再由，，可得； （3）延长交于点G，通过解直角三角形求得，，再由，可得，设，则，根据勾股定理即可求得值，即的值，然后根据三角形的面积公式即可求得的面积； （4）分两种情形，分别求解即可． 【详解】发现结论： （1）如图， 在中，，， ， ， 故答案为：； （2）四边形是平行四边形， ，，， 将沿翻折至， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，， ， 故答案为：等腰三角形，相等； 结论应用： （3）如图，作于， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ，解得， ， 的面积； （4）由（2）得，， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 是以为斜边的直角三角形， 当，时， 设， ， ， ，解得， ， ， ， ， 当，时，如图，延长交于点G， ，， ， ，， ， ，， ， ， 是的中点， 在中，， ． 综上所述，当的长为4或12时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 33．（辽宁省锦州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）【模型建构】 如图1，已知线段所在直线交于点，其所夹锐角为． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，点D，E分别在、延长线上，且，求证：． 方法一：过点作，且，连接将证明，转化为证明； 方法二：过点作，且，连接将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在中，为上一点，为延长线上一点，且，连接交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图6，在中，分别是边上的点，且于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到；方法一：如图1，过点作，且，连接证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可． 方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．证明得到再证明是等边三角形得到即可． （2）方法一：如答图3，过点作，且，连接证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明 得到，进而求得即可； （3）如答图5，过点B作，且，连接作于点，证明四边形是平行四边得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：（1）证明：， 方法一：如图1，过点作，且，连接 四边形是平行四边形． ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． 方法二：如图2，过点作，且， 连接 四边形是平行四边形． ． ，即． ． 是等边三角形． ． （2）方法一：如图3，过点作，且，连接 四边形是平行四边形． ，， 方法二：如图4，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， （3）如图5，过点B作，且． 连接作于点， 四边形是平行四边形． ，， 在中，由勾股定理，得． 于点， ． 中，有． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方法运用是解答的关键． 34．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）过点E作于点F，根据题意得到；，进而求解即可； （2）过点D作，连接，首先证明出四边形是矩形，得到，然后利用勾股定理求出，设，则，然后利用列方程求解即可． （3）连接，，过点A作于M，作于N，得到，，得到，进而求解即可； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M，由（3）知平分，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点F ∴；； ∴ （2）如图所示，过点D作，连接 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）连接，，过点A作于M，作于N， 由（1）知 ∴，即 ∵ ∴ ∴点A在的平分线上，即平分； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M， ∵， ∴由（3）知平分 ∵， ∴ ∴， ∵，，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴在中，由可得， ∴ 在中，∵，， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形． 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知中，点是边上一点，取的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件______时，四边形是矩形（直接填空）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得，，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由矩形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：当与满足条件时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）先证明是矩形，然后利用矩形的性质可得出，最后利用菱形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理求出，利用等积法求出，然后利用面积公式求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：过A作于E， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 37．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，，，结合正方形的性质可得，然后利用证明，得出，即可得出结论； （2）过作，交于M，，交于N，证明平行四边形是菱形，得出，证明，得出，则可求出，即可求解； （3）过作于H，设，利用含的直角三角形的性质求出，在和中，利用勾股定理可得出，即可得出关于x的方程，然后求出x的值，最后利用（2）中的求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴菱形、都是正方形， ∴，，，， ∵， ∴是中点， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （3）过作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ 解得或3， ∴或3， 又，， ∴或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形的变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：为等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求的长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）2；（3）或 【分析】（1）可知是的垂直平分线，则，由折叠得，故，即可求证； （2）由勾股定理可求，而，对运用勾股定理可求； （3）当时，记与交于点H，可证明是直角三角形，即，由面积法可求，则，继而可得是等边三角形，则此时旋转到，因此点对应点落到点的位置，故；当时， 过作于，过点作，则，，可证明，则，在中，由勾股定理得，，综上，线段的长为或． 【详解】（1）证明：矩形沿对折， 是的垂直平分线， ， 折叠， ， ， 是等边三角形； （2）解：， ，， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ， ∵是折痕， ， ； （3）解：旋转， ， ， 等腰三角形中， 可分两种情况讨论， ①当时，记与交于点H，如图所示， 由（2）知，，，， ， 是直角三角形，即， ， 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 此时旋转到， 点对应点落到点的位置， 此时； ②当时，如图所示， 过作于，过点作， ， ， ∵，由轴对称得，， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$