专题02～04 计数原理与概率统计-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（青海专用）

专题03 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率 题型02复数的四则运算 题型03离散型随机变量的定义 题型04离散型随机变量的均值与方差 题型05两点分布 题型06二项分布 题型07超几何分布 题型08正态分布 题型09概率中的最值 条件概率题型01 1. （23-24高二下·西宁市·期末）长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，可知， 利用条件概率的计算公式，可得，故选B. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知，则（ ） A. A与相互独立 B. 与相互对立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件、对立事件的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，即，A与相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，，则，即与不互斥，不对立，B错误； 对于CD，，C正确，D错误. 故选：AC 3. （23-24高二下·海南州·期末）从有3个红球和4个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．求第2次摸到红球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式与条件概率公式计算． 【详解】解：用表示第一次摸到红球，表示第二次摸到红球，表示第一次摸到黑球，表示第二次摸到黑球． 则． 4. （23-24高二下·西宁市·期末）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001) 【答案】0.087 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果． 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为 所以． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键． 全概率公式题型02 5. （23-24高二下·西宁市·期末）两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 5.5% B. 5.6% C. 5.7% D. 5.8% 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算即得. 【详解】用事件，分别表示取到的产品来自第一批、第二批，B表示取到次品， 依题意，，，，， 所以由全概率公式得． 故选：C 6. （23-24高二下·西宁市·期末）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球､5个白球，乙箱中有8个红球､2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子中随机摸出1个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可得解. 【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 因此从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 因此从乙箱中摸到红球的概率为， 所以摸到红球的概率为. 故选：A 7. （23-24高二下·西宁市·期末）将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先计算存在某两列使得这两列各自的两个数之和同时为最小的概率，然后利用对称性和全概率公式即可. 【详解】设事件表示“存在某两列，使得这两列各自的两个数之和相等且同时为最小”，表示“第一列的数字之和最小”. 若事件发生，由于所有数字之和不是的倍数，所以三列的各自两个数之和不可能都相等. 这就意味着当事件发生时，存在且仅存在两列各自两个数之和相等且同为最小，故根据对称性有. 列举即知，这两列各自的两个数只可能是和，和，和三种可能. 所以. 若事件不发生，则两数之和最小的一列是唯一的，故根据对称性有. 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，假设事件，利用条件概率公式与全概率公式分析计算得解. 离散型随机变量的定义题型03 8.（23-24高二下·海南州·期末）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 随机变量的分布列、均值与方差题型04 9. （23-24高二下·西宁市·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （ ） A. 5 B. 6 C. 9.8 D. 10.8 【答案】D 【解析】 【分析】先求的值，再求的期望与方差. 【详解】∵，∴， ∴， ∴ 故选：D 10. （23-24高二下·海南州·期末）若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 11. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）设离散型随机变量分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解. 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 12. （23-24高二下·海南州·期末）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表： 一次购物款（单位：元） 顾客人数 20 a 50 60 （1）求a的值； （2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望． 【答案】（1）30 （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）由顾客总人数可得值； （2）由题意1人购物获得纪念品的频率即为概率．而，由二项分布概率公式求得概率的分布列，由期望公式计算期望． 【小问1详解】 由题意有，解得，故a的值为30． 【小问2详解】 由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率， 故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配， 则，， ，， ，． 则的分布列为： 0 1 2 3 4 5 P 的数学期望为． 13. （23-24高二下·西宁市·期末）在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为. （1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率； （2）求的分布列及数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望14.5. 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的加法公式计算即得. （2）求出的可能值及各个值相应的概率值，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 记该学生前3道题答对道事件，前3题中至少答对2道题为事件， 则， ，， 所以. 【小问2详解】 依题意，的取值可能为， ，， ， ，. 所以的分布列为： 0 5 10 15 20 数学期望. 两点分布题型05 14. （23-24高二下·海南州·期末）已知随机变量X服从两点分布，，则______，______. 【答案】 ①. 0.66 ②. 0.34 【解析】 【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论. 【详解】由两点分布可知， . 故答案为：0.66;0.34. 15. （23-24高二下·西宁市·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴ 故答案为： 二项分布题型06 16. （23-24高二下·西宁市·期末）已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 超几何分布题型07 17. （23-24高二下·海南州·期末）一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 18.（23-24高二下·西宁市·期末） (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据超几何分布的定义可以得出答案. 【详解】解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 故选：ABD 19. （23-24高二下·西宁市·期末）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式直接计算. 【详解】从12名候选人中选4名同学组成学生会，有种选法； 选出的4人中有2名人来自甲班，有种选法. 所以甲班恰有2名同学被选到的概率为. 故答案为：. 正态分布题型08 20. （23-24高二下·西宁市·期末）某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ） （参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） A. 17 B. 23 C. 90 D. 159 【答案】D 【解析】 【分析】先求用电量在210度以上的概率，再求用电量在210度以上的居民户数. 详解】由题得，， 所以， 所以， 所以用电量在210度以上的居民户数为． 【点睛】（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法；（2）对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解. 21. （23-24高二下·海南州·期末）（多选）某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N（2，4），则下列结论正确的是（ ） A. 该正态分布的均值为2 B. 该正态分布的标准差为4 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的性质逐个分析判断即可 【详解】因为X~N（2，4）， 所以正态分布的均值为2，标准差为2，所以A正确，B错误， 因为正态分布的均值为2， 所以由正态曲线性质可得，，所以CD正确， 故选：ACD 22. （23-24高二下·西宁市·期末）已知某地生产的白砂糖是按袋装销售的，每袋白砂糖的质量（单位：）服从正态分布，且. （1）求，； （2）若甲从该地生产的白砂糖中随机购买袋，如果每袋质量都小于，那么甲得积分，如果有袋质量小于，那么甲得积分，如果至少有袋质量不小于，那么甲扣积分，记甲获得积分，求的数学期望. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布曲线的性质可直接求解. （2）先求的分布列，再求的数学期望. 【小问1详解】 因服从正态分布，且，， 所以， 所以. 【小问2详解】 甲从该地生产的白砂糖中随机购买袋，设质量小于的袋数为， 依题意可得， 的可能取值为，，， ， ， ， 所以. 概率中的最值问题题型09 23. （23-24高二下·西宁市·期末）某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为p. (1)求p(用m表示)； (2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p和m的值； (3)在(2)的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数. 【答案】(1)；(2)p，m的值分别为0.75，0.5；(3)48. 【解析】 【分析】(1)求出每位学生射击两次都不过关的概率，再利用对立事件的概率公式求解； (2)列出恰有9人通过射击过关测试的概率f(p)的表达式，利用导数求解而得； (3)列出一个大学生射击过关测试所得分数为随机变量X的分布列，再求出期望得解. 【详解】(1)每位大学生射击测试过关的概率： P＝1-(1-m)(1-0.5)＝0.5+0.5m. (2)f(p)=，(0<p<1)， ∴ ＝，(0<p<1)， 由=0，得p=0.75， 由>0，得0<p<0.75， 由<0，得0.75<p<1， ∴f(p)在(0，0.75)上是增函数，在(0.75，1)上是减函数， ∴p=0.75是f(p)的极大值点，也是f(p)的最大值点， 此时，由0.5+0.5m=0.75，解得m=0.5. ∴f(p)取得最大值时，p，m的值分别为0.75，0.5. (3)设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量X， 则X的可能取值分别为5，4，2， 则P(X=5)=0.5， P(X=4)=(1-0.5)0.5=0.25， P(X=2)=(1-0.5)(1-0.5)=0.25， ∴一位大学生射击过关测试所得分数的平均数： E(X)=50.5+40.25+20.25=4， ∴该班组通过射击过关测试所得总分的平均数为：124=48. 【点睛】某事件包含的情况较多，可以借助对立事件求出其概率，即“正难则反”. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 成对数据的统计分析 题型概览 题型01一元线性回归方程 题型02独立性检验 一元线性回归方程题型01 1. （23-24高二下·西宁市·期末）已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 2. （23-24高二下·西宁市·期末）根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，则下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数，则两个变量负相关 B. 相关系数的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 决定系数越小，残差平方越小，模型的拟合效果越好 4. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（ ） A. 变量x与y具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 去除后y的估计值增加速度变快 D. 去除后相应于样本点的残差为0.05 独立性检验题型02 5. （23-24高二下·西宁市·期末）某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 合计 600 400 1000 （1）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中．任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 6. （23-24高二下·西宁市·期末）某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中750人经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250人不经常参加体育锻炼（称为B类同学）.现用按比例分配的分层抽样方法（按A类､B类分两层）从该年级的学生中共抽查100人，如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的100人，得到以下列联表（单位：人）： 身高达标 身高不达标 总计 经常参加体育锻炼 40 不经常参加体育锻炼 15 总计 100 （1）完成上表； （2）依据的独立性检验，能否认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？ 注：. 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 7.（23-24高二下·西宁市·期末） 随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中. （1）若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元； （2）现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？ 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 外地游客 100 合计 300 1000 参考数据：若随机变量，则； 参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 排列组合 题型概览 题型01分类加法计数原理 题型02分步乘法计数原理 题型03排列数与组合数的计算 题型04排队问题 题型05二项式中的特定项 分类加法计数原理题型01 1. （23-24高二下·西宁市·期末）在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 分步乘法计数原理题型02 2. （23-24高二下·海南州·期末）从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，若从甲地到达丙地必须经过乙地，则从甲地到丙地的不同走法的种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 排列数与组合数的计算题型03 3. （23-24高二下·海南州·期末）（多选）若，则m的值可以是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 排队问题题型04 4. （23-24高二下·西宁市·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（ ） A. B. C. D. 5. （23-24高二下·海南州·期末）小王､小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（ ） A. B. C. D. 6. （23-24高二下·西宁市·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 7. （23-24高二下·西宁市·期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为 A. B. C. D. 8. （23-24高二下·海南州·期末）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 二项式中的特定项题型05 9. （23-24高二下·西宁市·期末）在的展开式中，的系数为________. 10. （23-24高二下·海南州·期末）的展开式中的系数为______. 11. （23-24高二下·西宁市·期末）的二项展开式中的系数是______.（用数字作答） 12. （23-24高二下·西宁市·期末）在二项展开式中，常数项是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 13. （23-24高二下·海南州·期末）已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 成对数据的统计分析 题型概览 题型01一元线性回归方程 题型02独立性检验 一元线性回归方程题型01 1. （23-24高二下·西宁市·期末）已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知样本中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入即可. 【详解】，， 所以，即， 令，解得 故选：A. 2. （23-24高二下·西宁市·期末）根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由回归方程比过样本中心点即可列方程求解. 【详解】由已知，得，，又经过点，所以，解得． 故选：B． 3. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，则下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数，则两个变量负相关 B. 相关系数的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 决定系数越小，残差平方越小，模型的拟合效果越好 【答案】AC 【解析】 【分析】相关系数的符号反映相关关系的正负性，的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱， 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好. 【详解】对于A，因为的符号反映相关关系的正负性，故A正确； 对于B，根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误； 对于C，决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误. 故选：AC. 4. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（ ） A. 变量x与y具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 去除后y的估计值增加速度变快 D. 去除后相应于样本点的残差为0.05 【答案】AB 【解析】 【分析】 A. 根据回归直线方程的x系数的正负判断.B. 根据去除前后样本点不变判断.C. 根据去除前后x的系数大小判断.D.根据残差的计算公式判断. 【详解】因为回归直线方程为，， 所以变量x与y具有正相关关系.故A正确. 当时，， 样本点为，去掉两个数据点和后，样本点还是， 又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2， 所以， 解得， 所以去除后的回归方程为，故B正确. 因为，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误. 因为， 所以，故D错误. 故选：AB 【点睛】本题主要考查回归分析的理解，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 独立性检验题型02 5. （23-24高二下·西宁市·期末）某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 合计 600 400 1000 （1）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中．任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）通过列联表中得数据计算出值，然后对照表格数据作答； （2）得出分层抽样比，求出应抽出的优秀和不优秀的人数，再利用古典概型求解， 【小问1详解】 解：零假设为数学成绩与语文成绩无关联． 根据列联表中的数据， 计算得到． 根据的独立性检验，我们推断不成立，即数学成绩与语文成绩有关联． 【小问2详解】 解：由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为， 不优秀的学生人数为， 则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为． 6. （23-24高二下·西宁市·期末）某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中750人经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250人不经常参加体育锻炼（称为B类同学）.现用按比例分配的分层抽样方法（按A类､B类分两层）从该年级的学生中共抽查100人，如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的100人，得到以下列联表（单位：人）： 身高达标 身高不达标 总计 经常参加体育锻炼 40 不经常参加体育锻炼 15 总计 100 （1）完成上表； （2）依据的独立性检验，能否认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？ 注：. 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析； （2）无关联. 【解析】 【分析】（1）根据题目含义填写表格即可， （2）利用列联表结合卡方计算求解即可. 【小问1详解】 填写列联表（单位：人）如下： 身高达标 身高不达标 总计 经常参加体育锻炼 40 35 75 不经常参加体育锻炼 10 15 25 总计 50 50 100 【小问2详解】 零假设为：经常参加体育锻炼与身高达标无关联. 由列联表中的数据， . 根据的独立性检验，没有充分证据证明不成立，即认为经常参加体育锻炼与身高达标无关联. 7.（23-24高二下·西宁市·期末） 随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中. （1）若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元； （2）现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？ 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 外地游客 100 合计 300 1000 参考数据：若随机变量，则； 参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）79.325万 （2）表格见解析，能认 【解析】 【分析】（1）计算出旅游费用支出不低于1500元的概率可得答案； （2）计算出，根据小概率值的独立性检验课做出判断. 【小问1详解】 因为， 所以旅游费用支出不低于1500元的概率为， 所以， 估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1500元； 【小问2详解】 假设：“客户星级”与“客户来源”独立，没有关联， 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 200 400 600 外地游客 100 300 400 合计 300 700 1000 ， 根据小概率值的独立性检验，不成立， 即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 排列组合 题型概览 题型01分类加法计数原理 题型02分步乘法计数原理 题型03排列数与组合数的计算 题型04排队问题 题型05二项式中的特定项 分类加法计数原理题型01 1. （23-24高二下·西宁市·期末）在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】分A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒ 【详解】不同的选择种数为. 故选：B. 分步乘法计数原理题型02 2. （23-24高二下·海南州·期末）从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，若从甲地到达丙地必须经过乙地，则从甲地到丙地的不同走法的种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由分步计数原理可知，从甲地到丙地的不同的走法种数为. 故选：B 排列数与组合数的计算题型03 3. （23-24高二下·海南州·期末）（多选）若，则m的值可以是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】∵， ∴或， ∴m＝4或3． 故选：AB 排队问题题型04 4. （23-24高二下·西宁市·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用捆绑法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法数，除以10的全排列数可得． 【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为. 故选：B． 5. （23-24高二下·海南州·期末）小王､小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分小王在正中间和不在正中间两种情况讨论，求出小王不在两端，且小李不在正中间位置的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】第一种情况：小王在正中间，排法数为； 第二种情况：小王不在正中间，先排小王有种排法，再排小李有种排法，剩下的同学有种排法． 记“小王不在两端，且小李不在正中间位置”事件，则． 故选：A． 6. （23-24高二下·西宁市·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】C 【解析】 【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 故选：C. 7. （23-24高二下·西宁市·期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算. 8. （23-24高二下·海南州·期末）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【答案】（1）1440 （2）144 （3）2520 【解析】 【分析】（1）特殊位置特殊考虑，先取两位男生放置在两端，另5位全排列，列出等式，计算即可； （2）不相邻问题插空，先将另3名女生全排列，空出4个位置，让男生插空站入， 列出等式，计算即可； （3）排序问题，先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列，后将甲乙站入， 列出等式，计算即可. 【小问1详解】 解：先选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法， 所以两端是男生的不同站法有（种）； 【小问2详解】 先排3名女生有种方法，再将4名男生插入4个空隙中有种方法， 所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）； 【小问3详解】 先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列共有：种方法， 再将甲乙按照甲在乙右边的顺序，放置另两个位置中共1种， 所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）． 二项式中的特定项题型05 9. （23-24高二下·西宁市·期末）在的展开式中，的系数为________. 【答案】60 【解析】 【分析】求出给定二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数. 【详解】的展开式通项为， 由，得，所以的系数为. 故答案为：60 10. （23-24高二下·海南州·期末）的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】展开，再求出展开式中的系数，即可得答案. 【详解】， 因为展开式通项为， 所以展开式中的系数分别为， 故的展开式中的系数为. 故答案为： 11. （23-24高二下·西宁市·期末）的二项展开式中的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】运用二项式的通项公式直接进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，所以的系数是， 故答案为： 12. （23-24高二下·西宁市·期末）在二项展开式中，常数项是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项求解即可. 【详解】展开式的通项公式是， 当时，，，故C正确. 故选：C. 13. （23-24高二下·海南州·期末）已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1）126 （2） 【解析】 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【小问1详解】 解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； 【小问2详解】 由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率 题型02复数的四则运算 题型03离散型随机变量的定义 题型04离散型随机变量的均值与方差 题型05两点分布 题型06二项分布 题型07超几何分布 题型08正态分布 题型09概率中的最值 条件概率题型01 1. （23-24高二下·西宁市·期末）长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么 A. B. C. D. 2. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知，则（ ） A. A与相互独立 B. 与相互对立 C. D. 3. （23-24高二下·海南州·期末）从有3个红球和4个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．求第2次摸到红球的概率． 4. （23-24高二下·西宁市·期末）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001) 全概率公式题型02 5. （23-24高二下·西宁市·期末）两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 5.5% B. 5.6% C. 5.7% D. 5.8% 6. （23-24高二下·西宁市·期末）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球､5个白球，乙箱中有8个红球､2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子中随机摸出1个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. （23-24高二下·西宁市·期末）将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________. 离散型随机变量的定义题型03 8.（23-24高二下·海南州·期末）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 随机变量的分布列、均值与方差题型04 9. （23-24高二下·西宁市·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （ ） A. 5 B. 6 C. 9.8 D. 10.8 10. （23-24高二下·海南州·期末）若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 11. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）设离散型随机变量分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 12. （23-24高二下·海南州·期末）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表： 一次购物款（单位：元） 顾客人数 20 a 50 60 （1）求a的值； （2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望． 13. （23-24高二下·西宁市·期末）在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为. （1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率； （2）求的分布列及数学期望. 两点分布题型05 14. （23-24高二下·海南州·期末）已知随机变量X服从两点分布，，则______，______. 15. （23-24高二下·西宁市·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 二项分布题型06 16. （23-24高二下·西宁市·期末）已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 超几何分布题型07 17. （23-24高二下·海南州·期末）一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 18.（23-24高二下·西宁市·期末） (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 19. （23-24高二下·西宁市·期末）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为______. 正态分布题型08 20. （23-24高二下·西宁市·期末）某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ） （参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） A. 17 B. 23 C. 90 D. 159 21. （23-24高二下·海南州·期末）（多选）某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N（2，4），则下列结论正确的是（ ） A. 该正态分布的均值为2 B. 该正态分布的标准差为4 C. D. 22. （23-24高二下·西宁市·期末）已知某地生产的白砂糖是按袋装销售的，每袋白砂糖的质量（单位：）服从正态分布，且. （1）求，； （2）若甲从该地生产的白砂糖中随机购买袋，如果每袋质量都小于，那么甲得积分，如果有袋质量小于，那么甲得积分，如果至少有袋质量不小于，那么甲扣积分，记甲获得积分，求的数学期望. 概率中的最值问题题型09 23. （23-24高二下·西宁市·期末）某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为p. (1)求p(用m表示)； (2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p和m的值； (3)在(2)的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数. 学科网（北京）股份有限公司 $$