暑假作业09 全等三角形的判定与性质（7大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业09 全等三角形的判定与性质 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：全等三角形的性质与SSS的综合】 1．小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心、长为半径画弧、与第（2）步中所画的弧相交于点； 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 2．如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 4．如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【题型二：全等三角形的性质与SAS的综合】 5．如图，在的正方形网格中， . 6．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    7．在中，，为的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接．求证：． 8．如图，在中，延长至点，过点作，使，且．求证：． 9．如图，点A、D、C、E在同一直线上，若，，，求证；． 10．如图，已知的边与的边在一条直线上，，，，请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为结论，并证明． (1)你选择的结论是__________；（填序号） (2)根据你选择的结论，写出该结论的证明过程． 【题型三：全等三角形的性质与ASA（AAS）的综合】 11．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的B处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点M，将一根木棒竖直立在地面上的点M处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 12．如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 13．如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 14．如图，在中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且．求证：． 15．如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 16．如图1，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线上，图2是由图1抽象出的几何图形，过AB两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E． (1)与全等吗？说明你的理由． (2)若，，求的长． 【题型四：灵活的选择方法证明全等】 17．根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 18．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A． B． C． D． 19．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 20．如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 21．下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 22．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 23．如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【题型五：全等三角形的旋转模型】 24．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 25．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 26．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【题型六：全等三角形的垂直模型】 27．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 28．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 29．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【题型七：全等三角形的倍长中线模型】 30．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 31．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 32．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 33．嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 34．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 35．如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP， 在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法． 方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则． 方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则． (1)请选择你认为正确的方法作出图形，并证明； (2)直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确． 36．综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 37．（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 38．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 39．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 40．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 41．阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 42．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 43．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 44．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） (1)先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； (2)请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； (3)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 45．【问题提出】 如图1，在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，交射线于点．探索，与之间的数量关系．    【问题思考】 我们先将问题特殊化， （1）如图2，当，重合时，______，______，（用含，的代数式表示），此时，与之间的数量关系是：____________． 【问题解决】 我们再将问题一般化， （2）如图3，当在上，试说明（1）中，与之间的数量关系仍然成立． （3）如图4，当在上，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 46．【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 试卷第2页，共74页 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业09 全等三角形的判定与性质 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：全等三角形的性质与SSS的综合】 1．小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心、长为半径画弧、与第（2）步中所画的弧相交于点； 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【详解】解：根据作图过程，得，，， ∴， 故选：C． 2．如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 3．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 【答案】 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 4．如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． 【题型二：全等三角形的性质与SAS的综合】 5．如图，在的正方形网格中， . 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 7．在中，，为的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵为的中点， ∴， 在中 ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴． 8．如图，在中，延长至点，过点作，使，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明： 在和中， ． 9．如图，点A、D、C、E在同一直线上，若，，，求证；． 【答案】见解析． 【详解】证明： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴在与中 ∴ ∴ 10．如图，已知的边与的边在一条直线上，，，，请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为结论，并证明． (1)你选择的结论是__________；（填序号） (2)根据你选择的结论，写出该结论的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【详解】（1）解：选择的结论是①或③， 故答案为：①或③； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴或． 【题型三：全等三角形的性质与ASA（AAS）的综合】 11．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的B处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点M，将一根木棒竖直立在地面上的点M处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 12．如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 14．如图，在中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：是的外角， ， 又， ， 在和中， ， ． 15．如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 【答案】见解析 【详解】（1）证明：如图 是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； ， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 16．如图1，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线上，图2是由图1抽象出的几何图形，过AB两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E． (1)与全等吗？说明你的理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)5 【详解】（1）解：， 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型四：灵活的选择方法证明全等】 17．根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、根据，能够画出唯一确定的，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、不能得到唯一三角形，不符合题意； D、不能得到唯一三角形，不符合题意； 故选A． 18．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.如图和的斜边都是，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； B，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C，画出的三角形大小不确定，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 19．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：． 20．如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】，，（其中一个即可）． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴添加，或其中一个，即可推出， 故答案为：，，（其中一个即可）． 21．下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【答案】② 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； ④，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②， 故答案为：②． 22．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 23．如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 【题型五：全等三角形的旋转模型】 24．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 25．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析（3） 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 26．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型六：全等三角形的垂直模型】 27．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 28．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 29．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1；(2)证明见解析；(3)或6． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【题型七：全等三角形的倍长中线模型】 30．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；②（2）见解析（3） 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， 由外角定理得：， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 31．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 32．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 33．嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图知，，，， ∴， 故答案为：B． 34．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】6或或 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 35．如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP， 在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法． 方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则． 方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线与N，连结，则． (1)请选择你认为正确的方法作出图形，并证明； (2)直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确． 【答案】(1)方法一正确，图形见解析，证明见解析； (2)或 【详解】（1）解：方法一正确， 画图如图所示 证明：由作图可得， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：当或时，两种方法都正确． 理由：当时， ，的长即为点P到的距离， 按照方法2作图，的长即为点P到的距离，， 射线上有且只有一个点N符合，则； 当时，， 此时按照方法2作图，， 射线上有且只有一个点N符合， 则． 36．综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 【答案】（）；（）；（） 【详解】解：（）为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的理由是， 故选：； （）∵， ∴， ∵， ∴， 即； （）延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 37．（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 38．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)见解析 (2)2；；假 【详解】（1）解：作图如下， ； （2）解：观察所作的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：2；；假． 39．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 40．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【详解】解：方案一：如图1所示，   ，，， ， 是对应边，由判定两个小三角形全等， 故方案一：√； 方案二：如图2所示，   ，，， ，所以其对应边应该是和， 而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等， 故方案二：×； 综上所述，方案一：√、方案二：×． 故选：D． 41．阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 【答案】(1)见解析 (2)不能 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等， ∴四边形四边形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 而由，，，不可以根据证明， ∴满足这五个条件不能得到四边形四边形． 42．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析 【详解】解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 43．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）；（3） （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）选第一个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； 选第二个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 44．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案： （本题可能用到的知识：直角三角形中，如果有一个锐角是度，那么度所对直角边等于斜边的一半） (1)先在池塘外的空地上任取一点，连接，，并分别延长至点，点，使，连接，如图1，求证：； (2)请设计与（1）不同方案，测量，画出图形并直接叙述设计方案； (3)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)作图见详解 (3)池塘宽度 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 在池塘外取一点，连接，使得，延长到点使得，，过点作，交延长线于点， 运用角边角可证，则， ∴测得的长即可求解； （3）解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴池塘宽度． 45．【问题提出】 如图1，在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，交射线于点．探索，与之间的数量关系．    【问题思考】 我们先将问题特殊化， （1）如图2，当，重合时，______，______，（用含，的代数式表示），此时，与之间的数量关系是：____________． 【问题解决】 我们再将问题一般化， （2）如图3，当在上，试说明（1）中，与之间的数量关系仍然成立． （3）如图4，当在上，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，（2）见详解（3）。理由见详解 【详解】解：（1）∵长方形的面积等于长×宽列式计算， 得， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）∵在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，当在上， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： 同（2）可知， 则， ∴， ∴． 46．【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 【答案】（1）①见解析；②； （2）①见解析；②见解析； （3），画图见解析 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，延长与的延长线于点E， 由①知，， ∴，； ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）②知，， ∴； ∵， ∴由预备知识得， ∴； （3）解：，画图如下： 如图，过点C作交的延长线于点M，连接；设； ∵， ∴， ∴由预备知识得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴ 即． 试卷第2页，共74页 2 / 62 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