八年级数学期末模拟卷（北京版，测试范围：北京版八年级下册全部）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期期末模拟考试

………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围:北京版八年级下册全部。 5.难度系数:0.8。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 3．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据，这组新数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．小周是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)的每日行走步数(单位：千步)，并绘制成右面的统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．每日行走步数为4～8千步的天数占这个月总天数的10% B．每日行走步数为8～12千步的扇形圆心角是108° C．小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步 D．小周这个月行走的总步数不超过324千步 7．若方程有两个相等的实数根，则m的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 8．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 第II卷 二、填空题：共16分，每小题2分。 9．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 10．写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式 ． 11．如图，在中，，，D为的中点，则 ． 12．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 13．如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    14．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 15．方程的解是 16．已知点与点关于原点对称，则 ． 三、解答题：共68分，17题8分，每小题4分，18-25题每小题5分，26题6分，27、28题每题7分。 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知：如图，点E，F是中边上的点，且，连接．求证：． 19．已知直线经过点． (1)求此直线的解析式； (2)若点在该直线上，到轴的距离为2，求的坐标． 20．在数学课上，老师布置以下思考题： 已知：，点D为的中点． 求作：线段，使．    小智结合所学知识思考后，作法如下： ①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，直线交于点E； ③连接． 所以就是所求作的线段． (1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________． 21．已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 22．如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 23．一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 24．如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 25．为了解学生体育锻炼的情况，从某校八年级学生中随机抽取部分学生，获得了这些学生“每天体育锻炼时长”的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 频数分布表 运动时长 频数 频率 6 0.12 14 0.28 0.36 8 4 0.08 合计 1 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的______，______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校八年级共有500名学生，估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于的学生人数． 26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度(h/cm) 2 4 6 3 根据以上信息，解决下列问题： (1)描出以表中各组已知对应值为坐标的点；    (2)当t= s时，杯中水位最高，是 cm； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为； (4)求停止注水时t的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s． 27．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点． (1)如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________； (2)如图2，，，，若存在点关于线段的90度等腰点，求的取值范围； (3)如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（5 分） 20.（5 分） （1） （2）______________________________ 21.（5 分） 22.（5 分） （2）__________________ 23.（5 分） （1） （2）___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单选题：共 16 分，每小题 2 分. 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8[A] [B] [C] [D] 二、填空题：共 16 分，每小题 2 分. 9．______________10．______________11．______________ 12．______________13．______________14．______________ 15．______________16．______________ 三、解答题：共 58分，17 题 8分，19-25 每题 5分， 26题 6分，27、 28 题 7 分。 17．（1）（4 分） （2）（4 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（5 分） 25.（5 分） （1）a=__________; b=__________; n=__________ （2） （3） 26.（6 分） （1） （2）________;________ （3）________ （4） （5）________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（7 分） 28.（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围:北京版八年级下册全部。 5.难度系数:0.8。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0， 故点所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C 3．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度,旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 5．一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据，这组新数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平均数和方差的计算，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据为，然后利用平均数和方差的计算公式，分别计算化简即可求解． 【详解】解： 一组数据的平均数为，方差为， ，， 将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据为， 这组新数据的平均数为： 方差为： 这组新数据的平均数和方差分别为，． 故选：B． 6．小周是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)的每日行走步数(单位：千步)，并绘制成右面的统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．每日行走步数为4～8千步的天数占这个月总天数的10% B．每日行走步数为8～12千步的扇形圆心角是108° C．小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步 D．小周这个月行走的总步数不超过324千步 【答案】D 【分析】根据频数分布直方图与扇形图信息关联，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 每日行走步数为4～8千步的天数占这个月总天数的10%，故该选项正确，符合题意； B. 每日行走步数为8～12千步的扇形圆心角是108°，故该选项正确，符合题意； C. 小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步，故该选项正确，符合题意； D. 小周这个月行走的总步数约为千步，超过324千步，故该选项不正确，不符合题意； 故选D 7．若方程有两个相等的实数根，则m的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系． 根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故选：C． 8．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断． 【详解】解：如图，过点A作于E； 当E点与B点重合时，，则， 此时面积最大，且为， 当A往右方向移动时，减小，也减小， 而跟着减小， 即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0； 同理，随着x的增大到，面积也增大到4， 前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足； 故选：D． 第II卷 二、填空题：共16分，每小题2分。 9．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为0得，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 10．写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式 ． 【答案】答案不唯一，如 【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数图像的特点是解题关键． 由一次函数图像经过的象限可得，，只需要写出一个符合条件的答案即可． 【详解】解：∵一次函数图像过第二、三、四象限， ∴，， ∴此题答案不唯一，如． 故答案为：答案不唯一，如． 11．如图，在中，，，D为的中点，则 ． 【答案】40 【详解】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得到，再根据，即可得出的度数． 【解答】解：中，，点D是斜边的中点， ， ， 又， ， 故答案为：40． 12．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握这三种性质是关键；由题意得是等腰三角形，则可求得的度数；同理可求得的度数，由即可求解． 【详解】解：正方形中，； 为等边三角形， ， ，， ； 同理，； ； 故答案为：30． 13．如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    14．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是衡量一组数据的波动情况，掌握数据波动程度越大，方差越大成为解题的关键． 根据甲、乙两单位“综合满意度”评分的折线图的波动情况即可判断方差大小． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，即． 故答案为：． 15．方程的解是 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为： 16．已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横坐标与纵坐标分别互为相反数，解二元一次方程组；根据关于原点对称的点的坐标特征求出a与b的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 解得：； 则； 故答案为：8． 三、解答题：共68分，17题8分，每小题4分，18-25题每小题5分，26题6分，27、28题每题7分。 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用公式法解答即可； （2）运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ． ．……………………2分 方程有两个不等的实数根，……………………3分 即．……………………4分 （2）解：， 移项，得， 因式分解，得．……………………6分 于是得，或，……………………7分 ∴……………………8分 18．已知：如图，点E，F是中边上的点，且，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定定理和性质是解题关键． 根据平行四边形的性质证得，根据等式的性质可得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，……………………1分 ， ，即，……………………3分 ∴四边形是平行四边形．……………………4分 ．……………………5分 19．已知直线经过点． (1)求此直线的解析式； (2)若点在该直线上，到轴的距离为2，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将A与B的坐标代入中求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）根据平面直角坐标系内的点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值得出的横坐标为，再将分别代入（1）中所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴ ……………………1分 解得： ……………………2分 ∴此函数解析式；……………………3分 （2）解：∵M到y轴的距离为2 ∴， ……………………4分 当时，； 当时， ∴点的坐标为或……………………5分 20．在数学课上，老师布置以下思考题： 已知：，点D为的中点． 求作：线段，使．    小智结合所学知识思考后，作法如下： ①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，直线交于点E； ③连接． 所以就是所求作的线段． (1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________． 【答案】(1)详见解析 (2)三角形的中位线平行于第三边 【分析】（1）根据小智的作法补全图形补全图形即可； （2）由垂直平分线的概念得到点E是的中点，然后证明出是的中位线，进而证明． 【详解】（1）如图所示，   ……………………2分 （2）由作图可得，垂直平分……………………3分 ∴点E是的中点 ∵点D为的中点 ∴是的中位线……………………4分 ∴ ∴的依据是三角形的中位线平行于第三边．……………………5分 21．已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意得，……………………1分 解得， ∴的取值范围为；……………………2分 （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，，……………………3分 解得，，……………………4分 即方程的另一根是．……………………5分 22．如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形，得出，且，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．……………………1分 ∴，且． ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，……………………2分 ∵，是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形．……………………3分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，……………………4分 由（1）知，四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴菱形的面积，……………………5分 故答案为： 23．一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）根据两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与一次函数图象平行， ∴．……………………1分 ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴；……………………2分 （2）解： 一次函数图象经过点， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值， ∴．……………………5分 24．如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设所截去小正方形的边长为，根据题意得到四个小正方形的面积为原矩形面积的列方程解答即可． 【详解】解：设所截去小正方形的边长为，由题意得 ……………………2分 （舍去），……………………4分 答：所截去小正方形的边长．……………………5分 25．为了解学生体育锻炼的情况，从某校八年级学生中随机抽取部分学生，获得了这些学生“每天体育锻炼时长”的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 频数分布表 运动时长 频数 频率 6 0.12 14 0.28 0.36 8 4 0.08 合计 1 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的______，______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校八年级共有500名学生，估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于的学生人数． 【答案】(1)18，0.16，50 (2)见解析 (3)300名 【分析】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体： （1）根据频数、频率、总数的关系求解； （2）根据a的值补全频数分布直方图； （3）用学校总人数乘以样本中运动时长不低于的学生所占比例，即可得出答案． 【详解】（1）解：运动时长的频数为6，频率为0.12， ， ，， 故答案为：18，0.16，50；……………………3分 （2）解： ……………………4分 （3）解：（名） 答：估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于的学生有300名．……………………5分 26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度(h/cm) 2 4 6 3 根据以上信息，解决下列问题： (1)描出以表中各组已知对应值为坐标的点；    (2)当t= s时，杯中水位最高，是 cm； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为； (4)求停止注水时t的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s． 【答案】(1)见解析 (2)3；6 (3)2 (4)6 (5) 【分析】本题考查表格表示了变量间的关系，在平面直角坐标系中描点，观察表格并从中获取信息是关键． （1）描点即可； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）由表格即知； （5）由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得总时间． 【详解】（1）解：描点如下   ……………………1分 （2）解：由表格知，当时，杯中水位最高，最高水位为； 故答案为：3；6；……………………2分 （3）解：由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升， 即杯中水位上升的速度为； 故答案为：2；……………………3分 （4）解：设从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为， 把代入，即， 解得：，……………………3.5分 ， 由表知，排水的速度为， ∵当时，， 当时，， 可求得，停止注水后，h关于t的函数表达式为， 可得方程组，……………………4分 解得：， 时，停止注水， 停止注水时t的值为6； 故答案为：6；……………………5分 （5）解：由(4)知，停止注水时t的值为6，此时水位的高度为， 所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时； 故答案为：．……………………6分 27．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质得，，根据轴对称得，，，根据三角形的外角性质及角的和差可得根据同角的余角相等等量代换得出，得为等腰直角三角形，得， （3）过点C作交延长线于点H，证，，根据全等三角形的性质可得，，在中，，得结论． 【详解】（1）解：依题意补全图形，如图． ……………………1分 （2）解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ．……………………2分 ， ． ， ． ，即．……………………3分 （3）解：．……………………4分 证明如下： 过点C作交延长线于点H． ……………………5分 ． ， ． ． ， ． ． ．……………………6分 ． 在中，． ．……………………7分 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 28．在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点． (1)如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________； (2)如图2，，，，若存在点关于线段的90度等腰点，求的取值范围； (3)如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2)的取值范围为且 (3)且 【分析】（1）根据，，得线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q，且点B，点C到对称轴的距离为，结合点使得是以为底边的等腰三角形，得到点P在对称轴直线上，当时，得到，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是；当点坐标在下方时，，也符合题意；当点坐标在上方时，，不符合题意；解答即可． （2）设的中点为T，过点D作轴于点M，确定直线为线段OD的垂直平分线，求得其解析式为，确定点，都是等腰点的直角点，列式解答即可． （3）当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G，利用等边三角形的性质，矩形的性质，平移的思想解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴点B，点C到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形， ∴点P在对称轴直线上， ∴点，，都在对称轴直线上， 当时， ∴，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是，符合题意；……………………1分 点在下方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，也符合题意；……………………2分 点在上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，不符合题意； 故答案为：，．……………………2分 （2）解：设的中点为T，过点D作轴于点M， ∵，， ∴，，，， ∴直线为线段OD的垂直平分线， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，……………………3分 ∴点关于线段的90度等腰点在直线上， ∵，，设与x轴的交点为G， ∴，的垂直平分线为直线， ∴点E，点F到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形，且点关于线段的90度等腰点， ∴点关于线段的90度等腰点在对称轴直线上，且当等腰点到x轴的距离为1时，为直角， ∴点，都是等腰点的直角点，……………………4分 ∴或， 解得或， ∴等腰点在点下方，在上方，包括这两点， ∴的取值范围为， ∵时，E，等腰点，F三点共线， ∴，此时不符合题意， ∴的取值范围为且．……………………5分 （3）解：当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G， ∵点，点在轴正半轴上，满足， ∴，，， 过点C作轴于点F， 则， ∴， 又四边形是矩形， ∴， ∵点为轴上的动点，存在点关于线段的60度等腰点， ∴是的一半， ∴， 当向上平移n个单位时，此时； 当向下平移n个单位时，此时； 根据定义得， 当时，T，N，H三点共线，不符合题意， 故， ∴且．……………………7分 22/25 21/25 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单选题：共 16 分，每小题 2 分. 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题：共 16 分，每 小 题2分. 9 ． ______________ 1 0 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 1 4 ． ______________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、 解答题：共 58 分， 17 题8 分， 19 -2 5 每题 5 分， 26 题 6 分， 27 、28 题7分 。 1 7 ． （ 1 ） （ 4 分） （ 2 ） （ 4 分） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 . （ 5 分 ） 22. （ 5 分 ） （ 2 ） __________________ 2 3 . （ 5 分） （1） （2） ________________ ___ ) ( 18 ． （ 5分 ） 19 ．（ 5 分） 2 0 . （ 5 分） （ 1 ） （ 2 ） ______________________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 . （ 5 分） 2 5 .（ 5 分） （ 1 ） a =__________; b =__________ ; n =__________ （ 2 ） （ 3 ） 2 6 .（ 6 分） （ 1 ） （ 2 ） ________ ; ________ （ 3 ） ________ （ 4 ） （ 5 ） ________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 .（ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 8 .（ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围:北京版八年级下册全部。 5.难度系数:0.8。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 3．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据，这组新数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．小周是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)的每日行走步数(单位：千步)，并绘制成右面的统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（   ） A．每日行走步数为4～8千步的天数占这个月总天数的10% B．每日行走步数为8～12千步的扇形圆心角是108° C．小周这个月超过一半的天数每日行走步数不低于12000步 D．小周这个月行走的总步数不超过324千步 7．若方程有两个相等的实数根，则m的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 8．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 第II卷 二、填空题：共16分，每小题2分。 9．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 10．写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式 ． 11．如图，在中，，，D为的中点，则 ． 12．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 13．如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    14．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 15．方程的解是 16．已知点与点关于原点对称，则 ． 三、解答题：共68分，17题8分，每小题4分，18-25题每小题5分，26题6分，27、28题每题7分。 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知：如图，点E，F是中边上的点，且，连接．求证：． 19．已知直线经过点． (1)求此直线的解析式； (2)若点在该直线上，到轴的距离为2，求的坐标． 20．在数学课上，老师布置以下思考题： 已知：，点D为的中点． 求作：线段，使．    小智结合所学知识思考后，作法如下： ①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，直线交于点E； ③连接． 所以就是所求作的线段． (1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________． 21．已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 22．如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 23．一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 24．如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 25．为了解学生体育锻炼的情况，从某校八年级学生中随机抽取部分学生，获得了这些学生“每天体育锻炼时长”的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 频数分布表 运动时长 频数 频率 6 0.12 14 0.28 0.36 8 4 0.08 合计 1 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的______，______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校八年级共有500名学生，估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于的学生人数． 26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度(h/cm) 2 4 6 3 根据以上信息，解决下列问题： (1)描出以表中各组已知对应值为坐标的点；    (2)当t= s时，杯中水位最高，是 cm； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为； (4)求停止注水时t的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s． 27．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点． (1)如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________； (2)如图2，，，，若存在点关于线段的90度等腰点，求的取值范围； (3)如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 2/8 1/8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B D B D C D 二、填空题：共16分，每小题2分。 9． 10．答案不唯一，如 11．40 12．30 13．点 14． 15． 16．8 三、解答题：共68分，17题8分，每小题4分，18-25题每小题5分，26题6分，27、28题每题7分。 17．【详解】（1）解：， ． ．……………………2分 方程有两个不等的实数根，……………………3分 即．……………………4分 （2）解：， 移项，得， 因式分解，得．……………………6分 于是得，或，……………………7分 ∴……………………8分 18．【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，……………………1分 ， ，即，……………………3分 ∴四边形是平行四边形．……………………4分 ．……………………5分 19．【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴ ……………………1分 解得： ……………………2分 ∴此函数解析式；……………………3分 （2）解：∵M到y轴的距离为2 ∴， ……………………4分 当时，； 当时， ∴点的坐标为或……………………5分 20．【详解】（1）如图所示，   ……………………2分 （2）由作图可得，垂直平分……………………3分 ∴点E是的中点 ∵点D为的中点 ∴是的中位线……………………4分 ∴ ∴的依据是三角形的中位线平行于第三边．……………………5分 21．【详解】（1）解：根据题意得，……………………1分 解得， ∴的取值范围为；……………………2分 （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，，……………………3分 解得，，……………………4分 即方程的另一根是．……………………5分 22．【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．……………………1分 ∴，且． ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，……………………2分 ∵，是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形．……………………3分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，……………………4分 由（1）知，四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴菱形的面积，……………………5分 故答案为： 23．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与一次函数图象平行， ∴．……………………1分 ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴；……………………2分 （2）解： 一次函数图象经过点， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值， ∴．……………………5分 24．【详解】解：设所截去小正方形的边长为，由题意得 ……………………2分 （舍去），……………………4分 答：所截去小正方形的边长．……………………5分 25．【详解】（1）解：运动时长的频数为6，频率为0.12， ， ，， 故答案为：18，0.16，50；……………………3分 （2）解： ……………………4分 （3）解：（名） 答：估计该校八年级学生每天体育运动时长不低于的学生有300名．……………………5分 26．【详解】（1）解：描点如下   ……………………1分 （2）解：由表格知，当时，杯中水位最高，最高水位为； 故答案为：3；6；……………………2分 （3）解：由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升， 即杯中水位上升的速度为； 故答案为：2；……………………3分 （4）解：设从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为， 把代入，即， 解得：，……………………3.5分 ， 由表知，排水的速度为， ∵当时，， 当时，， 可求得，停止注水后，h关于t的函数表达式为， 可得方程组，……………………4分 解得：， 时，停止注水， 停止注水时t的值为6；……………………5分 故答案为：6； （5）解：由(4)知，停止注水时t的值为6，此时水位的高度为， 所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时； 故答案为：．……………………6分 27．【详解】（1）解：依题意补全图形，如图． ……………………1分 （2）解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ．……………………2分 ， ． ， ． ，即．……………………3分 （3）解：．……………………4分 证明如下： 过点C作交延长线于点H． ……………………5分 ． ， ． ． ， ． ． ．……………………6分 ． 在中，． ．……………………7分 28．【详解】（1）解：∵，， ∴线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴点B，点C到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形， ∴点P在对称轴直线上， ∴点，，都在对称轴直线上， 当时， ∴，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是，符合题意；……………………1分 点在下方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，也符合题意；……………………2分 点在上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，不符合题意； 故答案为：，．……………………2分 （2）解：设的中点为T，过点D作轴于点M， ∵，， ∴，，，， ∴直线为线段OD的垂直平分线， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，……………………3分 ∴点关于线段的90度等腰点在直线上， ∵，，设与x轴的交点为G， ∴，的垂直平分线为直线， ∴点E，点F到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形，且点关于线段的90度等腰点， ∴点关于线段的90度等腰点在对称轴直线上，且当等腰点到x轴的距离为1时，为直角， ∴点，都是等腰点的直角点，……………………4分 ∴或， 解得或， ∴等腰点在点下方，在上方，包括这两点， ∴的取值范围为， ∵时，E，等腰点，F三点共线， ∴，此时不符合题意， ∴的取值范围为且．……………………5分 （3）解：当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G， ∵点，点在轴正半轴上，满足， ∴，，， 过点C作轴于点F， 则， ∴， 又四边形是矩形， ∴， ∵点为轴上的动点，存在点关于线段的60度等腰点， ∴是的一半， ∴， 当向上平移n个单位时，此时； 当向下平移n个单位时，此时； 根据定义得， 当时，T，N，H三点共线，不符合题意， 故， ∴且．……………………7分 2/10 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $$