第26题 综合与实践探究题专练-【一战成名新中考·5行卷】2025陕西中考数学·抢分必刷小卷

参考答案及重难题解析·陕西数学 题 型 专 练 得 ｙ＝２１ １６ ， ∵１．２＜２１ １６ ，即水柱不能喷射到护栏上，∴符合要求； （２）如解图，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ＡＥ于点 Ｇ， ∵ＢＥ ＡＥ ＝１ ２ ＝ＦＧ ＡＧ ，设 ＡＧ＝ｂ，则 ＦＧ＝０．５ｂ， ∴点 Ｆ的坐标为（０．５ｂ＋３．５，－ｂ）， 将（０．５ｂ＋３．５，－ｂ）代入 ｙ＝－３ ４ （ｘ－２）２＋３， 得（０．５ｂ＋１．５）２＋３＝－ｂ，解得 ｂ１ ＝－３（不合题意，舍去）， ｂ２＝ ７ ３ ． 答：当水面距离人行道的竖直距离为 ７ ３ ｍ时，水柱恰好落在 河水中． 第 ４题解图 　 第 ５题解图 ５．解：（１）（０，５）； （２）由题意知，顶点 Ｅ为（２，９）， 设抛物线（ＢＥＦ）的表达式为 ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋９， 把 Ｂ（０，５）代入 ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋９得，５＝ａ×（０－２）２＋９， 解得 ａ＝－１， ∴抛物线（ＢＥＦ）的表达式为 ｙ＝－（ｘ－２）２ ＋９＝－ｘ２ ＋４ｘ ＋５； （３）如解图，设抛物线（ＢＥＦ）上一点 Ｐ，作 ＰＱ∥ｙ轴，交抛物 线（ＤＣ）于 Ｑ， 设 Ｐ（ｍ，－ｍ２＋４ｍ＋５），则 Ｑ（ｍ，１ ５ ｍ２－１２ ５ ｍ＋３６ ５ ）， ∴ＰＱ＝－ｍ２＋４ｍ＋５－１ ５ ｍ２＋１２ ５ ｍ－３６ ５ ＝－６ ５ ｍ２ ＋３２ ５ ｍ－ １１ ５ ＝－６ ５ （ｍ－８ ３ ） ２＋１９ ３ ， ∵ －６ ５ ＜０，∴当 ｍ＝８ ３ 时，ＰＱ最大，最大值为１９ ３ ， ∵１９ ３ ＞６，∴该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分． ６．（１）解：由题意知，抛物线顶点坐标为（２０，６８），且过点（０，４）， 设抛物线的解析式为 ｙ＝ａ（ｘ－２０）２＋６８，代入（０，４），得４＝ ａ（０－２０）２＋６８，解得 ａ＝－４ ２５ ， ∴抛物线的解析式为 ｙ＝－４ ２５ （ｘ－２０）２＋６８； （２）经过平移后抛物线的解析式为 ｙ′＝－４ ２５ （ｘ－２０－１０）２＋６８＋１５， 即 ｙ′＝－４ ２５ （ｘ－３０）２＋８３， 当 ｘ＝３５时，ｙ′＝－４ ２５ ×２５＋８３＝７９， ∵７６＜７９＜８０，∴此时水能射进着火窗户 ＣＥ内． ７．解：（１）４； （２）过点 Ｄ作 ＤＧ⊥ＥＣ于点 Ｇ，如解图①， ∵∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，ＤＧ⊥ＥＣ，∴四边形 ＡＢＧＤ为矩形， ∴ＤＧ＝ＡＢ＝８，ＢＧ＝ＡＤ＝１０，∴ＥＧ＝ＢＧ－ＢＥ＝１０－６＝４． ∵ＦＥ⊥ＥＤ，∴∠ＦＥＢ＋∠ＤＥＧ＝９０°， ∵∠Ｂ＝９０°，∴∠ＢＦＥ＋∠ＢＥＦ＝９０°，∴∠ＢＦＥ＝∠ＤＥＧ． ∵∠Ｂ＝∠ＥＧＤ＝９０°，∴△ＦＥＢ∽△ＥＤＧ， ∴ＢＥ ＧＤ ＝ＢＦ ＧＥ ，∴ ６ ８ ＝ＢＦ ４ ，∴ＢＦ＝３． ∴Ｓ四边形ＡＤＥＦ＝Ｓ矩形ＡＢＧＤ －Ｓ△ＢＦＥ －Ｓ△ＤＥＧ ＝ＡＢ·ＡＤ－ １ ２ ＢＦ·ＢＥ －１ ２ ＥＧ·ＤＧ＝１０×８－１ ２ ×６×３－１ ２ ×４×８＝５５； 图① 　　 图② 第 ７题解图 （３）过点 Ｃ作 ＥＦ∥ＡＢ，过点 Ｂ作 ＢＦ⊥ＥＦ于点 Ｆ，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＥＦ于点 Ｅ，延长 ＥＤ交 ＢＡ的延长线于点 Ｇ，如解图②， 则四边形 ＥＧＢＦ为矩形， ∴∠ＥＧＡ＝∠ＦＢＧ＝９０°，ＢＦ＝ＥＧ，ＥＦ＝ＢＧ． ∵点 Ｃ到 ＡＢ的距离为 １０，∴ＥＧ＝ＢＦ＝１０． ∵∠Ｅ＝∠Ｆ＝９０°，∠ＢＣＤ＝９０°，易得△ＤＥＣ∽△ＣＦＢ， ∴ＤＥ ＣＦ ＝ＥＣ ＦＢ ＝ＤＣ ＣＢ ， ∵ＢＣ＝２ＣＤ，∴ＤＥ ＣＦ ＝ＣＥ ＢＦ ＝１ ２ ，∴ＥＣ＝１ ２ ＢＦ＝５． 设 ＤＥ＝ｘ，则 ＣＦ＝２ｘ， ∴ＢＧ＝ＥＦ＝５＋２ｘ，ＤＧ＝ＥＧ－ＤＥ＝１０－ｘ， ∴ＡＧ＝ＢＧ－ＡＢ＝５＋２ｘ－８＝２ｘ－３． ∴Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ矩形ＢＧＥＦ－Ｓ△ＡＧＤ －Ｓ△ＤＥＣ －Ｓ△ＣＦＢ ＝１０（２ｘ＋５）－ １ ２ ×（２ｘ－３）（１０－ｘ）－１ ２ ×５ｘ－１ ２ ×１０×２ｘ＝ｘ２ －４ｘ＋ ６５＝（ｘ－２）２＋６１， ∴当 ｘ＝２时，四边形 ＡＢＣＤ面积最小，最小值为 ６１． ８．解：（１）设 ｙ与 ｘ之间的函数关系式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 将点（６０，１００），（７０，８０）代入得 １００＝６０ｋ＋ｂ， ８０＝７０ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝－２，ｂ＝２２０{ ， ∴函数表达式为 ｙ＝－２ｘ＋２２０； （２）设商店每天获得的利润为 ｗ元，由题意得： ｗ＝（ｘ－５０）（－２ｘ＋２２０）＝－２（ｘ－８０）２＋１８００， ∵ －２＜０，函数有最大值， ∴当 ｘ＝８０时，ｗ有最大值，此时最大值是 １８００， 故销售单价定为 ８０元时，该商店每天获得的利润最大，最大 利润为 １８００元． ９．解：（１）ｙ＝３００－１５（ｘ－１０）＝－１５ｘ＋４５０（ｘ＞１０）， （２）ｗ＝（ｘ－８）ｙ＝（ｘ－８）（－１５ｘ＋４５０）＝－１５ｘ２ ＋５７０ｘ－ ３６００＝－１５（ｘ－１９）２＋１８１５， ∵ －１５＜０， ∴当 ｘ＝１９时，ｗ有最大值，最大值为 １８１５元， 答：当售价为 １９元时，日销售利润最大，为 １８１５元． 第２６题　综合与实践探究题专练 １．解：（１）如解图①，当 Ｐ点在如图所示的位置时，ＰＡ＋ＰＢ的 值最小； 图① 　　 图② 第 １                                                                            题解图 ３２ 参考答案及重难题解析·陕西数学 题 型 专 练 （２）槡５； （３）如解图②，分别作点 Ｐ关于 ＯＡ，ＯＢ的对称点 Ｍ，Ｎ，连接 ＯＭ，ＯＮ，ＭＮ，ＭＮ分别交 ＯＡ，ＯＢ于点 Ｑ，Ｒ，连接 ＰＲ，ＰＱ，ＰＮ， ＰＭ，此时△ＰＱＲ的周长最小，最小值等于 ＭＮ． 由轴对称性质可得，ＯＭ＝ＯＮ＝ＯＰ＝１０，∠ＭＯＡ＝∠ＰＯＡ， ∠ＮＯＢ＝∠ＰＯＢ，∴∠ＭＯＮ＝２∠ＡＯＢ＝２×４５°＝９０°， 在 Ｒｔ△ＭＯＮ中，ＭＮ＝ 　 ＯＭ２＋ＯＮ槡 ２ ＝ 　 １０２＋１０槡 ２ ＝１０ 　 槡２， 即△ＰＱＲ周长的最小值等于 １０ 　 槡２米． ２．解：（１）如解图①，作点 Ｅ关于 ＡＣ的对称点 Ｇ，连接 ＣＧ、ＦＧ， ＤＧ，ＤＧ交 ＡＣ于点 Ｍ，连接 ＥＭ，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＢＣ于点 Ｈ． 由点Ｄ是ＡＢ的中点，ＤＨ⊥ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，得点Ｈ是ＢＣ的中点， ∴ＢＨ＝ＣＨ＝５，ＤＨ＝１ ２ ＡＣ＝６， ∵点 Ｇ与点 Ｅ关于 ＡＣ对称，∴ＥＦ＝ＧＦ，ＣＧ＝ＣＥ， 则 ＤＦ＋ＥＦ＝ＤＦ＋ＦＧ， 由图可知 ＤＦ＋ＦＧ≥ＤＧ， ∴当点 Ｄ、Ｆ、Ｇ三点共线时，ＤＦ＋ＦＧ最小，ＤＦ＋ＦＧ＝ＤＧ，此 时点 Ｆ与点 Ｍ重合． ∵ＢＣ＝１０，ＢＥ＝７， ∴ＣＧ＝ＣＥ＝３，则 ＧＨ＝ＣＨ＋ＣＧ＝５＋３＝８， 在 Ｒｔ△ＤＨＧ中，ＤＧ＝ ＤＨ２＋ＧＨ槡 ２ ＝１０， ∴ＤＦ＋ＥＦ的最小值为 １０； 图① 　 图② 第 ２题解图 （２）如解图②，连接 ＧＨ，过点 Ｆ作直线 ｌ∥ＢＣ，易得点 Ｆ在直 线 ｌ上移动，作点 Ｈ关于直线 ｌ的对称点 Ｐ，连接 ＰＨ、ＰＦ、ＰＧ， ＰＨ交 ＢＣ于点 Ｉ，交直线 ｌ于点 Ｋ，ＰＧ交直线 ｌ于点 Ｍ，连 接 ＨＭ． ∴ＦＨ＋ＦＧ＝ＦＰ＋ＦＧ≥ＰＧ， ∴当点 Ｐ、Ｆ、Ｇ三点共线时，即点 Ｆ移动到点 Ｍ处时，ＦＰ＋ ＦＧ最小，最小为 ＭＨ＋ＭＧ＝ＰＧ， ∵ＡＢ＝１００ｍ，ＡＨ＝４０ｍ，ＡＧ 槡＝４０３ｍ，∠Ａ＝９０°， ∴ＢＨ＝６０ｍ，ｔａｎ∠ＡＨＧ＝ＡＧＡＨ 槡 ＝３， ∴∠ＡＨＧ＝６０°，∠ＡＧＨ＝３０°，∴ＨＧ＝２ＡＨ＝８０ｍ， ∵∠Ｂ＝６０°，点 Ｐ与点 Ｈ关于直线 ｌ对称，∴ＰＨ⊥ｌ， ∴ＨＰ⊥ＢＣ，则 ＨＩ＝ＢＨ·ｓｉｎＢ 槡＝３０３ｍ，∠ＢＨＩ＝３０°， ∴∠ＰＨＧ＝９０°， 由 ＥＦ⊥ＢＣ，ＨＰ⊥ＢＣ，直线 ｌ∥ＢＣ，易得四边形 ＦＯＩＫ是矩形， 则 ＩＫ＝ＯＦ 槡＝１０３ｍ， ∴ＨＫ＝ＰＫ＝ＨＩ＋ＩＫ 槡＝４０３ｍ，∴ＨＰ 槡＝８０３ｍ， ∴ＰＧ＝ ＨＰ２＋ＨＧ槡 ２ ＝１６０（ｍ）， ∴ＦＨ＋ＦＧ的最小值为 １６０ｍ． ３．解：（１）画图略；３０°； （２）如解图①，延长 ＡＰ到点 Ｑ，使 ＰＱ＝ＰＢ，连接 ＢＱ，作 △ＡＢＱ的外接圆⊙Ｏ，连接 ＯＡ，ＯＢ， ∵ＡＢ＝４，∠ＡＰＢ＝６０°，易得∠ＡＱＢ＝３０°， ∴点 Ｑ在 ＡＢ所对的优弧上运动，过点 Ａ作直径 ＡＣ，连接 ＣＢ，则∠ＡＯＢ＝２∠ＡＱＢ＝６０°， ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴△ＯＡＢ是等边三角形， ∴ＡＯ＝ＡＢ＝４，∴ＡＣ＝８， ∵ＡＱ≤ＡＣ，ＡＱ＝ＡＰ＋ＰＱ＝ＡＰ＋ＰＢ， ∴当点 Ｑ运动到点 Ｃ时，ＰＡ＋ＰＢ取得最大值为 ＡＣ， ∴△ＡＢＰ的周长最大值为 １２； 图① 　　　　 图② 第 ３题解图 （３）∵ＦＥ⊥ＤＥ，∴∠ＦＥＢ＋∠ＤＥＣ＝９０°， 又∵∠ＦＧＥ＋∠ＦＥＢ＝９０°，∴∠ＦＧＥ＝∠ＤＥＣ， ∴ｓｉｎ∠ＦＧＥ＝ｓｉｎ∠ＤＥＣ＝４５ ， 在 Ｒｔ△ＤＥＣ中，ｓｉｎ∠ＤＥＣ＝ＤＣＤＥ ＝４ ５ ， ∵ＢＣ＝ＡＤ＝７００米，ＡＢ＝ＤＣ＝４００米， ∴ＤＥ＝５００米， ∴ＥＣ＝ ＤＥ２－ＤＣ槡 ２ ＝ ５００２－４００槡 ２ ＝３００（米）， ∵∠Ｂ＝９０°，∴∠ＢＦＥ＋∠ＦＥＢ＝９０°， ∵∠ＦＧＥ＋∠ＦＥＢ＝９０°，∴∠ＢＦＥ＝∠ＦＧＥ， 在 Ｒｔ△ＦＥＢ中，ｓｉｎ∠ＢＦＥ＝ＢＥＥＦ ＝４ ５ ，ＢＥ＝ＢＣ－ＥＣ＝４００（米）， ∴ＥＦ＝５００米， 如解图②，延长 ＦＧ到点 Ｐ，使 ＧＰ＝ＧＥ，连接 ＰＥ，同（２）作 △ＦＰＥ的外接圆⊙Ｏ，连接 ＯＦ，ＯＥ，∠ＦＯＥ＝２∠Ｐ＝∠ＦＧＥ， 过点 Ｆ作 ＦＨ⊥ＯＥ， 在 Ｒｔ△ＦＯＨ中，ｓｉｎ∠ＦＯＨ＝ＦＨＦＯ ＝４ ５ ， 设 ＯＦ＝５ｘ，ＦＨ＝４ｘ，则 ＯＨ＝３ｘ，ＨＥ＝２ｘ， ∵ＦＨ２＋ＥＨ２＝ＥＦ２，∴（４ｘ）２＋（２ｘ）２＝５００２， ∴ｘ 槡＝５０５（负值已舍去），∴ＯＦ 槡＝２５０５， 由（２）同理可得 ＦＧ＋ＧＥ的最大值为 槡５００５， ∴观光走廊 ＥＧ＋ＥＦ＋ＦＧ的长度之和最大值为（ 槡５００ ５＋ ５００）米． ４．解：（１）平行四边形； （２）如解图①，延长 ＢＡ到 Ｅ，使得 ＡＥ＝ＡＤ，连接 ＤＥ，则 △ＡＤＥ为等边三角形． ∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＥＤ＝６０°， 设 Ｂ，Ｄ，Ｅ三点共圆 Ｏ′，连接 ＢＯ′并延长交⊙Ｏ′于点 Ｅ′，连接 ＤＯ′，ＤＥ′，∠ＤＥ′Ｂ＝∠ＢＥＤ＝６０°，∠ＢＯ′Ｄ＝１２０°， ∵ＢＤ＝１２，∴ＢＯ′＝４ 　 槡３， ∴ＡＢ＋ＡＤ＝ＡＢ＋ＡＥ＝ＢＥ≤ＢＥ′， ∵ＢＥ′＝２ＢＯ′＝８ 　 槡３， ∴四边形 ＡＢＣＤ周长的最大值为 １６ 　 槡３； 图① 　　　 图② 第 ４题解图 （３）如解图②中，延长 ＣＭ到点 Ｄ，使得 ＭＤ＝ＣＭ＝１００米，                                                                            连 ４２ 参考答案及重难题解析·陕西数学 题 型 专 练 接 ＤＡ，ＤＢ，则四边形 ＡＤＢＣ是平行四边形． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＤＣ， ∵∠ＡＣＢ＝１３５°，∴∠ＣＡＤ＝４５°， 设 Ａ，Ｃ，Ｄ三点共圆 Ｏ，连接 ＣＯ，ＤＯ． ∵∠ＣＡＤ＝４５°，∴∠ＣＯＤ＝９０°， ∵ＣＤ＝２００米，∴ＣＯ＝ＯＤ＝１００ 　 槡２（米）， 连接 ＯＭ，则 ＯＭ⊥ＣＤ，延长 ＭＯ交⊙Ｏ于点 Ａ′，当 Ａ′与点 Ａ 重合时，△ＡＣＤ的面积最大， 此时 Ａ′Ｍ＝ＯＭ＋Ａ′Ｏ＝（１００＋１００ 　 槡２）米， ∴△ＡＣＤ的面积的最大值 ＝１２ ×２００×（１００＋１００ 　 槡２）＝ （１００００＋１００００ 　 槡２）（平方米）， ∴摄像头能观测区域△ＡＢＣ的最大面积为（１００００＋１００００ 　 槡２） 平方米． ５．解：（１）１６； （２）△ＡＥＦ是等腰直角三角形，理由如下：过点 Ｅ作 ＡＤ的平 行线分别交 ＡＢ、ＣＤ于点 Ｍ、Ｎ，如解图①， ∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，ＢＤ是对角线， ∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ＝４５°， ∵ＭＮ∥ＡＤ，∴ＭＮ∥ＢＣ，且 ＭＮ＝ＡＤ＝ＢＣ， ∴∠ＢＭＥ＝∠ＤＮＥ＝９０°， ∴△ＢＭＥ和△ＤＮＥ都是等腰直角三角形，∴ＥＮ＝ＡＭ， ∵ＡＥ⊥ＥＦ，∴∠ＡＥＦ＝９０°＝∠ＡＭＥ＝∠ＥＮＦ， ∴∠ＡＥＭ＝∠ＥＦＮ＝９０°－∠ＦＥＮ， ∴△ＡＥＭ≌△ＥＦＮ（ＡＡＳ），∴ＡＥ＝ＥＦ， 又∵∠ＡＥＦ＝９０°， ∴△ＡＥＦ是等腰直角三角形； 图① 　　　 图② 第 ５题解图 （３）①如解图②，过点 Ｅ作 ＥＨ⊥ＢＣ于点 Ｈ，ＥＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ， ＥＮ⊥ＣＤ于点 Ｎ， 则 Ｍ、Ｅ、Ｎ三点共线，四边形 ＢＨＥＭ和四边形 ＣＨＥＮ都是矩形， ∵在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６０米，∠ＡＤＢ＝３０°， ∴ＭＮ＝ＢＣ 槡＝６０３米，ＣＤ＝６０米，∠ＢＥＭ＝∠ＥＢＣ＝３０°， ∵在 Ｒｔ△ＢＥＭ中，∠ＢＥＭ＝３０°，ＢＥ＝ｘ， ∴ＢＭ＝１ ２ ｘ，ＥＭ＝槡３ ２ ｘ，ＡＭ＝６０－１ ２ ｘ，ＥＮ 槡＝６０３－槡 ３ ２ ｘ， ∵∠ＡＭＥ＝∠ＡＥＦ＝∠ＥＮＦ＝９０°， ∴∠ＡＥＭ＝∠ＥＦＮ＝９０°－∠ＦＥＮ，∴△ＡＭＥ∽△ＥＮＦ， ∴ＡＭ ＥＮ ＝ＭＥ ＮＦ ，即 ＡＭ·ＮＦ＝ＭＥ·ＥＮ， ∴（６０－１ ２ ｘ）·ＮＦ＝槡３ ２ ｘ×（ 槡６０３－槡 ３ ２ ｘ）＝３ ２ ｘ·（６０－１ ２ ｘ）， ∵在 ＯＤ上取一点 Ｅ（不与端点重合），∴ＢＥ≠１２０， ∴６０－１ ２ ｘ≠０，∴ＮＦ＝３２ ｘ， ∴ＣＦ＝ＣＮ＋ＮＦ＝１ ２ ｘ＋３ ２ ｘ＝２ｘ， ∴Ｓ△ＣＥＦ＝ １ ２ ＣＦ·ＥＮ＝１ ２ ·２ｘ·（ 槡６０３－槡 ３ ２ ｘ）＝－槡３ ２ ｘ２ ＋ 槡６０３ｘ， 即 ｙ与 ｘ之间的函数关系式为 ｙ＝－槡３ ２ ｘ２ 槡＋６０３ｘ； ②当 ｘ＝６０时，ｙ有最大值，最大值为 ｙ＝－槡３２ ×６０２ ＋ 槡 槡６０３×６０＝１８００３， ∴当 ＢＥ＝６０米时，室内健身中心（△ＣＥＦ）的面积最大，最大 面积为 槡１８００３平方米． ６．解：（１）∵ＡＰ平分△ＡＢＣ的面积， ∴Ｓ△ＡＢＰ＝Ｓ△ＡＣＰ，∴ＢＰ＝ＣＰ＝ １ ２ ＢＣ＝３， ∴ＡＰ＝ ＡＢ２＋ＢＰ槡 ２ 槡＝３２； （２）如解图①，作 ＰＥ⊥ＡＢ，ＣＦ⊥ＡＢ，垂足分别为点 Ｅ、点 Ｆ， ∵ＡＢ＝ＢＣ＝５，ＡＤ＝２，∴ＢＤ＝３， ∴Ｓ△ＢＰＤ＝ １ ２ ＢＤ·ＰＥ＝３ ２ ＰＥ，Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＣＦ＝５ ２ ＣＦ， ∵ＤＰ平分△ＡＢＣ的面积， 第 ６题解图① ∴ Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＢＰＤ，即 ５ ２ ＣＦ ＝３ＰＥ， ∴ＰＥ ＣＦ ＝５ ６ ， ∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∠ＢＥＰ＝∠ＢＦＣ， ∴△ＢＰＥ∽△ＢＣＦ， ∴ＢＰ ＢＣ ＝ＰＥ ＣＦ ＝５ ６ ， ∵ＢＣ＝５，∴ＢＰ＝２５ ６ ； （３）存在点 Ｐ使 ＢＰ恰好平分四边形 ＡＢＣＤ的面积，此时 ＣＰ ＝１４０ｍ，ＢＭ＝ 槡２８０ ７３ ７３ ｍ． 如解图②，过点 Ｄ作 ＤＧ⊥ＢＣ，垂足为点 Ｇ，过点 Ａ作 ＡＮ⊥ ＤＧ，垂足为点 Ｎ，则四边形 ＡＢＧＮ为矩形，过 Ｐ作 ＰＨ⊥ＢＣ，垂 足为点 Ｈ． ∵∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝１２０°，∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠Ｃ＝３０°， ∵∠ＢＡＮ＝９０°，∴∠ＤＡＮ＝３０°， ∵ＡＤ＝８０ｍ， ∴ＤＮ＝１ ２ ＡＤ＝４０ｍ，ＡＮ＝ ＡＤ２－ＤＮ槡 ２ 槡＝４０３ｍ， ∵ＡＢ＝ＧＮ＝８０ｍ，∴ＧＤ＝ＤＮ＋ＧＮ＝１２０ｍ， ∵∠Ｃ＝３０°，∴ＣＤ＝２４０ｍ，ＣＧ 槡＝１２０３ｍ， ∴ＢＣ＝ＢＧ＋ＣＧ 槡＝１６０３ｍ， ∴Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＡＤＮ ＋Ｓ△ＣＤＧ ＋Ｓ矩形ＡＢＧＮ 槡 槡＝８００ ３＋７２００ ３＋ 槡 槡３２００３＝１１２００３（ｍ ２ ）， 第 ６题解图② ∵ＢＰ平分四边形 ＡＢＣＤ的面积， ∴Ｓ△ＢＣＰ＝ １ ２ Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝ １ ２ ＢＣ·ＰＨ 槡＝５６００３（ｍ ２ ）， ∴ＰＨ＝７０ｍ，∴ＣＰ＝１４０＜２４０，即点 Ｐ在线段 ＣＤ上， ∴存在点 Ｐ使 ＢＰ恰好平分四边形 ＡＢＣＤ的面积． ∵ＰＨ＝７０ｍ，ＣＰ＝１４０ｍ， ∴ＣＨ 槡＝７０３ｍ，∴ＢＨ＝ＢＣ－ＣＨ 槡＝９０３ｍ， ∴ＢＰ＝ ＰＨ２＋ＢＨ槡 ２ 槡＝２０ ７３ｍ， ∵△ＥＢＦ与△ＥＭＦ关于 ＥＦ对称，且点 Ｍ在 ＢＰ上， ∴ＥＦ垂直平分 ＢＭ                                                                            ， ５２ 参考答案及重难题解析·陕西数学 题 型 专 练 设 ＥＦ与 ＢＭ交于点 Ｏ， ∵∠ＰＢＨ＋∠ＥＢＭ＝９０°，∠ＢＥＯ＋∠ＥＢＭ＝９０°， ∴∠ＰＢＨ＝∠ＢＥＯ，∴ｓｉｎ∠ＰＢＨ＝ｓｉｎ∠ＢＥＯ，即ＰＨＢＰ ＝ＢＯ ＢＥ ， ∵Ｅ是 ＡＢ中点，∴ＢＥ＝１ ２ ＡＢ＝４０ｍ， ∴ ７０ 槡２０ ７３ ＝ＢＯ ４０ ，解得 ＢＯ＝ 槡１４０ ７３ ７３ ｍ， ∴ＢＭ＝２ＢＯ＝ 槡２８０ ７３ ７３ ｍ． 综上：存在点 Ｐ使 ＢＰ恰好平分四边形 ＡＢＣＤ的面积，此时 ＣＰ＝１４０ｍ，ＢＭ＝ 槡２８０ ７３ ７３ ｍ． ７．解：（１）ＣＤ＝ＢＣ； （２）ＢＧ∥ＤＦ， 理由：∵∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＋∠Ａ＋∠Ｃ＝３６０°，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°． ∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＤＦ平分∠ＡＤＣ， ∴∠ＣＢＧ＝１２∠ ＡＢＣ，∠ＦＤＣ＝１２∠ ＡＤＣ， ∴∠ＣＢＧ＋∠ＦＤＣ＝１２ （∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ）＝９０°． ∵∠ＣＦＤ＋∠ＣＤＦ＝９０°， ∴∠ＣＢＧ＝∠ＣＦＤ， ∴ＢＧ∥ＤＦ； （３）设计的四边形 ＤＰＯＨ符合要求． 理由：由 ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝槡３２ ，∠ＡＢＣ＝２∠ＢＡＤ知，∠ＢＡＤ是锐角， 且∠ＢＡＤ＝６０°， ∴∠ＡＢＣ＝２∠ＢＡＤ＝１２０°，∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∵∠ＢＣＤ＝１００°，∴∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＣＤ＝８０°． 由步骤①②可得，ＡＨ平分∠ＢＡＤ． ∴∠ＢＡＨ＝∠ＤＡＨ＝３０°． ∴∠ＯＨＤ＝１８０°－∠ＤＡＨ－∠ＡＤＣ＝７０°． 由步骤③④可得 ＢＰ⊥ＡＨ， ∴∠ＡＯＰ＝９０°． ∴∠ＯＰＤ＝∠ＯＡＰ＋∠ＡＯＰ＝３０°＋９０°＝１２０°，即∠ＯＰＤ＝∠ＡＢＣ． ∵∠ＡＰＢ＝１８０°－∠ＯＰＤ＝６０°，∠ＢＡＰ＝６０°， ∴△ＡＢＰ为等边三角形，∴ＢＰ＝ＡＰ， ∴ＤＰ＝ＡＤ－ＡＰ＝ＡＤ－ＢＰ． ∴设计的四边形 ＤＰＯＨ符合要求． ８．解：（１）在直线 ＯＢ上取任意一点 Ｐ１（不和 Ｐ重合），连接 ＤＰ１ 交⊙Ｏ于 Ｅ，连接 ＣＰ１和 ＣＥ，如解图①： ∠ＣＰＤ与∠ＣＰ１Ｄ的关系是：∠ＣＰＤ＞∠ＣＰ１Ｄ，证明如下： ∵ ) ＣＤ＝ ) ＣＤ，∴∠ＣＰＤ＝∠ＣＥＤ， 而∠ＣＥＤ＞∠ＣＰ１Ｄ，∴∠ＣＰＤ＞∠ＣＰ１Ｄ； 第 ８题解图① 　 第 ８题解图② （２）如解图②： 由（１）知，作线段 ＡＥ的垂直平分线，垂足为 Ｇ，在线段 ＡＥ的 垂直平分线上取点 Ｏ，以 Ｏ为圆心，ＯＡ为半径作⊙Ｏ，当⊙Ｏ 与线段 ＢＣ相切于 Ｍ′时，若 Ｍ与 Ｍ′重合，此时∠ＡＭＥ最大， ∵ＢＣ是⊙Ｏ的切线，∴ＯＭ′⊥ＢＣ， ∵ＯＧ⊥ＡＥ，∴∠ＢＧＯ＝∠Ｂ＝∠ＯＭ′Ｂ＝９０°， ∴四边形 ＯＧＢＭ′是矩形，∴ＢＭ′＝ＯＧ，ＯＭ′＝ＢＧ， ∵ＡＢ＝８，ＡＥ＝６，∴ＢＥ＝２， ∵ＯＧ⊥ＡＥ，ＯＡ＝ＯＥ，∴ＥＧ＝ＡＧ＝１２ ＡＥ＝３， ∴ＯＭ′＝ＯＥ＝ＢＧ＝ＥＧ＋ＢＥ＝５， ∴ＯＧ＝ ＯＥ２－ＥＧ槡 ２ ＝４，∴ＢＭ′＝ＯＧ＝４， 故当∠ＡＭＥ最大时，ＢＭ的长为 ４； （３）存在，如解图③： 当过 Ｂ、Ｃ的⊙Ｏ与 ＡＤ相切于 Ｍ时，连接 ＢＭ、ＣＭ，此时 ∠ＢＭＣ最大， 连接 ＯＢ、ＯＣ，分别延长 ＡＢ、ＤＣ交于点 Ｆ，则△ＡＤＦ是等边三 角形， ∴∠ＢＦＣ＝６０°，ＡＦ＝ＤＦ＝ＡＤ 槡＝８３， ∵ＢＦ＝ＡＦ－ＡＢ 槡＝４３， ∴在 Ｒｔ△ＢＣＦ中，ＣＦ 槡＝２３，ＢＣ＝６， 过 Ｏ作 ＯＧ⊥ＢＣ于点 Ｇ，交 ＡＦ于点 Ｋ，交 ＡＤ于点 Ｊ，则ＢＧ＝ １ ２ ＢＣ＝３， ∵ＫＪ⊥ＢＣ，∴∠ＢＧＪ＝９０°＝∠ＢＣＤ，∴ＫＪ∥ＤＦ， ∴ＢＫ＝ＦＫ＝１ ２ ＢＦ 槡＝２３，ＫＧ＝ １ ２ ＣＦ 槡＝３， ∴ＡＫ＝ＡＢ＋ＢＫ 槡＝６３， 第 ８题解图③ ∵ＫＪ∥ＤＦ， ∴ＫＪ ＤＦ ＝ＡＫ ＡＦ ，即 ＫＪ 槡８３ ＝ 槡６３ 槡８３ ， ∴ＫＪ 槡＝６３， 设 ＯＢ＝ｒ， ∵ＫＪ∥ＤＦ， ∴∠ＭＪＯ＝∠Ｄ＝６０°， ∴ＯＪ＝ ＯＭ ｓｉｎ６０° ＝２ｒ 槡３ ， ∴ＯＧ＝ＫＪ－ＫＧ－ＯＪ 槡 槡＝６３－３－ ２ｒ 槡３ 槡＝５３－ ２ｒ 槡３ ， 在 Ｒｔ△ＯＧＢ中，ＯＧ２＝ＯＢ２－ＢＧ２＝ｒ２－９， ∴ｒ２－９＝（槡５３－ ２ｒ 槡３ ） ２ ， 整理得 ｒ２－６０ｒ＋２５２＝０， 解得 ｒ 槡＝３０－１８２或 槡３０＋１８２（舍去）， ∴ＯＭ 槡＝３０－１８２，∴ＪＭ＝槡 ３ ３ ＯＭ 槡 槡＝１０３－６６， 由等边三角形的对称性可得 ＤＪ＝ＫＦ 槡＝２３， ∴ＤＭ＝ＪＭ＋ＤＪ 槡 槡 槡 槡 槡＝１０３－６６＋２３＝１２３－６６， 故在线段 ＡＤ上存在 Ｍ，使∠ＢＭＣ最大，符合条件的 ＤＭ的长 为 槡 槡１２３－６６                                                                            ． ６２ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 第２６题　综合与实践探究题专练 类型 １　线段问题（２０２３．２６；２０１８、２０１７．２５） １．在学习对称的知识点时，我们认识了如图所示的“将军饮马”模型求最短距离． 问题提出： （１）如图①所示，已知 Ａ，Ｂ是直线 ｌ同旁的两个定点．请在直线 ｌ上作出一点 Ｐ，使得 ＰＡ＋ＰＢ 的值最小； 问题探究： （２）如图②所示，正方形 ＡＢＣＤ的边长为２，Ｅ为 ＡＢ的中点，Ｐ是 ＡＣ上一动点．连接 ＥＰ和 ＢＰ， 则 ＰＢ＋ＰＥ的最小值是　 　 槡５　； 问题解决： （３）某地有一如图③所示的三角形空地 ＡＯＢ，已知∠ＡＯＢ＝４５°，Ｐ是△ＡＯＢ内一点，连接 ＰＯ后 测得 ＰＯ＝１０米，现当地政府欲在三角形空地 ＡＯＢ中修一个三角形花坛 ＰＱＲ，规定如下：①点 Ｑ，Ｒ分别在 ＯＡ，ＯＢ边上（不与各边顶点重合）；②△ＰＱＲ的周长最小．请你通过计算，判断是否 存在这样的花坛△ＰＱＲ？ 若存在，求出它的周长最小值，若不存在，请说明理由． 图① 　　　 图② 　　　 图③ 第１题图 １５ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 ２．【问题提出】 （１）如图①，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝１０，点 Ｄ是 ＡＢ的中点，点 Ｅ在 ＢＣ上， 且 ＢＥ＝７，点 Ｆ是 ＡＣ边上的一个动点，连接 ＤＦ、ＥＦ，求 ＤＦ＋ＥＦ的最小值； 【问题解决】 （２）如图②，四边形 ＡＢＣＤ是某市的一块绿地公园，已知该绿地公园的两个入口 Ｇ、Ｈ分别在 ＡＤ、ＡＢ边上，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝１００ｍ，ＡＨ＝４０ｍ，ＡＧ 槡＝４０３ｍ，ＧＤ＞ＡＨ，现计划 在边 ＢＣ上修建一个半径为 槡１０３ｍ的圆形休闲娱乐广场（即⊙Ｏ的圆心在 ＢＣ上，且⊙Ｏ的半 径为 槡１０３ｍ），再沿直径ＥＦ设置一排休息长椅（宽度忽略不计，且ＥＦ⊥ＢＣ），在Ｆ处设置自助 饮水设备，需要沿 ＦＨ和 ＦＧ铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度 ＦＨ ＋ＦＧ要最小，请你求出 ＦＨ＋ＦＧ的最小值． 图① 　　　　　 图② 第２题图 ２５ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 ３．问题提出 （１）如图①，△ＡＢＣ是等边三角形，请你延长 ＡＣ到点 Ｑ，使 ＣＱ＝ＡＢ，连接 ＢＱ，则∠ＡＱＢ的度数 为　３０°　； 问题探究 （２）如图②，已知线段 ＡＢ＝４，点 Ｐ是平面内一动点，且∠ＡＰＢ＝６０°，求△ＡＢＰ周长的最大值； 问题解决 （３）如图③，某市为了丰富市民的休闲娱乐生活，在一个长７００米，宽４００米的矩形 ＡＢＣＤ空地 上，修建一处休闲景区，Ｅ处是游客服务中心，ＦＥ⊥ＤＥ，为避免节假日高峰拥堵，在景区预留了 一个应急入口 Ｇ，并将 ＥＧ，ＥＦ，ＦＧ设计成三条观光走廊，点 Ｆ在边 ＡＢ上作为一条观光走廊的 入口，根据设计要求，需满足∠ＦＧＥ＋∠ＦＥＢ＝９０°，ｓｉｎ∠ＦＧＥ＝４５ ，为了增加观赏乐趣，需使得 三条走廊的长度之和最大，求 ＥＧ＋ＥＦ＋ＦＧ的最大值． 图① 　　　　 图② 　　　　 图③ 第３题图 ３５ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 类型 ２　面积问题（２０２４、２０２１．２６；２０２０、２０１９．２５） ４．【问题提出】 （１）如图①，在△ＡＢＤ中，点 Ｏ为边 ＢＤ的中点，画出△ＡＢＤ关于点 Ｏ的对称图形（点 Ａ的对应 点记为 Ｃ），此时四边形 ＡＢＣＤ的形状为　平行四边形　； 【问题探究】 （２）在（１）的条件下，若∠ＢＡＤ＝１２０°，ＢＤ＝１２，求四边形 ＡＢＣＤ周长的最大值； 【问题解决】 （３）如图②，某风景区有一段笔直的河流 ＡＢ，有一处自然喷泉（点 Ｍ）在这条河流上，风景区在 现有资金条件下准备修建一条长 １００米的直通道路 ＭＣ，在道路的尽头 Ｃ处安装一个张角为 １３５°的高清摄像头以观测游客的活动，要求喷泉 Ｍ恰好在摄像头观测到河流的边界点 Ａ、Ｂ的 正中间，求摄像头能观测区域△ＡＢＣ的最大面积． 图① 　　　 图② 第４题图 ４５ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 ５．问题提出 （１）如图①，在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＣＤＥ中，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，边 ＢＣ与 ＣＤ在同一条直线上，ＡＣ⊥ＣＥ 于点 Ｃ，若 ＡＢ＝９，ＢＣ＝ＣＤ＝１２，则 ＤＥ的长为　１６　； 问题探究 （２）如图②，点 Ｏ为正方形 ＡＢＣＤ的对角线 ＢＤ的中点，点 Ｅ为 ＯＤ上一点，连接 ＡＥ，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＡＥ交 ＣＤ的延长线于点 Ｆ，连接 ＡＦ，试判断△ＡＥＦ是否为等腰直角三角形，并说明理由； 问题解决 （３）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一个室内 健身中心．如图③，矩形 ＡＢＣＤ是该居民小区的一块空地，点 Ｏ为矩形空地的对称中心，ＢＤ为 该矩形空地的对角线，经测量，ＡＢ＝６０米，∠ＡＤＢ＝３０°，房地产商计划在 ＯＤ上取一点 Ｅ（不与 端点重合），ＣＤ的延长线上取一点 Ｆ，将△ＣＥＦ区域修建为室内健身中心，根据规划要求，ＡＥ ⊥ＥＦ，设 ＢＥ的长为 ｘ米，室内健身中心（△ＣＥＦ）的面积为 ｙ平方米． ①求 ｙ与 ｘ之间的函数关系式； ②当 ＢＥ的长度为多少米时，室内健身中心（△ＣＥＦ）的面积最大，求出最大面积． 图① 　　　　 图② 　　　　 图③ 第５题图 ５５ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 ６．问题提出 （１）如图①，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝６，∠Ｂ＝９０°，ＢＣ上有一点 Ｐ，ＡＰ平分△ＡＢＣ的面积，求 ＡＰ的长； 问题探究 （２）如图②，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝５，点 Ｄ是 ＡＢ上一点，ＡＤ＝２．ＢＣ上有一点 Ｐ，ＤＰ平分 △ＡＢＣ的面积，求 ＢＰ的长； 问题解决 （３）如图③，某公园计划建一个形状为四边形 ＡＢＣＤ的游乐场，其中 ＡＢ＝ＡＤ＝８０ｍ，∠Ａ＝∠Ｄ ＝１２０°，∠Ｂ＝９０°，Ｅ为 ＡＢ中点，Ｆ为 ＢＣ上一点，△ＥＢＦ与△ＥＭＦ为游乐场纪念品购物区，且 关于街区 ＥＦ对称．为方便工作人员管理购物区与整个游乐场，沿 ＢＭ方向修一条快速通道交 ＣＤ于点 Ｐ，问是否存在点 Ｐ使 ＢＰ恰好平分四边形 ＡＢＣＤ的面积？若存在，请通过计算确定 Ｍ 与 Ｐ的位置；若不存在，请说明理由． 图① 　　 图② 　　　　 图③ 第６题图 ６５ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 类型 ３　角度问题（２０２２．２６） ７．问题提出 （１）如图①，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝６０°，点 Ｄ为 ＡＢ上一点，连接 ＣＤ，若∠ＡＤＣ＝１２０°，则 ＣＤ与 ＢＣ 的数量关系是　ＣＤ＝ＢＣ　； 问题探究 （２）如图②，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交 ＡＤ于点 Ｅ，交 ＣＤ的延长线 于点 Ｇ，ＤＦ平分∠ＡＤＣ，交 ＢＣ于点 Ｆ，试判断 ＢＧ与 ＤＦ的位置关系，并说明理由； 问题解决 （３）如图③，某中学有一块形如四边形 ＡＢＣＤ的绿地，经测量，∠ＢＣＤ＝１００°，∠ＡＢＣ＝２∠ＢＡＤ， 且 ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝槡３２ ，为了更好地落实“双减”政策，丰富孩子们的课余生活，学校计划将这块绿地 改造成多功能区域，现要求在边 ＡＤ、ＣＤ上分别取点 Ｐ、Ｈ，连接 ＢＰ、ＡＨ，ＢＰ与 ＡＨ交于点 Ｏ，将 四边形 ＤＰＯＨ区域设计成手工制作区，绿地的剩余部分设计成健身区．根据设计要求，∠ＯＰＤ ＝∠ＡＢＣ，∠ＯＨＤ＝７０°，且 ＤＰ＝ＡＤ－ＢＰ．设计师的设计过程如下： ①以点 Ａ为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ＡＢ、ＡＤ于点 Ｅ、Ｆ； ②分别以 Ｅ、Ｆ为圆心，大于１２ ＥＦ长为半径画弧，两弧交于点 Ｇ，连接 ＡＧ并延长交 ＣＤ于点 Ｈ； ③以点 Ｂ为圆心，大于点 Ｂ到 ＡＨ的距离为半径画弧，交 ＡＨ于 Ｍ、Ｎ两点； ④分别以 Ｍ、Ｎ为圆心，大于１２ ＭＮ长为半径画弧，两弧交于点 Ｋ，连接 ＢＫ并延长，分别交 ＡＨ、 ＡＤ于点 Ｏ、Ｐ，得到四边形 ＤＰＯＨ． 请问，若按上述作法，设计的四边形 ＤＰＯＨ是否符合要求？并说明理由． 图① 　　　　 图② 　　　　 图③ 第７题图 ７５ 抢分必刷小卷·陕西数学 题 型 专 练 ８．问题探究 （１）如图①，Ｃ，Ｄ是∠ＡＯＢ的边 ＯＡ上两点，直线 ＯＢ与⊙Ｉ相切于点 Ｐ，点 Ｐ１是直线 ＯＢ上异 于点 Ｐ的任意一点，请在图①中画出∠ＣＰ１Ｄ，试判断∠ＣＰＤ与∠ＣＰ１Ｄ的大小关系，并证明； （２）如图②，已知矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｍ在边 ＢＣ上，点 Ｅ在边 ＡＢ上，ＡＢ＝８，ＡＥ＝６，当∠ＡＭＥ最 大时，请求出此时 ＢＭ的长； 问题解决 （３）如图③，四边形 ＡＢＣＤ是某车间的平面示意图，ＡＢ 槡＝４３米，ＡＤ 槡＝８３米，∠Ａ＝∠Ｄ＝６０°， ∠ＢＣＤ＝９０°，工作人员想在线段 ＡＤ上选一点 Ｍ安装监控装置，用来监视边 ＢＣ，现只要使得 ∠ＢＭＣ最大，就可以让监控装置的效果达到最佳．问在线段 ＡＤ上是否存在点 Ｍ，使∠ＢＭＣ最 大？若存在，请求出 ＤＭ的长；若不存在，请说明理由． 图① 　　　 图② 　　　　 图③ 第８题图 ８５