专题02 三角形基础证明题（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题02 三角形基础证明题 题型概览 题型01三角形的中线、高线、角平分线相关问题 题型02三角形的基础证明题型 题型03全等测距离的应用 题型04三角形与垂直平分线 题型05典型全等模型---手拉手 题型06典型全等模型---一线三垂直 题型07新定义与三角形 题型08长方形折叠题型 题型09尺规作图 题型10网格中的轴对称 三角形的中线、高线、角平分线相关问题题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形?请说明理由．    2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点． (1)若，，求的度数． (2)猜想与、的数量关系． 3．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，垂直平分，的角平分线交于内一点P，连接．若，求的度数． 4．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）在一次数学活动课上，李老师要求学生用折纸的方法得到过三角形同一顶点的高线和角平分线，小明和小刚两人一组，共用一个三角形纸片即如图所示的，经测量，，小明和小刚过点A分别折出高线和角平分线．    (1)经两个人初步探讨：小明求出了的度数，你知道小明是怎样求得的吗？写出求解过程． (2)李老师又要求小刚和小明折出边上的高线，经过两人的深入探讨，小刚说他知道了的度数，请你帮小刚写出求解过程． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，求∠B的度数． 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）本学期，在九中的综合实践课上，同学们动手制作了风筝．聪明的小贺同学将风筝的骨架图抽象成为了一个几何图形．如图所示，平分，点E是上一点，，连接交于点．求的度数． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，过点A作边上的高交的延长线于点D，平分交于点若，，求的度数． 8．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）在中，是的角平分线，点在射线上，． (1)如图1，当点在上，若，求的度数； (2)当点在的延长线上，请在图2中补全图形，猜想与的数量关系并证明． 9．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线被直线所截，． 求证：． 证明：， ________（________）． ， ________（________）． ． （2）如图2，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，且，求． 三角形的基础证明题型题型02 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，．判断和的位置关系，并说明理由． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，． 求证：． 13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）已知：如图，点E，F是BD上的点，∠AED=∠CFB，AE=CF，BE=DF． 求证：AB∥CD，AB=CD． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，在中，点D为延长线上一点，，过点D作，且．求证：． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，，求证：． 17．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE = FE，AB∥FC． 求证：AD = CF． 18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，点E在边上，且，． 求证． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点F在上，，，．求证：． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，点为中点，求证：．    23．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点为上一点，且交于点．    (1)试说明； (2)猜想的度数并证明． 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 26．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：． 全等测距离的应用题型03 27．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）综合实践 某学校综合实践活动小组要测池塘两端A，B的距离，小华同学设计出如下方案： 由如图，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，量出的长即为A，B的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由． 28．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由．    29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】如图，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【方案解决】 同学们想出了如下的两种方案： 方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离； 方案②：如图2，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，在垂线上选一点，使，，三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． (1)方案①是否可行？请说明理由； (2)方案②是否可行？请说明理由； (3)李明同学提出在方案②中，并不一定需要，，只需要__________就可以了，请把李明所说的条件补上． 三角形与垂直平分线题型04 30．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且． (1)如图①，求证：垂直平分； (2)如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且． 求证：． 31．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，E，F分别在三边上，且，，G为的中点．    (1)若，求的度数； (2)试说明：垂直平分． 典型全等模型---手拉手题型05 32．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． （1）求证：AD=CE； （2）求证：AD⊥CE 33．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，平分，连接，若，． (1)求证：； (2)若，求证：CD∥AB． 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E在外部，且，，连接． 【问题发现】 （1）求证； 【问题探究】 （2）线段和有怎样的关系？请说明理由； 【问题应用】 （3）若，请直接写出的面积． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC, （1）求证：∠ABD＝∠ACD； （2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数． 36．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE． （1）求证：AC=CD； （2）若AC=AE，求∠DEC的度数．    37．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）已知，均为等边三角形，点是内的任意一点， (1)如图，试说明 (2)当为等腰直角三角形时，________（直接写答案） 典型全等模型---一线三垂直题型06 38．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）周末，方方和爸爸妈妈一起在公园里荡秋千．如图，方方坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，方方两脚在地面上用力一蹬，爸爸在距地面高的C处接住她后用力一推，妈妈在B处接住他，若爸爸与妈妈到的水平距离、分别为和，． (1)求证：； (2)妈妈是在距离地面多高的地方接住方方的？ 39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 40．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）某同学用11块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方体ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），其截面示意图如图所示，点B在EF上，点A和点C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF． 新定义与三角形题型07 41．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，平分交于点D，求证：是“倍角三角形”； (2)如图2，A，C为直线l上两点，点B在直线l外，且．若D是l上一点，且是“倍角三角形”，直接写出的度数． 42．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在实际生活中，一些几何图形具有稳定性或不稳定性． (1)下列实物图中利用了三角形具有稳定性的有______填序号； (2)在一堂数学课上，老师拿出一个用木条钉成的四边形，如图1，其中，，请同学们利用这个四边形框架画出下面等腰底边上的高． 小慧将四边形框架顶点A放在如图2等腰的顶点E上，将放在三角形边上，连接并延长交于H点，得到就是等腰底边上的高，你认为这种做法是否正确，并说明理由． 长方形折叠题型题型08 43．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，E，F分别是长方形的边上的点（不与端点重合），连接，将四边形沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点，若，求的度数． 尺规作图题型09 44．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图、填空：    (1)画射线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线l上确定点E，使得最小，请写出你作图的依据______． (5)若的度数是，则它的余角的度数是______． 45．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） 小淇同学作法如下： （1）在直线l上任意取一点C，连接AC； （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示； （4）作直线AB． 则直线AB就是所要作图形． 你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明． 46．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 47．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知在中，点D在边上，且． (1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接、求证：． 48．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在 中，，边的垂直平分线分别交，边于点和点，连接． (1)尺规作图：在线段上求作点，使 (请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，建议用铅笔或黑色水性笔作图)； (2)请猜想并写出线段与线段有怎样的数量关系？说明理由． 49．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 50．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，点在边上． (1)求作，使，并满足点在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据你的作图方法，说明的理由． 51．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，, ． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 52．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②的平分线； ③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ④作直线． 则直线就是所求作的直线． 请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 53．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 网格中的轴对称题型10 54．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）作关于直线的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形边长为1，求的面积． 55．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）若网格中最小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ； （3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 56．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 57．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 58．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）是过网格线的一条直线．    (1)求的面积； (2)作关于直线对称的图形； (3)在边上找一点，连接，使得． 59．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（A与，B与，C与相对应）； (2)在直线l上找一点P，使得最小； (3)在（2）的条件下，若点P到的距离为，到的距离为，则______（填“”，“”或“”）． 60．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，的顶点A，B，C都在网格线中小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线l成轴对称； (2)求的面积； (3)在直线l上找一点P，使点P到点A，点B的距离之和最短． 61．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)作出三角形关于直线的轴对称图形三角形； (2)求三角形的面积； (3)在直线上找一点P使得三角形的面积等于三角形的面积； (4)在直线上找一点Q，使最小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形基础证明题 题型概览 题型01三角形的中线、高线、角平分线相关问题 题型02三角形的基础证明题型 题型03全等测距离的应用 题型04三角形与垂直平分线 题型05典型全等模型---手拉手 题型06典型全等模型---一线三垂直 题型07新定义与三角形 题型08长方形折叠题型 题型09尺规作图 题型10网格中的轴对称 三角形的中线、高线、角平分线相关问题题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形?请说明理由．    【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意求得即可求证． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点． (1)若，，求的度数． (2)猜想与、的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ； （2）如图， 设，， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，垂直平分，的角平分线交于内一点P，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质，可得∠，根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）在一次数学活动课上，李老师要求学生用折纸的方法得到过三角形同一顶点的高线和角平分线，小明和小刚两人一组，共用一个三角形纸片即如图所示的，经测量，，小明和小刚过点A分别折出高线和角平分线．    (1)经两个人初步探讨：小明求出了的度数，你知道小明是怎样求得的吗？写出求解过程． (2)李老师又要求小刚和小明折出边上的高线，经过两人的深入探讨，小刚说他知道了的度数，请你帮小刚写出求解过程． 【答案】(1)，过程见解析 (2)，过程见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义． （1）根据，求出，由角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理即可解答； （2）由垂直的定义得到，结合三角形内角和定理的到，由，结合（1）中即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ∴， 的度数是． （2）解：∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， 的度数是． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，求∠B的度数． 【答案】． 【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）本学期，在九中的综合实践课上，同学们动手制作了风筝．聪明的小贺同学将风筝的骨架图抽象成为了一个几何图形．如图所示，平分，点E是上一点，，连接交于点．求的度数． 【答案】 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，则，，表示出，再根据平分，得出，，根据三角形内角和得出，即可求解； 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，过点A作边上的高交的延长线于点D，平分交于点若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形高的定义和角平分线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和求出，则由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：是的高， ， 是的一个外角 ， 平分， ， 是的一个外角， 8．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）在中，是的角平分线，点在射线上，． (1)如图1，当点在上，若，求的度数； (2)当点在的延长线上，请在图2中补全图形，猜想与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为． （1）先求出，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出； （2）在中，设，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理得出． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ， 是的角平分线， ， 在中，； （2）解：，理由如下： ， ， 在中，设， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ， ， 即， ． 9．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）完成下面的证明． 已知：如图1，直线被直线所截，． 求证：． 证明：， ________（________）． ， ________（________）． ． （2）如图2，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质与判定定理，补充证明过程； （2）根据三角形的高的定义，三角形的内角和定理可得，进而根据角平分线的定义，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， （同位角相等，两直线平行）． ． （2）在中，为高，， 在中， 平分 10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的外角定理、三角形中线的性质以及三角形的面积计算．熟练掌握这些知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的外角定理，可求出的度数． （2）由中线可将三角形分成面积相等的两个三角形，以及三角形的面积计算公式可解决此题． 【详解】（1）是的一个外角， ． ，， ． （2）连接， 为的中线， ． 同理． ， ， ． ，． ． 解得． EF的长为． 三角形的基础证明题型题型02 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，．判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，欲证明，只要证明，只要证明即可． 【详解】解：结论：． 理由：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ， ∴． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，． 求证：． 【答案】见详解 【分析】由题意易得，进而易证，然后问题可求证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，点E，F是BD上的点，∠AED=∠CFB，AE=CF，BE=DF． 求证：AB∥CD，AB=CD． 【答案】见解析 【分析】根据补角的概念可得∠AEB=∠CFD，再根据“SAS”可得△ABE≌△CDF，由全等三角形的性质可得答案． 【详解】证明：∵∠AED=∠CFB， ∴∠AEB=∠CFD， ∵AE=CF，BE=DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AB=CD，∠ABD=∠CDB， ∴AB∥CD． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，在中，点D为延长线上一点，，过点D作，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，再由，即可证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由平行线的性质得到，进而可利用证明； （2）先求出，再由全等三角形的性质得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，由平行线的性质证得，根据定理推出，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE = FE，AB∥FC． 求证：AD = CF． 【答案】证明见详解． 【分析】先根据得到，再证明△AED≌△CEF即可得证． 【详解】证明：∵AB∥FC， ∴， 在△AED和△CEF中， ∵， ∴△AED≌△CEF（AAS）， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的证明，平行线性质，熟知三角形全等的判定方法是解题的关键． 18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）利用线段中点的定义得到，再证明得到； （2）由（1）的结论得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，点E在边上，且，． 求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过三角形外角的性质得到，由推出，利用，证明，即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 在与中， ， ， ． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法． 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点F在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据平行线的性质得到，然后根据“”证明即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 在和中，， ． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，点为中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长，交于点，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：延长，交于点，   ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 23．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，结合，，即可证明； （2）根据可得，，结合，即可证明，由此可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ． 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点为上一点，且交于点．    (1)试说明； (2)猜想的度数并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，从而得到，由即可证明； （2）由（1）得，从而可得，由得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角的和差求出，根据平行线的性质可得，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 26．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，进而利用证明，即可证明． 【详解】证明：，， ． ， ，即， 又∵，即 ， ∴， 在与中， ， ， ． 全等测距离的应用题型03 27．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）综合实践 某学校综合实践活动小组要测池塘两端A，B的距离，小华同学设计出如下方案： 由如图，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，量出的长即为A，B的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由． 【答案】小华同学的方案可行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：小华同学的方案可行． 证明：在和中， 小华同学的方案可行． 28．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由．    【答案】同意，见解析 【分析】证明，推出，即可得到结论． 【详解】解：同意， 理由：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 测得的长就是、两点间的距离． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】如图，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【方案解决】 同学们想出了如下的两种方案： 方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离； 方案②：如图2，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，在垂线上选一点，使，，三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． (1)方案①是否可行？请说明理由； (2)方案②是否可行？请说明理由； (3)李明同学提出在方案②中，并不一定需要，，只需要__________就可以了，请把李明所说的条件补上． 【答案】(1)方案①可行，理由见解析 (2)方案②可行，理由见解析 (3)． 【分析】（1）利用定理证明可得； （2）利用定理证明可得； （3），可得，利用定理证明可得． 【详解】（1）可行，理由如下： 在和中， ， ， ； （2）可行，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ； （3）只需即可， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质． 三角形与垂直平分线题型04 30．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且． (1)如图①，求证：垂直平分； (2)如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且． 求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的相关性质并灵活的应用． （1）根据等边三角形的性质证明即可； （2）可得，由，则． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ， ， ． 31．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，E，F分别在三边上，且，，G为的中点．    (1)若，求的度数； (2)试说明：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质，垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理等几何知识点来分析、判断、解答． （1）如图，首先证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题； （2）如图，作辅助线；首先证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：因为所以， 因为，所以 ； （2）如图，连接，    在和中， ， 所以， 所以， 因为G为的中点，所以 ， 所以垂直平分． 典型全等模型---手拉手题型05 32．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． （1）求证：AD=CE； （2）求证：AD⊥CE 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】试题分析：（1）要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论． （2）延长AD，根据（1）的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE． 试题解析：（1）∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC， 即∠ABD=∠CBE， ∴△ABD≌△CBE， ∴AD=CE． （2）延长AD分别交BC和CE于G和F， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE， ∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°， 又∵∠BGA=∠CGF， ∴∠AFC=∠ABC=90°， ∴AD⊥CE． 考点：1.等腰直角三角形；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定． 33．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，平分，连接，若，． (1)求证：； (2)若，求证：CD∥AB． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据∠DAE=∠CAB，可得∠DAC=∠EAB，然后根据SAS证明，即可； （2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=72°，从而得到∠ABE=36°，再根据全等三角形的性质可得∠ACD=∠ABE=36°，即可求证． 【详解】（1）证明：∵∠DAE=∠CAB， ∴∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE． ∴∠DAC=∠EAB， 在△DAC和△EAB中， ， ∴； （2）证明：∵AB=AC，∠CAB=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵平分， ∴∠ABE=36°， ∵， ∴∠ACD=∠ABE=36°， ∴∠ACD=∠CAB， ∴CD∥AB． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E在外部，且，，连接． 【问题发现】 （1）求证； 【问题探究】 （2）线段和有怎样的关系？请说明理由； 【问题应用】 （3）若，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析（2）且，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质与判定： （1）先由线段中点的定义得到，再由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，则可得到； （2）由全等三角形的性质得到，，再由三角形内角和定理证明，据此可得结论； （3）由等腰直角三角形的性质得到，再由全等三角形的性质可得． 【详解】解：（1）∵，点D是的中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）且，理由如下： 设交于T， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴且； （3）如图所示，过点E作于F， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC, （1）求证：∠ABD＝∠ACD； （2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 50° 【详解】(1)关键全等三角形的判定与性质证明即可;(2)利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可. 详解：⑴∵ ∠BAC=∠EAD ∴ ∠BAC－∠EAC=∠EAD－∠EAC 即：∠BAE=∠CA, 在△ABE和△ACD中    ∴ △ABE≌△ACD, ∴ ∠ABD=∠ACD, ⑵∵ ∠BOC是△ABO和△DCO的外角 ∴ ∠BOC=∠ABD＋∠BAC，∠BOC=∠ACD＋∠BDC ∴ ∠ABD＋∠BAC=∠ACD＋∠BDC ∵ ∠ABD=∠ACD ∴ ∠BAC=∠BDC, ∵ ∠ACB=65°，AB=AC ∴ ∠ABC=∠ACB=65°, ∴ ∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－65°－65°=50°, ∴ ∠BDC=∠BAC=50° 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质解答是本题的关键. 36．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE． （1）求证：AC=CD； （2）若AC=AE，求∠DEC的度数．    【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°． 【分析】（1）根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论； （2）根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到 【详解】（1）证明：      在△ABC和△DEC中，， （2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD， ∴∠1＝∠D＝45°， ∵AE＝AC， ∴∠3＝∠5＝67.5°， ∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°． 37．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）已知，均为等边三角形，点是内的任意一点， (1)如图，试说明 (2)当为等腰直角三角形时，________（直接写答案） 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）先根据等边三角形的性质得出，，，从而得到，证得，即可得出结论； （2）当为等腰直角三角形时，有三种情况，，，，分别讨论三种情况下的度数即可． 【详解】（1）证明：，均为等边三角形， ，，， 又， ， ， ； （2）解：当为等腰直角三角形时， 若，则，， ； 若，则，， ，， ； 若，则， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分线段， ， 即或或， 故答案为：或或． 典型全等模型---一线三垂直题型06 38．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）周末，方方和爸爸妈妈一起在公园里荡秋千．如图，方方坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，方方两脚在地面上用力一蹬，爸爸在距地面高的C处接住她后用力一推，妈妈在B处接住他，若爸爸与妈妈到的水平距离、分别为和，． (1)求证：； (2)妈妈是在距离地面多高的地方接住方方的？ 【答案】(1)见解析； (2)妈妈是在距离地面高的地方接住方方的． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）由题意得，，，再证，由证得即可； （2）由全等三角形的性质得，，先求出，再由，即可得出结果． 【详解】（1）解： 与全等，理由如下： 由题意得：，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ，， ， 由题意得：， ， 妈妈是在距离地面高的地方接住方方的． 39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】（1）见解析；（2）2cm． 【分析】（1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 40．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）某同学用11块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方体ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），其截面示意图如图所示，点B在EF上，点A和点C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF． 【答案】两堵木墙之间的距离为 【分析】由题意易得，由正方形得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 答：两堵木墙之间的距离为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 新定义与三角形题型07 41．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，平分交于点D，求证：是“倍角三角形”； (2)如图2，A，C为直线l上两点，点B在直线l外，且．若D是l上一点，且是“倍角三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)或或或或或或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的外角： （1）三角形的内角和定理，推出，角平分线得到，三角形的外角得到，即可得证； （2）分点D在点A的左侧和右侧两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是“倍角三角形”； （2）解：当点在点的右侧时： ①当时，则：； ②当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴； ④当时，则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时：则：， ①当时，则：； ②当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴； ∴ 综上：或或或或或或或． 42．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在实际生活中，一些几何图形具有稳定性或不稳定性． (1)下列实物图中利用了三角形具有稳定性的有______填序号； (2)在一堂数学课上，老师拿出一个用木条钉成的四边形，如图1，其中，，请同学们利用这个四边形框架画出下面等腰底边上的高． 小慧将四边形框架顶点A放在如图2等腰的顶点E上，将放在三角形边上，连接并延长交于H点，得到就是等腰底边上的高，你认为这种做法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)①，③ (2)这种说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形具有稳定性等知识点，熟记相关结论即可． （1）结合生活实际即可求解； （2）证得，根据“三线合一”即可判断． 【详解】（1）解：①，③利用了三角形具有稳定性， 故答案为：①，③ （2）解：这种做法正确． 在和中， ， ， ， 又， 长方形折叠题型题型08 43．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，E，F分别是长方形的边上的点（不与端点重合），连接，将四边形沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点，若，求的度数． 【答案】 【分析】题目主要考查折叠的性质及平行线的性质，根据题意得出，再由折叠的性质求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知， ∴， ∴． 尺规作图题型09 44．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图、填空：    (1)画射线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线l上确定点E，使得最小，请写出你作图的依据______． (5)若的度数是，则它的余角的度数是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)两点之间，线段最短． (5) 【分析】（1）根据射线的定义，即可作图； （2）根据线段的定义，即可作图； （3）根据延长线的定义，即可作图； （4）根据线段的性质，即可作图． （5）根据余角定义进行求解即可． 本题主要考查线段，射线，延长线的定义，线段的性质，余角的计算，掌握上述定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）如图所示：射线就是所求作的图形；    （2）如图所示：线段就是所求作的图形； （3）如图所示：线段就是所求作的图形； （4）连接交直线l于点E，即为所求点，依据是：两点之间，线段最短． 故答案是：两点之间，线段最短． （5）∵的度数是， ∴它的余角的度数是， 故答案为： 45．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） 小淇同学作法如下： （1）在直线l上任意取一点C，连接AC； （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示； （4）作直线AB． 则直线AB就是所要作图形． 你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明． 【答案】小淇同学作法正确．理由见解析 【分析】小淇同学作法正确．连接OB，作法可得OA=OC=OB，由三角形内角和可得∠ABC=90°，从而得AB⊥l． 【详解】解：小淇同学作法正确． 理由如下：连接OB． ∵O为AC中点，以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B， ∴OA=OC=OB． ∴∠CAB=∠ABO，∠ACB=∠CBO， 又∵∠CAB+∠ABO+∠ABC+∠CBO=180°， ∴∠ABO+∠CBO=90°． ∴∠ABC=90°，即AB⊥l． 46．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图，过A点作的垂线即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， 47．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知在中，点D在边上，且． (1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接、求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法和步骤，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等． （1）根据尺规作图—角平分线的作图方法和步骤即可解答； （2）根据证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 48．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在 中，，边的垂直平分线分别交，边于点和点，连接． (1)尺规作图：在线段上求作点，使 (请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，建议用铅笔或黑色水性笔作图)； (2)请猜想并写出线段与线段有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查作图线段垂直平分线，性的垂直平分线的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意，过点作于点即可； （2）证明，可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）结论：． 理由：，垂直平分 ， ，则 ，， ， 在和中， ， ， ． 49．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】因为 所以 如图所示，即为所求． 50．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知，点在边上． (1)求作，使，并满足点在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】题目主要考查基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【详解】（1）解：先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，如图所示即为所求； （2）根据作图得：，，， ∴． 51．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，, ． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8cm 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作法作图：分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧，相交于两点，过这两点做直线，即为的垂直平分线； （2）利用线段垂直平分线的性质得，然后根据三角形的周长公式即可解答； 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 答：的长为． 52．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②的平分线； ③P为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ④作直线． 则直线就是所求作的直线． 请你根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线和线段，平行线的判定，等腰三角形的性质； 根据尺规作角平分线和作线段的方法进行作图即可． 【详解】解：如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 53．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 网格中的轴对称题型10 54．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）作关于直线的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2.5 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求； （2）的面积为：． 55．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）若网格中最小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ； （3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积； （3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小． 【详解】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求； （2）△ABC的面积为：×3×2=3； （3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P， 此时△PAC周长最小． ∴点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短． 56．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)24 【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【详解】（1）如图，直线和 即为所求； ， （2）如图，连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； ， （3）四边形的面积为： ． 57．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．根据轴对称的性质画图． 【详解】解：如图， 58．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）是过网格线的一条直线．    (1)求的面积； (2)作关于直线对称的图形； (3)在边上找一点，连接，使得． 【答案】(1)10 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查网格中求三角形面积、对称作图及作线段垂直平分线，涉及三角形面积公式、对称性质、等腰三角形性质等，熟练掌握网格中求图形面积、对称作图及作垂直平分线是解决问题的关键． （1）如图所示，在网格中得到三角形的底边与高长，根据三角形面积公式，代值求解即可得到答案； （2）根据点的对称性，作出三个顶点关于直线的对称点，连接三点即可得到； （3）由题意，在边上找一点，使，根据等腰三角形性质得到，将题目转化为作线段的垂直平分线，如图所示即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）解：如图所示：   即为所求； （3）解：如图所示：   点即为所求． 59．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（A与，B与，C与相对应）； (2)在直线l上找一点P，使得最小； (3)在（2）的条件下，若点P到的距离为，到的距离为，则______（填“”，“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查轴对称作图，利用成轴对称的性质求解，三角形全等的判定与性质． （1）根据成轴对称的性质，作图即可； （2）利用成轴对称的性质求解即可； （3）如图，连接，设点P到的距离为，到的距离为，证明，由即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：连接交直线于点P，点P即为所求； ， 当点三点共线时，有最小值， 有最小值； （3）解：连接，设点P到的距离为，到的距离为， 由对称的性质得：， ， ， ， ，即． 60．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，的顶点A，B，C都在网格线中小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线l成轴对称； (2)求的面积； (3)在直线l上找一点P，使点P到点A，点B的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，利用网格求三角形面积： （1）根据轴对称的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格特点求解即可； （3）连接交直线l于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）的面积 答：的面积为4 （3）如图点P就是所求． 61．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)作出三角形关于直线的轴对称图形三角形； (2)求三角形的面积； (3)在直线上找一点P使得三角形的面积等于三角形的面积； (4)在直线上找一点Q，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称图形及其性质，最短路线等，解答此题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，理解两点之间线段最短，掌握网格求三角形面积的策略． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）延长交于点，易知点在格点上，设，则，求得，即可； （4）作点关于的对称点，连接交于点，则点满足条件． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）的面积； （3）延长交于点，易知点在格点上， 设，则， 即：， 如图，点P，点即为所求． （4）如图，点Q为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$