精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高三下学期第六次模拟考试数学试题

数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.时西写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 3. 在△ABC中，点M是BC的中点，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 21 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两队篮球比赛中，甲队每局获胜的概率为，甲队中A队员上场的情况下甲队获胜的概率为，不上场的情况下甲队获胜的概率为，则A队员每局上场的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面统计了某公司近6年经营情况，得出科研经费与产品的收益数据如下： 科研经费x（单位：万元） 2 4 5 7 8 10 产品收益y（单位：万元） 73 m 84 94 101 110 若产品收益y关于科研经费x的经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 产品收益数据的第60百分位数为94 C. 产品收益数据的方差大于其极差 D. 预测科研经费为16万元时，产品收益约为138.57万元 10. 如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（ ） A. 平面DEF B. C. 球O的表面积为 D. 点F到平面DEM的距离为 11. 设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 点为曲线的对称中心 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 的展开式中项的系数为__________.（用数字作答） 13. 已知角，的终边不重合，且，则__________. 14. 已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求A； （2）若，，求的周长. 16. 已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求a的值； （2）证明：不存在极值. 17. 如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，，为等腰直角三角形，斜边，M，Q分别为BC，PB的中点，. （1）证明：平面； （2）求平面PAC与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值. 19. 对于数列，若存在正整数k，，都有，则称数列为“k倍递增数列”. （1）在等比数列中，，，判断数列是否为“3倍递增数列”？并说明理由； （2）若等差数列为“2倍递增数列”，且，求的公差d的取值范围； （3）若数列是一个5项的“1倍递增数列”，且（，2，3，4，5），记X表示的值，求X的分布列与数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.时西写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法、乘方运算化简复数，写出其共轭复数，进而求. 【详解】，则，所以. 故选：A 3. 在△ABC中，点M是BC的中点，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算得，，结合数量积的运算性质求解即可. 【详解】由题意，得，， 由M为BC的中点，得，所以 所以. 故选：A. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减， 所以， ，所以. 故选：D. 5. 甲、乙两队篮球比赛中，甲队每局获胜的概率为，甲队中A队员上场的情况下甲队获胜的概率为，不上场的情况下甲队获胜的概率为，则A队员每局上场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设A队员每局上场的概率为p，则不上场的概率为，由全概率公式可知，解得. 故选：B. 6. 将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】现根据三角函数变换法则求得，结合正弦函数的性质列不等式求解即可. 【详解】由题知，. 当时，， 因为在上恰有2个零点，所以，解得. 故选：C. 7. 已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过作垂直于的准线，垂足为，过作轴，垂足为D.通过，得到，进而求得，即可求解. 【详解】如图， 过作垂直于的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，,所以， 所以. 设，则.所以. 因为轴，所以，过作轴，垂足为. 因为，又， 解得：，， 又， 所以.所以，解得. 故选：B. 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据与0关系分三种情况讨论，其中当时，再根据的最小值与0的关系分和两种情况讨论，当时，把在上恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值，且即可求出m的取值范围. 【详解】函数的定义域为， ①当时，， 当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设，， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以. 综上可知，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面统计了某公司近6年经营情况，得出科研经费与产品的收益数据如下： 科研经费x（单位：万元） 2 4 5 7 8 10 产品收益y（单位：万元） 73 m 84 94 101 110 若产品收益y关于科研经费x的经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 产品收益数据的第60百分位数为94 C. 产品收益数据的方差大于其极差 D. 预测科研经费为16万元时，产品收益约为138.57万元 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出后代入回归方程求出，即可求出判断A；利用百分位数的概念计算判断B；分别计算产品收益数据的方差和极差，比较大小判断C；将代入回归直线方程即可求解判断D. 【详解】因为，所以， 所以，解得，A错误； 产品的收益数据从小到大排列为73，78，84，94，101，110， 因为，所以产品收益数据的第60百分位数为94，B正确； 产品收益数据的方差， 产品收益数据的极差为，C正确； 当时，， 即预测科研经费为16万元时，产品收益约为138.57万元，D正确. 故选：BCD. 10. 如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（ ） A. 平面DEF B. C. 球O的表面积为 D. 点F到平面DEM的距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线性关系可得，结合平行公理、线面平行的判定定理即可判断A；取AB的中点N，由线面垂直判定定理可得平面MNCF，结合线线平行判断与的位置关系即可得判断B；结合正三棱柱的外接球的几何性质列方程求解球得半径，从而得面积即可判断C；结合三棱锥等体积法转化求解点F到平面DEM的距离即可. 【详解】如图， 因为D，E分别为BC，AC的中点，所以， 又，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，A正确； 取AB的中点N，连接MN， 则，连接CN，则， 又，CN，平面MNCF，所以平面MNCF， 因为平面MNCF，所以， 又，所以，B正确； 设，则，，， 因为，所以，即，解得， 所以，易得△ABC外接圆的半径为， 设正三棱柱外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积为，C错误； 因为，，，DE，平面DEF，所以平面DEF， 由上可得，，，，， 所以，， 设点F到平面DEM的距离为h，由，得，所以， 即点F到平面DEM的距离为，D错误. 故选：AB. 11. 设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 点为曲线的对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的概念可判断A；由为奇函数，知，从而结合，可得的值，即可判断B；根据复合函数求导结合函数的对称性即可得判断C；根据函数的奇偶性、对称性可得的周期性，由周期性可得的值，即可判断D. 【详解】A.在中，令，得，所以，故是奇函数，A正确； B.由定义域为，且为奇函数，知， 在中，令，得，B错误； C.因为，所以，故， 又因为，所以，即， 所以点为曲线的对称中心，C正确； D. 因为是奇函数，所以，故，即是偶函数， 由得，，故，即的周期为4， 因为，所以，即， 在中，令，得， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 的展开式中项的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为即可. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以项的系数为， 故答案为： 13. 已知角，的终边不重合，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简，再结合特殊角函数值应用二倍角正弦值计算求解. 【详解】由题知，则， 即，其中，. 因为角，的终边不重合，所以，， 则，， 所以. 故答案为：. 14. 已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及勾股定理可得，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，由，得， 由知P，，Q三点共线. 设，则，所以. 由椭圆的对称性知，， 由椭圆的定义知，. 因为，所以， 整理得，解得或（舍去）， 则，，所以. 在中，， 即， 则，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求A； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角性质有，再整理变形并结合差角余弦公式得，即可得； （2）由正弦边角关系得，结合（1）得，最后应用余弦定理求，即可得. 【小问1详解】 由正弦定理及，得， 又，，所以， 所以. 由，则，所以. 【小问2详解】 由，，得，由正弦定理，得. 由（1）知，，所以， 所以，所以. 由余弦定理，得， 解得或（舍去），故的周长为. 16. 已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求a的值； （2）证明：不存在极值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义由可得，设，求导确定单调性方程的根与的零点即可得a的值； （2）确定函数的定义域，求导函数，令，求导，再令判断函数的单调性，从而推得的单调性即可得结论. 【小问1详解】 ，则， 由题知，，整理得， 令（），则， 令，则， 所以在上单调递增， 又，，所以，使得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 又，所以，所以在上仅有一个零点，又，所以. 【小问2详解】 证明：易知的定义域为，. 令（），则. 令（），则， 所以在区间上单调递增，且， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以在区间上单调递增，故在上不存在极值. 17. 如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，，为等腰直角三角形，斜边，M，Q分别为BC，PB的中点，. （1）证明：平面； （2）求平面PAC与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 取PC的中点E，连接，与PM交于F，连接AF，AM， 则为的中位线，所以F为PM的中点，. 又，所以，则A，D，E，Q四点共面. 因为，M为BC中点，所以，则. 因为为等腰直角三角形，斜边，所以，且， 所以为等边三角形，故， 因为，AF，平面， 所以平面，即平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取PC的中点E，连接，与PM交于F，连接AF，AM，易得，进而证得，根据已知有，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出平面PAC与平面的法向量，向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知，，，，PM，平面PAM，所以平面PAM， 以M为原点，MC，MA所在直线分别为x轴，y轴，过M且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设平面PAC的法向量为， 由，得，取，则. 由（1）知，为平面的一个法向量. 设平面PAC与平面所成二面角为，则， 所以，即平面PAC与平面所成二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）先根据点与渐近线的位置关系确定双曲线的焦点在x轴上，再利用待定系数法求解双曲线的方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，，写出直线PM的方程，令得点A的坐标，写出直线的方程，令即可求出定点；（ⅱ）先说明直线BP也过定点，即，根据题意判断出参数的取值范围，表达出面积，利用换元法求最小值即可. 【小问1详解】 因为点在渐近线上方，所以双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为（，）. 由题知，解得，， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）证明：因为两点P，Q在双曲线C的右支，所以直线与x轴不重合，设直线的方程为，，. 联立方程得， 则， ，， 直线PM的方程为， 令，得点A的坐标为， 所以直线的方程为， 令，得直线与x轴交点的横坐标 . 故直线恒过定点. （ⅱ）由（ⅰ）同理可得，直线BP也过定点， 因为直线与直线BP交于点D，所以. 因为过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点， 所以或或，即. . 令，则，， 因为函数在上单调递增，故， 故的面积的最小值为. 19. 对于数列，若存在正整数k，，都有，则称数列为“k倍递增数列”. （1）在等比数列中，，，判断数列是否为“3倍递增数列”？并说明理由； （2）若等差数列为“2倍递增数列”，且，求的公差d的取值范围； （3）若数列是一个5项的“1倍递增数列”，且（，2，3，4，5），记X表示的值，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出等比数列通项公式，再由“3倍递增数列”定义判断即可. （2）由“2倍递增数列”定义列式，由求出公差范围，再分段判断即可. （3）结合组合计数问题求出数列个数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，由，得，解得，， 数列不是“3倍递增数列”. 由，得，，， 即，不满足定义， 所以数列不是“3倍递增数列”. 【小问2详解】 依题意，，则， 由为“2倍递增数列”，得对于任意的，单调递增， 则，即，解得或， 当时，令，得，， 则当，即时，单调递增， 又，因此对于任意的，单调递增，符合题意； 当时，单调递增，符合题意， 所以数列的公差d的取值范围为. 【小问3详解】 由（），知的最小值为0，最大值为5， 若时，或，则，，，， 所以，或，或，或， 此时满足条件的数列共有个； 若时，则，则或4， ①当时，或，则，，， 所以，或，或， 此时满足条件的数列共有个； ②当时，，则或2， ⅰ°若，则，此时或1.当时，，则，或， 所以或；当时，则或，，所以； ⅱ°若，所以或，则，，即或，， 此时满足条件的数列共有； 由上可知，满足条件的数列共有， X的可能取值为1，9，10， ，，， 所以X的分布列为 X 1 9 10 P 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $