专题01 相交线与平行线（11题型）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 相交线与角度的计算 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，图中的对顶角共有（） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知和是对顶角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，直线相交于一点，图中所示 ． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）直线与相交于E点，，平分，且，则 ． 5．（23-24七年级下·江西上饶·期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 6．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，直线，交于点O，，垂足为O，平分，且，求的度数． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，且OE为∠BOC的平分线，DF∥OE，若∠AOC＝36°，求∠D的度数． 垂线的理解与应用 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·江西南昌·期末）下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到直线的距离可能为（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是 ． 6．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，，，垂足为O，经过点O．求的度数． 7．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若，请判断与垂直吗？如果垂直，请说明理由． “三线八角”的识别 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，∠A的同位角是（    ） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 2．（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠4是内错角 B．∠1和∠3是对顶角 C．∠3和∠4是同位角 D．∠2和∠4是同旁内角 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，与成同位角的角的个数为a，与成内错角的角的个数为b，则a与b的大小关系是 ．    平行线的判定 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，下列推理中正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 4．（23-24七年级下·江西新余·期末）如图，添加一个条件 ，使AB∥CD． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）完成下面的证明，括号内填根据． 如图，已知，，，求证：． 证明：， ∴___________（等式性质）， ∴___________（同位角相等，两直线平行）． ， ∴___________， ∴___________（同旁内角互补，两直线平行）． ∴___________（平行于同一条直线的两直线平行）． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，，平分，，求证：． 平行线的性质 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ）度． A．45 B．60 C．75 D．105 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，G其中辞纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西鹰潭·期末）如图，已知，，则 ． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的，两面（玻璃上下两个面）的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为 ． 5．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，在水中平行的光线，经过折射，在空气中也是平行的．若杯底与水面平行，，，则的度数为 ． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，一副直角三角板的两直角顶点重合，，现将绕点C顺时针转动度，当边与的一边平行时，的值为： ． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如下图，，，求的度数． 8．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，，平分，与相交于，．求证：． 平移的认识与作图 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）将图中的叶子平移后，可以得到的图案是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·江西宜春·期末）下列各组微信表情中，能通过互相平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图所示的各组图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）下列大学校徽中，可以看成是自身的一部分经平移后得到的是（    ） A．  B．   C．   D．   5．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将沿方向平移到，若、间的距离为，，则 ． 6．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）：    (1)在图1中，点是格点，找一格点，使； (2)在图2中，找一格点P，使． 7．（23-24七年级下·江西南昌·期末）在正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上（网格线的交点）．现将三角形平移，点平移到格点的位置，点，平移后的对应点分别是，，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)画出平移后的三角形； (2)过格点作线段，使 且． 8．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，都为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．    (1)在图中，画线段，且点为格点； (2)在图中，找一格点，画出三角形，使得三角形的面积等于． 平行线与折叠/反射问题 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是 ． 2．（23-24七年级下·江西上饶·期末）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），为折痕，若，则的度数为 3．（23-24七年级下·江西新余·期末）（1）【学科融合】 光在反射时，光束的路径可用图①来表示，叫做入射光线，叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面的射线叫做法线．与的夹角叫做入射角，与的夹角叫做反射角．根据科学实验可得．则图①中与的数量关系是______． （2）【数学思考】 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图②，一束“激光”射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线． 猜想：当满足什么条件时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知探究的结论说明理由． （3）【知识应用】 人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图③所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请直接写出的度数． 根据平行线的性质探究角的关系 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，，的平分线交AE于点B，G是上的一点，的平分线交CF于点D，且BC平分，下列结论：①；②；③与互余的角有2个；④若，则，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，直线，，已知，，求的度数．    3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）在综合与实践课上，老师以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．    (1)如图①，若直角三角尺的角的顶点放在上，，求的度数； (2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系并说明理由． 平行线的性质与判定综合 1．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 2．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，在中，D，E，F分别是三边上的点，，．    (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 3．（23-24七年级下·江西新余·期末）如图，在中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 4．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 5．（23-24七年级下·江西南昌·期末）综合与探究 如图1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)直线与平行吗？为什么？ (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．若． ①如图2，当时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当时，直接写出的度数． 6．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期末）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成下列问题． (1)如图1，，那么（    ） A．    B．    C．    D． (2)已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． ①如图2，若，，则的度数为______；请直接用等式表示，，三个角的数量关系______． ②如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． (3)如图4，已知，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于，请直接写出与之间的数量关系______． 8．（23-24七年级下·江西赣州·期末）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 平行线与旋转综合 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为 ． 2．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，假设射出的光束交于点C，过点C作交于点D，且，请探究：在转动过程中，与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 5．（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 平行线与动点问题 1．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）    2．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 3．（23-24七年级下·江西吉安·期末）已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上一动点． (1)如图①，当点在线段上运动时， ①若，，则 ； ②问，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由． (2)当点在两点的外侧运动时（点与点不重合，如图②和图③），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，写出，，之间的数量关系，并选择其中一种情况说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 相交线与角度的计算 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，图中的对顶角共有（） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】A 【详解】图中的对顶角共有4对， 有和和和和 故选：A． 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知和是对顶角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 和是对顶角， ， ， ， 故选：D． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，直线相交于一点，图中所示 ． 【答案】/180度 【详解】解：由图可知的对顶角和构成一个平角 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）直线与相交于E点，，平分，且，则 ． 【答案】/80度 【详解】解：∵，平分，且， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江西上饶·期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 【答案】或 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，直线，交于点O，，垂足为O，平分，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得：． ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，且OE为∠BOC的平分线，DF∥OE，若∠AOC＝36°，求∠D的度数． 【答案】108° 【详解】解：∵∠AOC＝36°， ∴∠BOC＝144°，∠BOD＝36°， ∵OE为∠BOC的平分线， ∴∠BOE＝72°， ∴∠EOD＝108°， ∵DF∥OE， ∴∠D＝108°． 垂线的理解与应用 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：根据垂线的定义可知选项B中，直线经过点P，，符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期末）下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； B、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； C、与不垂直，所以线段的长不能表示点到直线距离，故此选项不合题意； D、于，则线段的长表示点到直线的距离，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 4．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到直线的距离可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点到直线的距离是垂线段长度，，， ∴点P到直线的距离小于， ∴点P到直线的距离可能为， 故选：D． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【详解】解：∵垂线段最短， ∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理． 故答案为：垂线段最短． 6．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，，，垂足为O，经过点O．求的度数． 【答案】，，． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若，请判断与垂直吗？如果垂直，请说明理由． 【答案】(1) (2)垂直，理由见解析 【详解】（1）解：， ， ， ， 直线相交于点， ， 故的度数为：； （2）解：垂直， 理由如下： ， ， ， ， ， 故与垂直． “三线八角”的识别 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，∠A的同位角是（    ） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【答案】C 【详解】解：根据题意得 ∠A的同位角是∠3， 故选：C． 2．（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠4是内错角 B．∠1和∠3是对顶角 C．∠3和∠4是同位角 D．∠2和∠4是同旁内角 【答案】D 【详解】由图可得，∠1和∠4是内错角，∠1和∠3是对顶角，∠3和∠4是同位角，∠2和∠4是同位角，而不是同旁内角， 故选：D． 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，与成同位角的角的个数为a，与成内错角的角的个数为b，则a与b的大小关系是 ．    【答案】 【详解】解：与成同位角的角是，故， 与成内错角的角的是和，故， ∴ 故答案为：． 平行线的判定 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； ∵， ∴不一定平行，故B选项符合题意， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，内错角相等，可以得到，不符合题意； B、，内错角相等，可以得到，不能得到，符合题意； C、，同位角相等，可以得到，不符合题意； D、，同旁内角互补，可以得到，不符合题意； 故选B． 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，下列推理中正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【详解】解：A、由只能推出，故错误； B、由，只能推出，故错误；     C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出，故正确． D、由，只能推出，故错误；     故选：C． 4．（23-24七年级下·江西新余·期末）如图，添加一个条件 ，使AB∥CD． 【答案】∠1＝∠3 【详解】解：当∠1＝∠3时，可得到AB∥CD； 当∠A+∠ADC＝180°时，可得到AB∥CD； 当∠ABC+∠C＝180°时，可得到AB∥CD． 故答案为：∠1＝∠3（不唯一）． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）完成下面的证明，括号内填根据． 如图，已知，，，求证：． 证明：， ∴___________（等式性质）， ∴___________（同位角相等，两直线平行）． ， ∴___________， ∴___________（同旁内角互补，两直线平行）． ∴___________（平行于同一条直线的两直线平行）． 【答案】；；；； 【详解】证明：， ∴（等式性质）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， 故答案为：；；；；． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 平行线的性质 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ）度． A．45 B．60 C．75 D．105 【答案】C 【详解】解：如图所示，∵，， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，G其中辞纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵辞纽和拴秤砣的细线都是铅垂线，即， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·江西鹰潭·期末）如图，已知，，则 ． 【答案】/度 【详解】解： ， ， ， ； 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的，两面（玻璃上下两个面）的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 5．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，在水中平行的光线，经过折射，在空气中也是平行的．若杯底与水面平行，，，则的度数为 ． 【答案】/150度 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： 6．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，一副直角三角板的两直角顶点重合，，现将绕点C顺时针转动度，当边与的一边平行时，的值为： ． 【答案】25或55或115 【详解】解：设转动的角度为， 如图1，，则， ∴， ∴； 如图2，，则， ∴； 如图3，，则， ∴； 故答案为：25或55或115． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如下图，，，求的度数． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ． 8．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，，平分，与相交于，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：平分， ， ，， ， ， ． 平移的认识与作图 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）将图中的叶子平移后，可以得到的图案是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向， 将所示的图案通过平移后可以得到的图案是A， 其它三项皆改变了方向，故错误． 故选：A． 2．（23-24七年级下·江西宜春·期末）下列各组微信表情中，能通过互相平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.图形可通过互相旋转得到的，故不符合题意； B. 图形可通过互相轴对称得到的，故不符合题意； C. 图形可通过互相旋转得到的，故不符合题意； D. 图形可通过互相平移得到的，故不符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图所示的各组图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：∵只有D的基本图案的角度，形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选：D． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）下列大学校徽中，可以看成是自身的一部分经平移后得到的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：因为平移不改变图形的形状和大小 故选：C 5．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，将沿方向平移到，若、间的距离为，，则 ． 【答案】 【详解】解：观察图形可知：将沿方向平移到，根据、间的距离为， 得． ． 故答案为． 6．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）：    (1)在图1中，点是格点，找一格点，使； (2)在图2中，找一格点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，点即为所作，    （2）解：如图，点P即为所作，    7．（23-24七年级下·江西南昌·期末）在正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上（网格线的交点）．现将三角形平移，点平移到格点的位置，点，平移后的对应点分别是，，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)画出平移后的三角形； (2)过格点作线段，使 且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，线段即为所求． 8．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，都为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．    (1)在图中，画线段，且点为格点； (2)在图中，找一格点，画出三角形，使得三角形的面积等于． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）如图中，点即为所求；    （2）如图中，即为所求． 平行线与折叠/反射问题 1．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：延长， ∵纸带进行折叠，折痕， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江西上饶·期末）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），为折痕，若，则的度数为 【答案】/72度 【详解】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西新余·期末）（1）【学科融合】 光在反射时，光束的路径可用图①来表示，叫做入射光线，叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面的射线叫做法线．与的夹角叫做入射角，与的夹角叫做反射角．根据科学实验可得．则图①中与的数量关系是______． （2）【数学思考】 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图②，一束“激光”射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线． 猜想：当满足什么条件时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知探究的结论说明理由． （3）【知识应用】 人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图③所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请直接写出的度数． 【答案】（1）相等；（2）；（3）或 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， ， 由（1）得， ，， ， ， 过点作，则， ∵， ， ， ． （3）①如图1，当点D在点C下方时， 根据题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当点D在点C上方时， 根据题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 根据平行线的性质探究角的关系 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，，的平分线交AE于点B，G是上的一点，的平分线交CF于点D，且BC平分，下列结论：①；②；③与互余的角有2个；④若，则，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵BC平分∠ABG，BD平分∠GBE， ∴， ∵∠ABG+∠GBE=180°， ∴， ∴BD⊥BC，故①正确； ∵BC平分∠ACG， ∴∠ACB=∠BCG， ∵ ∵∠GBC=∠ABC=∠ACB=∠GBC， ∴，故②正确， ∵∠DBE=∠DBG， ∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，故③错误， ∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=∠DBE=90°-∠ABC=90°-∠ACB， 又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-， ∴∠BDF=180°-[90°-（90°- ）]=180°-，故④正确， 故选：D． 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，直线，，已知，，求的度数．    【答案】 【详解】解：∵ ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)与平行，理由见解析 (2) 【详解】（1）与平行，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2），， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）在综合与实践课上，老师以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．    (1)如图①，若直角三角尺的角的顶点放在上，，求的度数； (2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）∵， ∴． ∵，， ∴， 解得． （2） 理由：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴ 平行线的性质与判定综合 1．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】或或 【详解】解：①如图，当点F在B的右侧，且D在上方，过C作， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 同理， 又，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴； ②如图，当点F在B的左侧时， 同理：， ， 又， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③如图，当点F在B的右侧，且D在下方，过D作， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 2．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，在中，D，E，F分别是三边上的点，，．    (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ， 解得：， ． 3．（23-24七年级下·江西新余·期末）如图，在中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， 又， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级下·江西南昌·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（23-24七年级下·江西南昌·期末）综合与探究 如图1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)直线与平行吗？为什么？ (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．若． ①如图2，当时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)①；②或 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①过点D作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当点P在线段上时，过点D作交于G， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 如图，当点P在线段的延长线上时，过点D作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 6．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【探索发现】 （1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：． 【深入思考】 （2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）解：过点作， ， ． ，． ． 即； （2）证明：在三角形中， ， ， ． ∵， ． ∴； （3）解：平分，， ． 设， ． 在（2）的条件下， ． 在（2）的条件下，， ， 解得：， ． 设， 平分， ． ， ． ． ， 在（2）的条件下，， 同理可得：． 即， 解得：， ． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期末）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成下列问题． (1)如图1，，那么（    ） A．    B．    C．    D． (2)已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． ①如图2，若，，则的度数为______；请直接用等式表示，，三个角的数量关系______． ②如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． (3)如图4，已知，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于，请直接写出与之间的数量关系______． 【答案】(1)C (2)①，；②，证明见解析 (3) 【详解】（1）∵ ∴，， ∴， 即， 故选：C． （2）①∵，， ∴， 由（1）知， 则， 即 整理得：． 故答案为：，． ②证明：过点Q作， 则，， ∴， 即， 同理可得， 与的平分线交于点， ，， ， ． 则． （3）如图所示，过点G作，设与交于点N． 则 ∵平分，平分． ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵． ∴， ∴， ∵， 即 ∴． 8．（23-24七年级下·江西赣州·期末）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． 请用上面的结论解决下面的问题： 【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． 【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图①，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， 而， ∴， ∴，， ∴； （2）如图③，延长，交于点，过作， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 平行线与旋转综合 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为 ． 【答案】12或48或84 【详解】解：设旋转时间为t秒后，， 如图1， ∴， ， 解得：． 如图2， 由图得： 解得： 如图3， ∴ 解得： 如图4， ∴ 解得：(舍去） 综上所述：12或48或84 故答案为：12或48或84． 2．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    【答案】2或8或11 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当时，如下图：   ， ∵，平分， ∴， ∴此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图： ， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图：    此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）， 综上，满足条件的旋转时间可以是2秒或8秒或11秒． 故答案为：2或8或11． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】2或3或5 【详解】解：分三种情况： ①当 AB时，如图： ∴∠＝∠BAC＝45°， ∴15t＝45， ∴t＝3； ②当 AC时，如图， ∴∠＝∠＝30°， ∴15t＝30， ∴t＝2； ③当 AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB ， ∴∠ACE＝∠A，∠＝∠， ∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°， ∴15t＝75， ∴t＝5． 综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 故答案为：2或3或5． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期末）宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，假设射出的光束交于点C，过点C作交于点D，且，请探究：在转动过程中，与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)30秒或110秒 (3)不变，，理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 5．（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会发生改变， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为135； （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，    ②如上图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 平行线与动点问题 1．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）    【答案】或或 【详解】解：如图，过作，则由，可得，    ∴，， ∴； 如图，同理可得；    如图，同理可得．    故答案为：或或． 2．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4) 【详解】（1）证明：过点作直线，    得， ， ， ， ， ； （2）解：过点作直线，    得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：当点在线段左侧时，如下图所示，   ，， ， ； 当点在线段右侧时，如下图所示，   ，， ， ， ； 的度数为或． （4）解：如图：分别过点M，P，N，作    ∵ ∴ 设 ∵平分，平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 同理的 ∴ 3．（23-24七年级下·江西吉安·期末）已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上一动点． (1)如图①，当点在线段上运动时， ①若，，则 ； ②问，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由． (2)当点在两点的外侧运动时（点与点不重合，如图②和图③），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，写出，，之间的数量关系，并选择其中一种情况说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)不成立，当如图②时，它们的关系是，当如图③时，它们的关系是，选图②理由见解析 【详解】（1）①解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：猜想：． 理由：由上可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简可得． （2）不成立， 如图：， 理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图：， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$